圖形直觀運(yùn)用于解決問(wèn)題策略教學(xué)初探

佟學(xué)唬

（常州市新北區(qū)三井實(shí)驗(yàn)小學(xué)，江蘇常州 213001）

孔凡哲教授認(rèn)為，在小學(xué)階段，實(shí)物直觀、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀、圖形直觀、替代物直觀作為幾何直觀具體表現(xiàn)的四種形式。在解決問(wèn)題策略專(zhuān)項(xiàng)教學(xué)中，圖形直觀發(fā)揮著重要作用。圖形直觀是以明確的幾何圖形為載體的幾何直觀，用直觀圖描述問(wèn)題，本文通過(guò)策略教學(xué)中圖形直觀應(yīng)用的呈現(xiàn)形式為切入點(diǎn)進(jìn)行描述分析，體現(xiàn)圖形直觀在教學(xué)中的價(jià)值作用。

1 解決問(wèn)題策略教學(xué)中圖形直觀應(yīng)用呈現(xiàn)形式

1.1 巧用線段圖，感受圖形直觀描述分析問(wèn)題價(jià)值

發(fā)展學(xué)生的幾何直觀是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的重要課程目標(biāo)之一。學(xué)生可以借助圖形直觀理解數(shù)學(xué)，把復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)明、形象呈現(xiàn)，探尋解決問(wèn)題的思路和方法。線段圖是利用圖形直觀描述分析問(wèn)題的最直接方式，形象生動(dòng)的聯(lián)系條件與問(wèn)題，從而直觀分析數(shù)量關(guān)系達(dá)到實(shí)際問(wèn)題解決的效度。

小寧和小春共有72 枚郵票，小春比小寧多12 枚。兩人各有郵票多少枚？

圖1

學(xué)生根據(jù)題意把線段圖填寫(xiě)完整，畫(huà)圖表示題中的條件和問(wèn)題，再畫(huà)出表示小寧和小春郵票枚數(shù)的線段。分析數(shù)量關(guān)系時(shí)得出一種方法是兩人郵票的總數(shù)減去12 枚，等于小寧郵票枚數(shù)的2 倍，先算出小寧有多少枚？另一種方法是兩人郵票的總數(shù)加上12 枚，等于小春郵票枚數(shù)的2 倍，先算出小春有多少枚？教師引導(dǎo)學(xué)生比較兩種解法的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，認(rèn)識(shí)到兩種不同的解題思路，本質(zhì)上都要先設(shè)法使兩人郵票數(shù)量同樣多。學(xué)生體會(huì)到畫(huà)線段圖能使數(shù)量關(guān)系更直觀、更清楚，根據(jù)分析數(shù)量關(guān)系，容易找出解題思路。

1.2 基于直線圖，依托圖形直觀列舉解決實(shí)際問(wèn)題

學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用圖形直觀列舉解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，感受列舉策略的特點(diǎn)和價(jià)值，從而增強(qiáng)分析問(wèn)題的條理性和嚴(yán)密性。教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)好量的名稱(chēng)，然后逐一連線表示出列舉情況，利用圖形直觀列舉時(shí)確保思考過(guò)程的有序性，列舉的結(jié)果做到不重復(fù)、不遺漏。

南山中心小學(xué)舉行小學(xué)生足球賽，有4 支球隊(duì)參加，分別是紅隊(duì)、黃隊(duì)、綠隊(duì)和藍(lán)隊(duì)。如果每?jī)芍蜿?duì)比賽一場(chǎng)，一共要比賽多少場(chǎng)？

首先理解“每?jī)芍蜿?duì)比賽一場(chǎng)”的意思是兩支球隊(duì)之間只進(jìn)行一場(chǎng)比賽，也就是說(shuō)每支球隊(duì)要分別與其他3 支球隊(duì)賽一場(chǎng)。教材安排兩種方法一是列舉出各場(chǎng)比賽，比如紅—黃、紅—綠、紅—藍(lán)、黃—綠、黃—藍(lán)、綠—藍(lán)，另一種方法是通過(guò)畫(huà)圖列舉：

圖2

教師提示學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖進(jìn)行思考需要先畫(huà)4個(gè)點(diǎn)表示4 支球隊(duì)，再用每?jī)牲c(diǎn)之間的連線表示球隊(duì)之間所進(jìn)行的比賽，連線有幾條，就有幾場(chǎng)比賽，直線圖列舉能更為直觀清晰。

1.3 擅用示意圖，根據(jù)圖形直觀感悟直觀思想方法

學(xué)生在運(yùn)用畫(huà)示意圖策略解決問(wèn)題過(guò)程中，感受借助圖形直觀分析數(shù)量關(guān)系，確定解題思路的方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用畫(huà)圖策略的意識(shí)。借助畫(huà)圖策略解決問(wèn)題，需要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)示意圖清楚準(zhǔn)確的揭示條件和問(wèn)題的聯(lián)系，便于分析數(shù)量關(guān)系，確定解題思路。

梅山小學(xué)有一塊長(zhǎng)方形花圃，長(zhǎng)8m。在修建花園時(shí)，花園的長(zhǎng)增加了3m，這樣面積就增加了18m2。原來(lái)花圃的面積是多少平方米？根據(jù)題中的條件和問(wèn)題，要求學(xué)生想到“花圃的長(zhǎng)增加了3m”的含義，同時(shí)要求原來(lái)花圃的面積，先要算出它的寬的思路。學(xué)生用圖示表示原來(lái)的花圃，表示條件和問(wèn)題，兩條長(zhǎng)邊都要增加3m，寬不變。再畫(huà)出增加的18m2，同時(shí)把所求問(wèn)題在圖中標(biāo)出來(lái)。

圖3

根據(jù)示意圖分析數(shù)量關(guān)系，要求原來(lái)花圃的面積，要先算它的寬是多少米？原來(lái)花圃的寬，就是增加的小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，增加的面積是18m2，寬3m，可以求出它的長(zhǎng)，最后用長(zhǎng)乘寬等于面積。

1.4 創(chuàng)用個(gè)性圖，依據(jù)圖形直觀提升假設(shè)應(yīng)用能力

學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中可以依據(jù)題意采用假設(shè)策略，分析實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的條件和問(wèn)題，提出合理的假設(shè)，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目標(biāo)，初步形成解決問(wèn)題的策略意識(shí)，從而將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題。

小明把720mL 果汁倒入6個(gè)小杯和1個(gè)大杯，正好都倒?jié)M。已知小杯的容量是大杯的小杯和大杯的容量各是多少毫升？

圖4

理解題中的數(shù)量關(guān)系是6個(gè)小杯的容量+1個(gè)大杯的容量=720mL，小杯的容量是大杯的大杯的容量就是小杯的3 倍。教師引導(dǎo)學(xué)生理解假設(shè)把720mL果汁全部倒入小杯，明確1個(gè)大杯可以看作3個(gè)小杯，所以720mL 果汁正好可以倒?jié)M9個(gè)小杯。求出1個(gè)小杯的容量后，再求出1個(gè)大杯的容量。

2 圖形直觀運(yùn)用于解決問(wèn)題策略教學(xué)的價(jià)值體現(xiàn)

2.1 運(yùn)用圖形直觀，明朗梳理數(shù)量關(guān)系

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中解決實(shí)際問(wèn)題策略教學(xué)是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)又是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，其中分析數(shù)量關(guān)系在整體教學(xué)過(guò)程中處于關(guān)鍵地位，教師可以運(yùn)用圖形直觀幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生用直觀圖形和符號(hào)把數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系表述出來(lái)，從而清晰化、可視化、直觀化解決教學(xué)關(guān)鍵問(wèn)題，充分體現(xiàn)圖形直觀價(jià)值。

如在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》三年級(jí)上冊(cè)“解決問(wèn)題的策略”（從條件想起）這一內(nèi)容時(shí)，教材精心安排了“學(xué)生折花”這一問(wèn)題情境：“綠花有12 朵，黃花的朵數(shù)是綠花的2 倍，紅花比黃花多7 朵。紅花有多少朵？”教材按照“理解題意-圖形直觀描述-厘清數(shù)量關(guān)系-靈活算法解答-回顧反思”的板塊流程能夠較為準(zhǔn)確清晰的幫助學(xué)生了清解題思路，教學(xué)中發(fā)現(xiàn)個(gè)別學(xué)生的思考過(guò)程往往代替大多數(shù)同學(xué)對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解，不能清楚理解題意背后所隱藏的數(shù)量關(guān)系，所以教學(xué)中為讓學(xué)生更好把握數(shù)量關(guān)系，筆者在運(yùn)用圖形直觀理解題意是指出 “能用你喜歡的方式把題中的條件和問(wèn)題表示清楚嗎？”學(xué)生把自己能夠想到的思路過(guò)程方法表示出來(lái)：

表1 表格圖

表5 方格圖

圖6 線段圖

在給學(xué)生充足的時(shí)間后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比呈現(xiàn)資源后發(fā)現(xiàn)線段圖是呈現(xiàn)題意理解最清楚、最直觀的方式，當(dāng)學(xué)生全程經(jīng)歷圖形直觀表征過(guò)程后，重點(diǎn)條件的理解和數(shù)量關(guān)系的理解更為清晰，借此可以列式解決問(wèn)題，同時(shí)便于學(xué)生回顧解決問(wèn)題思路，整體理解數(shù)量關(guān)系。

學(xué)生根據(jù)題意可以用自己喜歡的方法把題中的條件和問(wèn)題進(jìn)行整理，分析后再利用數(shù)量關(guān)系可以根據(jù)前兩個(gè)條件，先求出黃花有多少朵？求出黃花的朵數(shù)后，就能求出紅花的朵數(shù)。教師引導(dǎo)學(xué)生把自己的想法勇敢的呈現(xiàn)出來(lái)，對(duì)比后發(fā)現(xiàn)用線段圖的方法能夠?qū)㈩}中的數(shù)量關(guān)系表示得更清楚。

2.2 運(yùn)用圖形直觀，明晰建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

模型思想是 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確提出的十大“核心詞”之一，主要是指從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。

如在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)“用轉(zhuǎn)化的策略解決問(wèn)題”這一內(nèi)容時(shí)，教材呈現(xiàn)計(jì)算時(shí)，觀察后發(fā)現(xiàn)4個(gè)分?jǐn)?shù)連加，每個(gè)加數(shù)的分子都是 1，分母是有規(guī)律排列的，依次是 2，2 ×2，2 ×2 ×2，2 ×2 ×2 ×2。學(xué)生掌握規(guī)律后進(jìn)行解題思考后呈現(xiàn)多種方法，教師收集資源后對(duì)比：

（1）按順序計(jì)算：

（2）通分計(jì)算：

（3）轉(zhuǎn)化計(jì)算：

教師引導(dǎo)學(xué)生把正方形看作單位“1”，把算式中的加數(shù)填入圖7。

空白部分占大正方形的幾分之幾？把算式和圖形聯(lián)系起來(lái)思考，由于空白部分是大正方形的涂色部分是大正方形的（1-），原來(lái)的算式可以轉(zhuǎn)化為1-回顧解決問(wèn)題的過(guò)程，我們遇到較為復(fù)雜的計(jì)算時(shí)，先要認(rèn)真分析算式的特點(diǎn)，讓學(xué)生把復(fù)雜的算式可以轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的算式，更能提示學(xué)生畫(huà)圖可以找出轉(zhuǎn)化的方法，認(rèn)識(shí)到畫(huà)圖是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

圖7

2.3 運(yùn)用圖形直觀，鮮明增強(qiáng)符號(hào)意識(shí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確提出符號(hào)意識(shí)是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)，數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。

如在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)第96 頁(yè)“練一練”，小強(qiáng)、小華和小麗是好朋友。如果他們每?jī)扇酥g通一次電話，一共要通多少次電話？如果他們互相寄一張節(jié)日賀卡，一共要寄多少?gòu)堎R卡？學(xué)生基于以往的經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用符號(hào)意識(shí)中的符號(hào)對(duì)題意進(jìn)行列舉，呈現(xiàn)的內(nèi)容過(guò)程展現(xiàn)出來(lái)：

（1）文字法：

小強(qiáng)-小華 小強(qiáng)-小麗 小華-小麗

（2）字母法：

把小強(qiáng)看作A，小華看作B，小麗看作C。

A-B A-C B-C

（3）圖形法：

把小強(qiáng)看作○，小華看作△，小麗看作□。

○-△ ○-□ △-□

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)方法呈現(xiàn)比較后不難發(fā)現(xiàn)文字法、字母法、圖形法依次遞進(jìn)后，用圖形法來(lái)表示多個(gè)量之間的關(guān)系既能清楚地表達(dá)出題目中的數(shù)量關(guān)系，又能簡(jiǎn)潔的表示出對(duì)題意的理解，因此說(shuō)明解決問(wèn)題時(shí)運(yùn)用符號(hào)意識(shí)來(lái)思考，能夠提高解題速度，提升學(xué)生的思維能力。