單調動力系統的一些應用

宋娟 游麗霞

摘要：單調動力系統是一類在生物、物理、化學等方面運用非常廣泛的常微分方程。本文主要闡述如何應用單調方法和穩定性理論進一步分析一系列三維動力系統的動力學行為，從而將這些三維動力系統加以應用。

關鍵詞：單調動力系統；數學模型

單調動力系統是一類特殊的動力系統，它是單調方法與動力系統觀點相結合的產物。十九世紀末，Poincaré等人在研究經典力學和微分方程定性理論時，提出了動力系統的概念。在二十世紀六十年代，這套理論形成了基本的框架。這之后的幾十年里，動力系統的研究取得了重大的進展并展示了廣泛的應用前景。研究動力系統的方法理論多種多樣，它的一個核心問題就是軌線的漸近性態或拓撲結構。

單調方法在微分方程中的應用，也有非常悠久的歷史。早在二十世紀二、三十年代，Kamke[1]和Müller[2]在考慮常微分方程關于初值問題的最大解與最小解時，發現方程的解所對應的半流關于初值存在一個保序關系，并且給出了保持這一序關系的充分條件，在這時他們已經將單調方法運用于常微分方程了。之后，krasnoselskii[3]關于這個問題的研究也做了大量的工作。不過，最終把單調方法和動力系統的觀點相結合并且形成系統理論的是Hirsch[4]。

首先，我們應該提到Smale[5]，他有力的反駁了當時生物數學界"競爭系統的漸近性態是簡單的"的論調，Smale表明n-維合作或者競爭常微分方程系統的漸近性態并不比（n-1）-維一般常微分方程系統簡單。反過來，n-維合作或者競爭常微分方程系統的漸近性態是否比（n-1）-維常微分方程系統復雜呢？在Hirsch的論文[4]中給與了回答，同時也激發了他的一系列著名的工作。他的一系列文章里都得出了單調合作不可約的常微分方程的普通解都收斂到平衡點集的結論，進而得到了n-維合作或者競爭的單調常微分方程的緊極限集上的流與（n-1）-維常微分方程限制在一個緊不變集上的流是拓撲同構的。作為特例，Poincaré-Bendixson定理為三維單調動力系統提供了這方面的理論基礎。在單調動力系統這套理論建立和完善的過程中，還有一些重要的工作是Smith[6]和Thieme做的，他們修正了Hirsch[7]中關于強單調半流的正極限集二分性的證明過程，得出了強保序半流仍然具有相應的極限集二分性原理，在這基礎上證明了序列極限集三分性原理及其相關性質。由此，Matano證明了存在一個開的稠密子集使得從其出發的軌道都收斂于平衡點集。

在應用方面，近年來Ortega和Sánchez[8]研究了關于圓錐的合作與競爭的常微分方程系統，隨后Sánchez將其應用在電路模型[9]以及Chua系統[10]、Lorenz系統[11]等單調動力系統中。另外在生物系統中也有應用，比如Zhao[12]就將單調方法運用到常見的Lotka-Volterra競爭模型中。

對于一般的三維自治動力系統，如果我們假定它導出的流在某錐下是過去單調的，Hirsch證明了它的導出流的緊極限集是均衡的，并且這個緊極限集是拓撲等價于平面上的緊不變子集。我們把這個結果應用到其他動力系統上，我們就可以尋找使得這些三維動力系統成為競爭動力系統的參數條件，讓這些三維系統的導出流的極限集拓撲等價于平面上的緊不變集。然后利用Dulac準則在平面上尋找使得導出流最終是收斂到平衡點的參數條件。

比如，有許多文章是研究三維動力系統Chen系統的混沌性，也有些文章是研究Chen系統的穩定性和分支。周天壽與陳關榮老師發現當c

再比如，Belousov化學反應，它是由Belousov在1951年發現的，并且他在1959年的俄國醫學大會上發表了一篇簡短的文章說明這個反應。盡管Belousov-Zhabotinskii反應中有許多的化學反應在發生作用，然而它們可以減化為五個關鍵的反應。這五個化學反應可以被表示為一個三維化學系統。這個模型是1974年由Field和Noyes建立起來的，也就是著名的FN模型。有一些文章比較關注于用實驗來研究這個化學反應的振蕩性，也有些文章考慮這個化學反應的周期軌的存在性，相對于上面的結論，我們比較感興趣的是找出系統的一些參數區域，使得系統的軌道不發生振蕩，也不產生周期軌。換句話說，我們可以利用上述單調方法給出FN系統在某個正不變集內每個正半軌都收斂到平衡點的充分條件。

今后，希望將單調方法更大程度地應用到其他模型里，得到一些更好的結論。

參考文獻：

[1]E. Kamke， Zur theorie der system gewosknlicher differentialgliechungen： Ⅱ， Acta. Math.， 58（1932）， 57-85.

[2]M. Müller， Uber das fundamenthaltheorem in der theorie der gewohnlichen differentialgleichungen， Math， Zeit.， 26（1926）， 619-645.

[3]M. A. Krasnoselskii， Positive Solutions of Operator Equations， Groningen Noordhoff， 1964.

[4]M. W. Hirsch， Systems of differential equations which are cooperative or competitive， Ⅰ： Limit sets， SIAM J. Math. Anal.， 13（1982）， 167-179.

[5]S. Smale， On the differential equations of species in competition， J. Math. Biol.， 3（1976）， 5-7.

[6]H. L. Smith， Cooperative systems of differential equations with concave nonlinearities， Nonlinear Analysis. Theory. Methods & Applications， 10（1986）， 1037-1052.

[7]M. W. Hirsch， Stability and convergence in strongly monotone dynamical systems. J. Reine Angew. Math.， 383（1988）， 1-53.

[8] R. Ortega and L. A. Sánchez， Abstract competitive systems and orbital stability in ， Proc. Amer. Math.， 128（2000）， 2911-2919.

[9]L. A. Sánchez， An application of the theory of monotone systems to an electrical circuit，Proc. Roy. Soc. Edinb.， 132A （2002）， 711-728.

[10]L. A. Sánchez， Convergence in a Chuas system with three equilibria， Z. Angew. Math. Phys.， 55（2004）， 183-200.

[11]L. A. Sánchez， Convergence to equilibria in the Lorenz system via monotone methods， J. Differential Equations， 217 （2005）， 341-362.

[12]Sze-Bi hsu and Xiao-Qiang Zhao， A Lotka–Volterra competition model with seasonal succession， J. Math. Biol.， 64（2012）， 109-130.

課題：2018年湖北省教育廳科學技術研究項目，課題名稱：三維單調動力系統的應用

項目編號：B2018123

作者簡介：宋娟（1981-02），女，漢族，湖北武漢人，講師，博士，主要從事數學教育研究。

游麗霞（1980-05），女，漢族，湖北武漢人，講師，碩士，主要從事微分方程邊值問題的研究。