相關系數及其計算與分析研究

周麗霞

摘 要：本文給出了函數關系和相關分析概念，并通過研究總結了相關系數的含義，通過對相關系數公式的研究，給出了相關系數的簡捷公式，同時進行了舉例應用，已證明其實用性。

關鍵詞：函數關系 相關系數 相關分析 積差法

無論是在自然界還是在社會經濟領域，客觀現象總是普遍聯系和相互依存的，客觀現象之間的數量關系可分為兩種類型：函數關系與相關關系。

函數關系是指客觀現象之間存在的、嚴格依存的、確定的數量關系。例如：某商品的銷售量和銷售價格與該商品銷售收入之間的關系可以用來表示。相關關系是客觀現象存在的一種非確定的相互依存關系，即自變量的每一個取值，因變量由于受隨機因素影響，與其所對應的數值是非確定性的。由于影響一個變量的因素很多，而其中一些因素還沒有被人們所完全認識和掌握，或是處于已經認識但對其產生的影響還不能完全控制和測量；另外，有些因素盡管可以控制和測量，但在操作過程中或多或少都會有誤差，所以在復雜的社會系統中，各種事物或現象之間的聯系大多體現為相關關系，而不是函數關系。

相關分析的主要目的就是要在錯綜復雜的客觀現象中，通過大量觀察統計資料，對現象間相互關系的密切程度和變化規律，有一個具體的數量觀念，并進一步找出相互關系的模式，以便進行統計預測和推算，為推算未知和預測未來提供數據，為制定計劃、決策提供資料。

相關關系的判斷方法主要有相關表（表格法）、散點圖（圖示法）、相關系數法。

通過相關表和相關圖可以明確、直觀地判斷兩個變量間有無關系，并對變量間的關系形態作出大致的描述，但不能準確反映變量之間關系的密切程度。因此在初步判定變量間存在相關關系的基礎上，通常還要計算相關關系的度量指標——相關系數。

（一）相關系數的含義

相關系數是指在直線相關條件下，說明兩個現象之間相關關系密切程度的統計分析指標，通常用r表示。

相關系數的取值范圍在-1和+1之間，即-1≤r≤1。如果相關系數r=±1，表示兩個現象完全相關，它們之間存在確定的函數關系；如果相關系數r的數值越接近于1（+1或-1），表示相關關系越強；如果相關系數r的數值越接近于0，表示相關關系越弱；如果相關系數r=0，表示兩個現象完全不相關（僅指不是直線相關）；如果相關系數r>0，表示正相關；如果相關系數r<0，表示負相關。

但需要注意的是，r只表示x與y的直線相關密切程度。當 很小甚至等于0時，志寧表示x與y 之間不指向相關，并不表示x與y之間就不存在其他非直線類型的相關關系。

為了在判斷時有個標準，現介紹一種常用的相關關系密切程度的劃分標準：

在原始數據比較多時，計算出的相關系數 的絕對值在0.3以下是無直線相關，0.3以上是有直線相關，0.3 0.5是低度相關，0.5 0.8是顯著相關（中度相關），0.8以上是高度相關。

按照上面的標準來判斷，嚴格說要有一個條件，就是計算系數的原始數據要比較多，如果數據太少，判斷相關的密切程度需要查相關系數檢驗表來判斷。

（二）相關系數的計算公式

在未分組資料條件下

1.相關系數的定義公式。

公式（1）

式中，

協方差σxy 的作用：

（1）協方差顯示x與y是正相關還是負相關。

相關系數的正負性完全由協方差的正負性決定。協方差為負，則相關系數為負，相關關系是負相關；協方差為正，則相關系數為負，相關關系是正相關。

（2）協方差顯示x與y相關程度的大小

當標準差σx 和σy 為定值時，協方差σxy 的絕對值越小，表示x 與y的相關程度越低；協方差σxy 的絕對值越大，表示x 與y 的相關程度越高。

2.相關系數的“積差法”公式。

對公式（1）中的分子分母同時乘以n ，相關系數r 的公式可寫成：

由于公式（2）是通過將各個離差相乘的方法來說明相關程度的，所以通常把這種相關系數的公式叫做“積差法”，積差法是計算相關系數的基本方法。

相關系數的定義公式是根據x 與y 的數值計算的，當x 或y 的值為除不盡的小數時，計算既麻煩又影響其準確性。在實際工作中，如果根據變量的原始數值計算相關系數，可運用簡捷法計算公式。

3.相關系數的簡捷公式。

公式（3）不用計算兩個變量的平均值與標準差，既減少工作量，又可以減少計算平均值除不盡所帶來的誤差。

（三）相關系數的計算舉例

[例1]對一公司的10名職工的月消費支出和可支配收入進行調查得到如下原始資料（元），根據相關資料計算職工月消費支出和可支配收入相關系數（見表1）。

解：根據相關資料列出職工消費支出和可支配收入相關系數計算表（見表2）。

將有關數據代入計算公式，可計算出相關系數：

答：相關系數0.984>0.8，接近1，說明職工月消費支出和可支配收入為高度正相關關系。

[例2]某公司十家連鎖店銷售額和利潤率的資料如表3所示，計算相關系數。

解：

答：相關系數0.987>0.8，接近1，表明銷售額和利潤率之間存在高度正相關關系。

[例3]某企業近8年產品產量與生產費用資料如表4所示，求相關系數。

解：

答：相關系數0.970>0.8，接近1，結果表明產品產量與生產費用之間存在高度正相關關系。

參考文獻：

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[3] 白雪梅， 趙松山. 也談對兩個定類變量間的相關分析[J]. 江蘇統計， 1997（12）：15-17.