基于Stackelberg微分博弈的北京自住房價格規制模型

陳俊華，呂林峰

（1.中央財經大學 管理科學與工程學院，北京100087；2.杜蘭大學 商學院，美國 路易斯安那州 新奧爾良市 70118）

0 引言

2013年10月24日，北京市住房與城鄉建設委員會頒布了《關于加快中低價位自住型改善型商品住房建設的意見》（下文稱《意見》），首次在全國范圍內提出“自住型商品住房”概念。近幾年，在北京市房價明顯快速上漲的背景下，自住房以較低的價格獲得公眾的關注。

自住房政策體系的核心是定價機制。通過價格限制或者提供貨幣補貼來解決社會低收入階層的住房問題是許多國家通行的做法[1]。Raess等（2002）[2]的研究發現政府對住房租賃價格的管制可能會降低市場租金的長期均衡點，最終實現社會福利提升的效果。但Smith（1998）[3]認為政府的公共住房價格管制政策只能提供少量的公共住房資源給最需要的社會群體，對總體住房狀況并不能起到實質性的作用，只能政府的“形象工程”。國內的李曉鵠（2014）[4]研究認為加快中低價位的自住房建設,可以滿足中低收入家庭的住房剛性需求，能夠部分平抑商品房價格的過快上漲；但同時也可能導致普通住房剛需產品的供給減少,不利于商品房市場的穩定。但有學者董麗麗（2015）[5]指出現行的自住型商品房存在選址偏遠、平抑房價作用有限等問題?，F階段自住房的定價機制相對缺乏彈性，政府在《意見》中要求自住房“比同地段、同品質的商品住房價格低30%左右”，這一相對硬性的定價機制對市場的供求關系變動缺乏必要的彈性，對自住房供應中各方博弈主體（政府、房地產開發商和購房消費者等）的經濟行為缺乏理性的博弈分析。

本文嘗試運用Stackelberg微分博弈模型，模擬自住房定價參與主體各方的經濟行為，旨在研究自住房的合理定價機制，通過博弈的方法演繹自住房定價過程及機制的合理性。

1 自住房定價機制研究設計

微分博弈模型是在Cournot模型的基礎上，由Stackelberg于1934年提出的[6]。該模型是基于雙寡頭壟斷時的動態博弈模擬，由領導者首先發起行動，之后追隨者行動，由于該模型能夠模擬交易雙方的動態博弈過程，可以較真實地反映市場條件下買賣雙方相互作用并最終在商品價格上達到均衡的結果，因此微分博弈模型常常被用于商品定價分析[7]。

在自住房的定價過程中，由于政府可以通過制定價格規制政策來抑制開發商抬高房價的傾向，政府和開發商可以被視為博弈的對手方。政府的政策具有強制性，因此可以假設整個動態博弈過程中的主導者是政府，開發商則是博弈過程中的追隨者，其通過積極應對政府制定的政策，來實現自身利益的最大化。本文嘗試構建Stackelberg微分博弈模型，深入模擬和分析政府和房地產開發商各自的最優策略，并嘗試推導自住房最優定價的數學表達式。

建立Stackelberg微分博弈模型需要具備一些前提條件：

（1）在自住房定價博弈過程中，政府是博弈的領導者，首先發起行動，即其處于博弈的第一階段，其博弈空間是決定自住房的補償支付（或稅收量），其目的是使得社會福利最大化。

（2）在此博弈過程中，房地產開發商是博弈的追隨者，處于博弈過程的第二階段，其博弈空間是自住房的供應量。本文將開發商視為理性的經濟人，即其開發自住房的目的是為了實現自身利益最大化。

（3）開發商掌握大量有關自住房的信息（例如自住房的實際房屋質量、實際交通便利程度、實際戶型面積等信息），但是政府和消費者可能不完全清楚這些，尤其是住房消費者信息缺失比較嚴重，處于信息不完全對稱狀態。

（4）假設自住房的價格函數與需求之間呈線性相關關系：

其中，P(α)為自住房的售價，α為自住房的需求量，λ和β是系數。

（5）假設房地產開發商開發自住房的成本函數是：

其中，θ0，θ1，θ2都是系數，且都大于零。θ0是固定成本，α房屋供給量，θ(α)是自住房開發商的總成本函數。

（6）根據北京市《關于加快中低價位自住型改善型商品住房建設的意見》的文件要求，北京政府部門在開發商競拍自住房用地及開發過程中應予以支持，比如地價的相對優惠和稅收優惠政策等，本模型中對此類優惠統一歸入補償支付，設為εα，其中α是開發商自住房供給量，ε是補償支付系數。由此可以構建自住房價格的微分狀態方程如公式（3）：

其中，P′是自住房的實際價格，λ-βα是消費者在經濟能力范圍內可以接受的自住房價格，ξ是政府依據市場價格來調整自住房價格的價格調整系數。

2 自住房定價的Stackelberg微分博弈模型構建

在自住房體系中，政府和開發商之間的博弈行為可以抽象為：政府是領導者，首先制定出自住房價格規制的具體政策，開發商作為被領導者，通過調整承諾的自住房供給量來實現自身利潤的最大化。具體模型構建過程如下：

（1）參考政府的補償支付和相關影子成本，當自住房供給和需求達到均衡時，消費者剩余為：

這里，γ大于1，γεα是政府指導開發商開發自住房以及在這一過程中產生的影子成本的總和，∫pαdα是自住房消費者的消費效用；pα是消費者為購買自住房付出的成本。

（2）開發商的利潤為凈利潤和政府補償支付的總和，設為r(α)：

（3）博弈雙方的目標函數。政府的目標是實現自住房社會效用的最大化，其獨立的決策變量是經濟方面的補償支付。開發商的目標是自身利益最大化，其獨立決策變量是自住房的承諾供給量，社會效用假設為自住房消費者剩余與開發商的利潤之和。政府和開發商在自住房建設過程中進行動態地、持續地決策，當時間t→∞時，政府和開發商的目標函數是：

政府：

開發商：

其中，r是社會折現率。

（4）Stackelberg微分博弈模型的構建。根據經典的Stackelberg微分博弈模型的構建方式，可以使用“雙層規劃”形式來描述政府和開發商之間的博弈過程，即：

其中，θ=f( )p，ε經下層規劃可以得到：

該雙層規劃模型分別是由U1（上層優化）、D1（下層優化）兩個子模型組成。R函數（上層優化）是政府的目標函數，ε(t)是政府的決策變量（經濟補償支付），p0為自住房售價的初值。τ函數（下層優化）是開發商的目標函數，α(t)是開發商的決策變量（自住房供給量）。

3 自住房Stackelberg微分博弈模型的求解

依據Stackelberg主從微分博弈模型的經典求解步驟和規則，本文將采用“逆向歸納”的思想方法和“HJB”方法（Hamilton-Jacobi-Bellman）進行求解（Lions,1983）[8]。

步驟1：依據逆向歸納法，進行第二階段求解，即首先求出房地產開發商的最優決策（第二階段最優目標）。

設自住房開發商的二次值函數為v(λ),v(λ)= μ2λ2+μ1λ+ μ0,得 v′(λ)=2μ2α + μ1（其中 μ2、μ1、μ0均為常數），由此構建自住房開發商的HJB方程：

上式的右端是最大化HJB方程式，開發商的最優策略α的表達式可寫為：

α 表達式中 μ1和 μ2是v(α)函數的參數，可以用待定系數法來確定。首先在自住房開發商HJB方程的右端代入

式（13）、v(α )、v′(α )，進而根據待定系數法，確定 μ1和 μ2：

根據μ1表達式可知，μ1是ε的一次線性函數，因此為了簡化，設 μ1=σ1+σ2ε，其中：然后，把 v′()α 和 μ1=σ1+σ2ε代入到式（13）中，可以得到α的表達式：

可以看到，開發商的決策變量α是政府決策變量ε以及房價p的一次線性函數。

步驟2：進行第一階段的求解。在此階段中，政府作為領導者，首先制定自住房政策。

設政府二次值函數表達式為u(p)，u(p)=η2p2+η1p+η0，可以得到 u′(p)=2η2p+η1（η2、η1、η0都是常數），構造政府的HJB方程：

把第二階段求得的α表達式代入上式，最大化政府HJB方程的右端，可得政府最優策略ε的表達式為：

本式中，需要確定η1、η2這兩個系數，同樣需要由待定系數法求得?？梢钥闯?，政府的HJB方程中ε是價格p的一次線性函數，為了化簡，設ε=ε1+ε2p，其中ε1、ε2分別為：

將v′()p 和ε=ε1+ε2p帶入政府的HJB方程可以得出：

然后，通過待定系數法，依據政府的HJB方程確定v(p )系數η2，η1：

依據逆向歸納法，把第一階段的最優解ε=ε1+ε2p帶入第二個階段的最優解，可以得到政府的決策變量α：步驟3：微分博弈模型的均衡解。聯立自住房銷售價格狀態方程、政府決策變量、開發商決策變量，可以求得最后的博弈均衡解：

這里，外生變量有：θ1、θ2、λ、r、ξ、γ；內生變量有：σ1、σ2、ε1、ε2、η1、η2；其他的，u1是積分常數，可以由初值p0決定。

4 自住房定價的微分博弈模型賦值模擬

依據北京市自住房的匯總情況，本文認為北京市自住房市場中的參數變量近似滿足λ=3500，β=1.5，同時在這一條件下的自住房開發商成本函數滿足θ0=3500、θ1=1000、θ2=0.8。社會折現因子取r=0.08，價格調整因子取ξ=0.5，影子成本系數取0.5，那么γ=1.5，并且設定北京市自住房售價平均初值p為18000（元/m2），自住房供給量α單位是“萬平方米”。帶入模型如下：

本文依據上述聯立方程進行數據仿真分析，為便于各函數圖的模擬值進行比較，仿真過程中省去了聯立方程中的常數項。

根據圖1、圖2、圖3的函數曲線可以看出，隨時間的增加，圖1中的自住房的銷售價格逐漸下降，圖3中的自住房開發商供給量逐漸上升，圖2重的政府經濟補償支付也隨著時間逐漸提高。模擬結果顯示政府的補償支付逐漸趨于收斂，自住房的銷售價格趨于收斂，自住房開發商的供給量趨于收斂，這三個都明顯區域收斂于一個特定值。模擬仿真結果也顯示，政府不可能無限地對開發商進行補償支付，開發商也不可能不限地向社會供給自住房，這與社會實際情況也是相吻合的。

圖1自住房平均銷售價格p曲線（不含常數項）

圖2自住房補償支付ε曲線（不含常數項）

5 結論

圖3自住房供給α曲線（不含常數項）

本文運用Stackelberg微分博弈對北京市自住房價格規制情況進行了研究，研究結果發現北京市自住房的價格將取決于政府與開發商之間長期博弈的結果，北京市政府的政策引導與開發商本身的逐利行為將共同驅使自住房的銷售價格逐漸趨于均衡。北京市政府的政策實行和房地產開發商的逐利行為共同推動了自住房自身的定價過程。本文所做的模擬仿真實驗與社會實際情況基本吻合，對于測算自住房的合理價格運行區間也有一定作用。

本文的研究結果顯示，由于北京市房地產市場的特殊情況，自住房不會冗余，北京市推出這一特殊的房產類公共產品實是為了照顧處于能買房者、家庭困難者之間的“夾心層”人群。因為其具有一定的商品房屬性，建造開發與售房過程目前由開發商執行，導致目前在政策執行的過程中，在自住房設計、施工和出售等環節出現一些問題。但總體而言，目前北京市的自住房不能隨意廢棄，供給量應該維持在一定的水平，以切實保障對自住房邊際效用高的人群的住房需求，這樣才能有效減少公共住房福利損失。