構造法在高中數學解題中的應用

孫德貴　王志宏

摘 要 構造法在高中數學解題不但具有把問題由簡化易、由繁化簡、由抽象化具體的轉化之功能，而且還有保證解答正確的保險功能，因此構造法是在高中數學中應用很廣泛的一種解題方法。

關鍵詞 高中數學；構造法

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）07-0029-01

一、構造方程（組）

方程是表示兩個數學式（如兩個數、函數、量、運算）之間相等關系的一種等式，是含有未知數的等式，通常在兩者之間有一等號“=”。方程不用按逆向思維思考，可直接列出等式并含有未知數。它具有多種形式，如一元一次方程和二元二次方程等等。方程，作為高中數學的重要內容之一，他與數、式、函數等很多知識有著密切的聯系。根據問題條件中的數量關系和結構特征，構造出一個新的方程，然后根據方程的理論，往往使問題在新的關系下得以轉化而獲得解決。

例1：設a，b，c為實數，若（a+b）（a+b+c）<0，證明：（b-c）2>4a（a+b+c）

分析：要證不等式：（b-c）2>4a（a+b+c），我們聯想到一元二次方程的根的判別式b2-4ac>0，因此我們可以構造二次函數f（x）=ax2+（b-c）x+（a+b+c），只要證得方程f（x）=0有兩根或f（x）與x軸相交即可。

二、構造函數

函數表示每個輸入值對應唯一輸出值的一種對應關系，函數f中對應輸入值的輸出值x的標準符號為f（x）。它包含某個函數所有的輸入值的集合被稱作這個函數的定義域，包含所有的輸出值的集合被稱作值域。如果先定義映射的概念，那么可以簡單定義函數為：定義在非空數集之間的映射稱為函數。在求解某些數學問題的時侯，根據問題的條件，然后構思組合成一種新的函數關系，使問題在新的觀念下轉化并利用函數的有關性質解決問題是一種很有效的手段。構造函數解決問題是一種創造性思維過程，具有較大的靈活性和技巧性。在應用過程當中，應該有目的，有意識的進行構造，始終要“盯住”要解決問題的目標。

例2：解方程 。

分析：注意到 與 具有相同的結構，令則原方程為 。我們只要證明 是奇函數且是單調函數，就能簡單的解出此題。

三、構造反例

如果要說明一個命題是假命題，我們通常可以舉出一個例子，使之具備命題的條件，而不具有命題的結論，這種例子稱為反例。根據反例的概念，我們在解高中數學題時，為了說明例題不真，只需要構造一個符合命題條件而結論真的特例即可。

例3：對一切實數 ，下面的不等式是否成立？

分析：為了說明 ，只要我們取一個特殊值，使 即可。

四、構造三角模型

數學和其它學科一樣，要學以致用，“建模”思想就把數學這門高度抽象的基學科與實際生活緊密地聯系在一起，在實際中滲透數學思想，把數學中的理論作為工作，充分發揮其作用，因而許多問題可通過構造模型來處理，將問題中的條件，數量關系，在已構造的模型上實現并得到解釋，從而實現問題的證明，或轉化為在所構造的模型上相應問題的證明。近年來，構造模型的方法越來越被重視，并成為高考中的一道獨特的風景線。

例4：已知 ，求證： 。

分析：將條件轉化為 。聯想 ，由此構造三角模型，令 ，即①式 ，②式 .又①+②×2得

五、構造向量

在數學中我們把既有大小又有方向且遵循平行四邊形法則的量就叫做向量，向量是近世代數中最重要也是最基本的數學概論之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的一個重要工具，它有著極其豐富的實際應用背景。向量有大小也有方向，大小反應“數”的特征，方向反應“形”的特征。因此，向量是集數形與一身的數學感念。是數學中數形結合的思想體現，掌握好了向量知識，有意識的應用向量知識去解決相關的問題，不僅能優化解題思路，而且能培養學生的創新思維和發散思維。我們在求有些函數的最值問題中，例如出現含有兩個或三個含有根式的和與差的形式，當我們使用平方法或者代替法不能有效去根號，在這種情況下，如果我們善于觀察問題的結構特征，挖掘代數結構的向量模型，構造向量，把原有問題轉換為向量問題，會產生事半功百的效果。

六、結論

在學習構造法時，只有不斷總結，不斷完善知識理論和結構，才能在解題思路中有所發現，有所創意。

參考文獻：

[1]黃忠裕.中學數學思想方法專題講座[M].成都：四川大學出版社，2006（11）：98-105.