基于ShiShkin網格奇異攝動兩點邊值問題的有限法及其計算有效性

池岸楓 熊之光 王易

摘要：本文針對一類奇異攝動兩點邊值問題，討論了基于ShiShkin網格的有限元法及其收斂性，并通過數值例子驗證了有限元法計算有效性。

關鍵詞：奇異攝動，兩點邊值問題，ShiShkin網格，有限元法

1.前言

近年來，許多從事微分方程的研究者越來越關注于最高階導數前含有小參數的微分方程。在自動控制理論、非線性振動理論、量子力學、氣體動力學和一般動力學等學科的發展中，都會遇到這一類含有小參數的微分方程定解問題。對于線性奇異攝動兩點邊值問題：

（1）

其中ε是很小的正參數0<ε≤1。假設在[a，b]上p（x），q（x），f（x）是充分光滑函數。對于奇異攝動兩點邊值問題，因小參數會產生邊界層，普通的數值方法在均勻網格上很難得到理想的數值解。為了得到奇異攝動問題穩定可靠的數值解，有必要在其邊界層區域放置比邊界層外區域的更多的網格點，以適應問題的奇異攝動特性。我們采用分段統一的ShiShkin網格來解決邊界層問題。本文將基于這樣的Shishkin網格Jh[1-2]，采用有限元法對問題（1）進行求解。

2 有限元方法及其格式及其

我們定義Sobolev空間H10（I），I=[a，b]為：

則等式（1）的弱形式是：尋找y（x）∈H10（I）滿足

（2）

對任意v（x）∈H10（I）成立。在區間I對應的ShiShkin網格Jh上定義有限元空間

其中Pm（Ij）表示在Ij=[xj-1，xj]上所有階數≤m的單變量多項式構成的空間。（2）對應的m次有限元yh∈Sh滿足

（3）

對任意v（x）∈Sh成立。

設對應Shishkin網格Jh有限元空間基函數為φi（x），i=1，2，…，n，則

（4）

將（4）的表達式代入（5），并且v（x）取為φi（x），i=1，2，…，n，我們就可以得到

（5）

我們對線性問題（1）的有限元方法的研究得到了如下的結論[3-4]：

定理1yh∈Sh是方程（3）的m次有限元解，在ShiShkin網格Jh的所有節點上

（6）

3 數值例子與計算有效性

本小節給出一個數值例子，通過該數值例子討論有限元法的有效性。

例1考慮如下奇異攝動兩點邊值問題（這是左邊界層問題，見文獻[5]中的例題3.1）。

（7）

其精確解為

微分方程（3.15）中p（x）=-1，q（x）=1，f（x）=-1對應的有限元格式為，尋求yh∈S0h使得

對于不同的小參數和剖分數N，當λ=2時，我們基于Shishkin網格分別計算了問題（7）的一次元，二次元和三次元，表1和表2分別給出了ε=0.001，ε=0.01及剖分數為N=1000時，在9個點上的一次元，二次元和三次元誤差。表3給出了不同ε中一次元和二次元在剖分數N成倍增長時誤差及誤差比。

從表1-表3可看出在基于Shishkin網格下用有限元求解奇異攝動兩點邊值問題是有效的。有限元的精度不僅與剖分密度有關，也與有限元的次數有關。即當剖分密度越大，有限元次數越高，則有限元精度越高。

參考文獻：

[1]M.K.Kadalbajoo and D.Kumar，A computational method for singularly perturbed nonlinear differential-difference equations with small shift，Appl. Math.Model.34（2010），2584-2596.

[2]Ram KishumLodhi and Hradyesh Kumar Mishra，Quintic B-spline method for solving second order linear and nonlinear singularly perturbed two-point boundary value problems， Journal of Computational and Applied Mathematics，319 （2017），170-187.

[3]陳傳淼.有限元超收斂構造理論[M].湖南科學技術出版社，2001.

[4]陳傳淼，黃云清，有限元高精度理論[M].湖南科學技術出版社， 1995.

[5]R.E. OMalley， Introduction to Singular Perturbations， Academic Press， New York， 1974.

作者簡介：

池岸楓（1994.1），女，漢族，湖南湘潭人，學士，研究生， 主要從事微分方程數值解法研究

熊之光（1964.11），男，土家族，湖南鳳凰縣人，教授，主要從事微分方程數值解法研究

【項目基金】國家自然科學基金項目（11571102）資助課題