選對對象 理解實質 快速求解
——讀《例談斜面上的力學問題》一文有感

朱宗華

(重慶市黔江中學校,重慶 409000)

斜面上的力學問題尤其是斜面與粗糙水平地面間有無靜摩擦力,以及靜摩擦力方向的判斷是力學中最為典型的一類題目.這類題目不僅是高考考查的熱點問題,同時也是學生望而生畏、不好掌握、得分相對較低的一類題目．筆者在《例談斜面上的力學問題》一文的啟發下,結合平時教學的思考,認為只要選對研究對象,理解問題的實質,就能快速解答相關問題．

圖1

問題的提出:如圖1所示,質量為M的斜面體靜止在粗糙水平面上,斜面的傾角為θ,斜面體和小物塊m之間的動摩擦因數為μ,在物塊恰好沿斜面體勻速下滑的過程中,斜面與地面之間靜摩擦力的大小和方向?

在判斷斜面與地面之間有無靜摩擦力及靜摩擦力的方向時,通常有以下3種思路.

思路1:將m、M整體當作一個研究對象,因為這個整體在豎直方向上僅受整體的重力和地面對整體的支持力而處于平衡狀態,所以地面對整體(斜面體)的支持力大小(M+m)g;整體在水平方向上不受任何外力作用,所以斜面體與水平地面之間無相對運動趨勢,故斜面體與水平地面之間沒有靜摩擦力．

思路2:以物塊m為研究對象,m在自身重力mg、斜面體M對m的支持力mgcosθ和滑動摩擦力μmgcosθ的共同作用下處于平衡狀態．

由mgsinθ=μmgcosθ，得μ=tanθ.

因為m處于平衡狀態,所以斜面M對m的作用力(即斜面對m的支持力和靜摩擦力的合力)大小與m所受重力mg大小相等,方向豎直向上.由牛頓第三定律知:m對斜面的作用力大小也為mg,方向豎直向下,所以地面對整體(斜面體)的支持力大小為(m+M)g;m對斜面的作用力無水平作用效果,斜面水平方向又無外力作用,故斜面與水平地面之間沒有靜摩擦力．

思路3:以斜面體M為研究對象進行受力分析．

水平方向:因為m對M的壓力mgcosθ的水平分力mgcosθ·sinθ恰好與m對M的滑動摩擦力μmgcosθ=mgsinθ的水平分力mgsinθ·cosθ等大反向,所以斜面體與水平地面之間沒有靜摩擦力．

由上述求解可知:

在圖1所示前提條件下(m除受重力和與M相互作用外,不受其他外力作用):

如m和M間的動摩擦因數μ=tanθ,斜面與水平地面之間沒有靜摩擦力. 反之也成立:如斜面與水平地面之間沒有靜摩擦力,則μ=tanθ.

圖2

例1.如圖2所示,斜面小車M靜止在粗糙水平面上,一邊緊貼墻壁．若再在斜面上加一物體m,且小車M、物體m相對靜止,此時小車受力個數為

(A) 3. (B) 4. (C) 5. (D) 6.

解析:由上述講解可知,小車與水平面間無靜摩擦力,由平衡條件知,墻面對小車必無作用力.以小車為研究對象,它受重力Mg,地面的支持力FN1,物體對它的壓力FN2和靜摩擦力Ff,選項(B)正確．

圖3

例2.如圖3所示,質量為M足夠長的斜面體始終靜止在水平地面上,有一個質量為m的小物塊在受到沿斜面向下的力F的作用下,沿斜面勻加速下滑,此過程中斜面體與地面的摩擦力為0．已知重力加速度為g,則下列說法正確的是

(A) 斜面體給小物塊的作用力大小等于mg.

(B) 斜面體對地面的壓力小于(m+M)g.

(C) 若將力F的方向突然改為豎直向下,小物塊仍做加速運動.

(D) 若將力F撤掉,小物塊將勻速下滑.

解析:因斜面體與地面的摩擦力為0,由以上分析可知:小物塊和斜面體之間的動摩擦因數μ=tanθ,選項(A)、(D)正確．

圖4

例3.如圖4所示,斜面體A置于水平地面上,滑塊B恰好沿A斜面勻速下滑.在對B施加一個豎直平面內的外力F后,A仍處于靜止狀態,B繼續沿斜面下滑.則以下說法中正確的是

(A) 若外力F豎直向下,則地面對A有向左的靜摩擦力作用.

(B) 若外力F斜向左下,則地面對A有向右的靜摩擦力作用.

(C) 若外力F斜向右下,則地面對A有向右的靜摩擦力作用.

(D) 無論F沿豎直平面內的任何方向,地面對A均無靜摩擦力作用.

解析:設斜面的傾角為θ,因為滑塊B原來恰好沿斜面勻速下滑,合力為0,由平衡條件得動摩擦因數μ=tanθ.由思路3可知:當加外力F時,無論F沿豎直平面內的任何方向,地面對A均無靜摩擦力作用.故(A)、(B)、(C)均錯誤,(D)正確.

拓展1:如圖1所示,在m沿靜止斜面M勻加速下滑過程中,斜面與粗糙地面之間有無靜摩擦力?如有,方向如何?

解析:以m為研究對象,沿平行于斜面方向,根據牛頓第二定律得

mgsinθ-μmgcosθ=ma>0，即

mgsinθ>μmgcosθ.

所以μ

由牛頓第二定律的矢量性可知，由于物體在斜面體上勻加速下滑,所以斜面M對物體m的作用力(即斜面M對m的支持力和靜摩擦力的合力)與物體m所受重力的合力平行斜面體向下,可以得出斜面體對物體的作用力方向偏向豎直方向的左上方．由牛頓第三定律知,物體m對斜面體M的作用力方向偏向豎直方向的右下方．由于斜面體受到物體m偏向豎直方向的右下方的力的作用,故斜面體有向右運動的趨勢,所以斜面受到地面的摩擦力方向向左．

同時因為μ

顯然:在圖1所示前提條件下(m除受重力和與M相互作用外,不受其他外力作用):如m和M間的動摩擦因數μ

反之也成立:如斜面與水平地面之間的靜摩擦力水平向左,則μ

圖5

例4.如圖5所示,斜面體A靜止放置在水平地面上,質量為m的物體B在外力F(方向水平向右)的作用下沿斜面向下做勻速運動,此過程中斜面體始終保持靜止狀態,則下列說法中正確的是

(A) 若撤去力F,物體B將沿斜面向下做加速運動.

(B) 若撤去力F,A所受地面的摩擦力方向向左.

(C) 若撤去力F,A所受地面的摩擦力可能為零.

(D) 若撤去力F,A所受地面的摩擦力方向可能向右.

解析:施加力F時,對物體B受力分析,根據平衡條件:斜面體A對B的支持力為

FN=Gcosθ+Fsinθ,

平行于斜面方向有

Fcosθ+Ff=Gsinθ,又因為Ff=μFN，

所以Gsinθ=μGcosθ+F(cosθ+μsinθ)>μGcosθ,

得μ

故若撤去力F,物體B所受合力沿斜面向下,物體將沿斜面向下做加速運動,A所受地面的摩擦力方向向左.選項(A)、(B)正確;

圖6

例5.如圖6所示,質量為M的斜面體靜止在粗糙的在水平地面上．一質量為m的滑塊沿斜面勻加速下滑,斜面體對地面的壓力為F1;在滑塊上施加一沿斜面向下的外力F,在物體沿斜面下滑的過程中,斜面體對地面的壓力為F2．則

(A)F2>(M+m)g,F2>F1.

(B)F2>(M+m)g,F2=F1.

(C)F2<(M+m)g,F2>F1.

(D)F2<(M+m)g,F2=F1.

新解:因滑塊在未施加外力F前沿斜面勻加速下滑,知M與m之間的動摩擦因數μ

拓展2: 如圖1所示,在m沿靜止斜面M勻減速下滑過程中斜面與粗糙地面之間有無靜摩擦力?如有,方向如何?

解析:

以m為研究對象,沿平行于斜面方向,根據牛頓第二定律得

μmgcosθ-mgsinθ=ma>0,mgsinθ<μmgcosθ.

所以μ>tanθ.

由牛頓第二定律的矢量性可知:由于物體在斜面體上勻減速下滑,所以斜面M對物體m的作用力(即斜面M對m的支持力和靜摩擦力的合力)與物體重力的合力平行斜面體向上,可以得出斜面體對物體的作用力方向偏向豎直方向的右上方．由牛頓第三定律知,物體m對斜面體M的作用力方向偏向豎直方向的左下方．由于斜面體受到物體m偏向豎直方向的左下方的力的作用,故斜面體有向左運動的趨勢,所以斜面受到地面的摩擦力方向向右．

同時因為μ>tanθ,m對M的壓力mgcosθ的水平向右的分力mgcosθ·sinθ小于m對M的滑動摩擦力μmgcosθ的水平向左分力μmgcosθ·cosθ,兩者水平分力的合力水平向左,也能得出斜面受到地面的靜摩擦力方向水平向右,大小為mgcosθ·sinθ-μmgcosθ·cosθ．

同理可得: 在圖1所示前提條件下(m除受重力和與M相互作用外,不受其他外力作用):如m和M間的動摩擦因數μ>tanθ,斜面與水平地面之間的靜摩擦力水平向右.

反之也成立:如斜面與水平地面之間的靜摩擦力水平向右,則μ>tanθ.

圖7

例6.如圖7所示,斜面體A靜止放置在水平地面上.質量為m的滑塊B在外力F1和F2的共同作用下沿斜面體表面向下運動.當F1方向水平向右,F2方向沿斜面體的表面向下時斜面體受到地面的摩擦力方向向右.則下列說法中正確的是

(A) 若同時撤去F1和F2,在滑塊B仍向下運動的過程中,滑塊B的加速度方向一定沿斜面向上.

(B) 若只撤去F1,在滑塊B仍向下運動的過程中,A所受地面摩擦力的方向可能向左.

(C) 若只撤去F2,在滑塊B仍向下運動的過程中,A所受地面摩擦力的方向一定向右.

(D) 若只撤去F1,在滑塊B仍向下運動的過程中,A所受地面摩擦力不變.

新解:該題的題眼為斜面體受到地面的摩擦力方向向右,說明AB之間有滑動摩擦力,且動摩擦因數μ>tanθ,B對A的滑動摩擦力的水平分力大于B對A的壓力的水平分力,只撤去F1,在滑塊B仍向下運動的過程中,A所受地面摩擦力的方向不變,仍然向右．但由于滑動摩擦力與彈力的水平分力均減小,合力減小,與之相平衡的靜摩擦力大小減小,選項(A)、(C)正確,(B)、(D)錯誤．

雖然解答此類題目的方法較多,但筆者認為只有思路3才真正抓住了地面和斜面體之間有無靜摩擦力的實質,無論m在M上的運動狀態如何,受力情況如何變化,斜面與水平地面之間有無靜摩擦力均取決于動摩擦因數為μ與tanθ的相對大小而導致m對M的壓力的水平分力與m對M的靜(或滑動)摩擦力的水平分力的相對大小．如兩者相對大小相等,合力為0,則無靜摩擦力,反之如兩者合力不為0,則有靜摩擦力．推而廣之,上述3類情型中如因m受力情況發生變化而引起壓力和滑動摩擦力同時成比例(比例系數為動摩擦因數μ)變化,但只要動摩擦因數μ與tanθ的相對大小一定,兩者水平方向分力的相對大小不會變化,地面對斜面的靜摩擦力的大小可能變化而方向絕不會變化．如此,相關題目可快速準確求解．

圖8

例7.一斜劈A靜止在粗糙的水平面上,在其斜面上放置一滑塊B,若給滑塊B一平行斜面向所下的初速度v0,則B恰好保持勻速下滑,如圖8所示,現在B下滑過程再加個一作用力,則以說法正確是

(A) 在B上加豎直向的力F1,則B將保持勻速運動,A對地無摩擦力作用.

(B) 在B上加一沿斜面向下的力F2,則B將加速運動,A對地有水平向左的靜摩擦力作用.

(C) 在B上加一水平向右的力F3,則B將減速運動,在B停止前A對地有向右的靜摩擦力作用.

(D) 無論在B上加什么方向的力,在B停止前A對地都無靜摩擦力作用.

答案:(A)、(D)．

終上可知:在解答斜面與粗糙水平地面間有無靜摩擦力類問題時,如能抓住產生靜摩擦力的實質和影響靜摩擦力大小的原因,就可避免解題時思維的紊亂和解題過程中繁鎖的數學運算,快速準確地得出結果,極大的提高解題效率．