一種橡膠材料超彈本構等效試驗方法

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(海軍工程大學 a.振動與噪聲研究所; b.船舶振動噪聲重點實驗室，武漢 430033)

國內外對橡膠材料本構模型已有大量研究，主要歸為兩大類：一類是基于統計熱力學的本構模型[1]，如Arruda-Boyce模型和Neo-hookean模型；另一類是基于連續介質力學的維象理論模型，如M-R模型、多項式模型、Ogden模型等[2-4]。完整的橡膠超彈性本構試驗應該包含能反映橡膠拉伸、壓縮、剪切狀態下的力學性能[5]。Treloar[6]最早系統性地研究了橡膠材料的超彈性本構理論，設計等軸和純剪切本構試驗方法，較好地描述了橡膠材料的力學行為。然而，由于橡膠試驗比較困難，對設備和試驗環境有較高要求，目前，僅簡單拉伸試驗和壓縮試驗有國家標準[7]。本文針對船用減振器橡膠部件在實際小變形工作狀態，提出利用壓縮試驗等效替代等軸拉伸的橡膠材料本構試驗方法。通過對比橡膠減振器的仿真與試驗，分析等效等軸試驗描述船用減振器橡膠材料本構模型的合理性。

1 試驗基礎

基于連續介質力學理論研究橡膠材料本構模型時，將橡膠材料的變形看成是各項同性的超彈性均勻變形，因而將應變能函數表示成變形張量或主伸長率的函數[8]。

W=(I1,I2,I3)

(1)

式中：I與λ之間的關系為

(2)

其中：I1、I2、I3為3個應變不變量；λ1、λ2、λ3為3個主方向上伸長比，伸長比定義為

(3)

其中：L為拉伸后的長度；L0為初始長度；εE為工程應變。橡膠彈性體一般為近似不可壓縮材料，即I3可去常數或等于1[8]，對應變能沒有影響。對于最一般的類型的均勻應變主應力，真實主應力σTi為[8]

(4)

式中：pe為不可壓縮引起的靜水壓力。式(4)中的各項相減可消去pe，從而計算得到3個方向主應力差值為

真實應力與工程應力的關系為

(6)

式中：σEi為λi方向上的工程應力；σTi、σTj為2個不同方向上的真實應力。對于單軸拉壓情況下，式(5)中t2=t3=0，3個方向上的伸長率為

(7)

聯立式(5)、(6)、(7)，得到橡膠材料在單軸拉伸下的應力應-變關系為

(8)

式中：σEu為單軸拉伸名義應力(單位長度上的應力)；εEu為名義應變。

橡膠材料在等軸拉伸試驗下，式(5)中t2=t3，t1=0，3個方向的主伸長比為

λ1=λ-2，λ2=λ3=λ

(9)

聯立式(5)、式(6)和式(9)，得到等軸拉伸下工程應力與應變的關系為

(10)

式中：σEb為橡膠試片等軸拉伸工程應力；εEb為等軸拉伸工程應變。

以應變能函數為基礎，表征橡膠超彈性力學行為的超彈性本構模型已有大量研究，如Ogden模型、Mooney-Rivlin模型、Neo-Hookean模型、Yeoh模型、多項式模型等，不同應變條件下，本構模型的擬合精度相差很大，多項式模型的應變能函數為

(11)

式中：Cij為Rivlin系數，定義C00=0，i+j≤N；I1、I2分別為第一和第二Green應變不變量；J為橡膠變形前后體積比；Di決定橡膠材料是否可壓縮；N為多項式階數，橡膠材料為不可壓縮材料，J=1，此時：

i+j≤N

(12)

聯立式(8)、(10)和(12)，得到單軸和等軸拉伸下，二階多項式本構方程為

(13)

(14)

采用多目標優化方法[8]，同時擬合單軸拉伸和等軸拉伸試驗數據，可得到相應的橡膠本構模型參數。

對不可壓縮材料，單軸壓縮與等軸拉伸的應力狀態相同，其應力-應變對應等價關系為[9]

(15)

式中：σEc、εEc為通過單軸壓縮試驗計算得到的橡膠材料壓縮應力和應變；σEb、εEb為橡膠材料等效等軸拉伸應力和應變。等軸拉伸試驗可得到橡膠材料純的壓縮應力狀態和精確的試驗結果，但是比單軸壓縮試驗復雜得多，國內此試驗條件尚不成熟。因此，本文利用橡膠單軸壓縮試驗與等軸拉伸試驗等價性原理，提出一種以單軸壓縮等效代替等軸拉伸的本構試驗方法。

2 參數識別

2.1 試驗設計

橡膠材料單軸拉伸試驗參考GB/T 528—2009進行[10]。橡膠樣件為啞鈴狀，見圖1。

圖1 橡膠簡單拉伸試驗樣品

試件厚度為(2.0±0.2) mm，試件長度為(25±0.5) mm，狹窄部分的寬度為(6.0±0.4 mm)。橡膠試件的拉伸試驗在SANS拉伸試驗機上進行，采用帶有傳感器的引伸計測量大變形部分伸長量，見圖2。

圖2 橡膠單軸拉伸試驗現場

橡膠材料的單軸拉伸試驗目的是為了獲得完全的拉伸應力-應變數據，由于填充橡膠存在Mullins效應和遲滯效應[11]，試驗中表現為載荷位移不同步。為了減小這種由于材料本身因素的影響而造成的試驗誤差，采用準靜態拉伸速率對橡膠試片進行拉伸試驗。單軸拉伸試驗所獲得的應力-應變關系見圖3。

圖3 橡膠單軸拉伸應力-應變變化

橡膠彈性體材料的拉伸與壓縮應力-應變變化具有很大差別，僅有拉伸試驗數據不能很好地確定橡膠材料的本構模型。因此，對減振器橡膠材料本構描述時，必須包含能反映橡膠材料壓縮性能的試驗數據。

橡膠材料的壓縮性能數據通過單軸壓縮試驗獲得。在壓縮試驗中，由于橡膠試件側邊無法實現自由膨脹，使試件無法實現完全的單向壓縮，因而單軸壓縮試驗數據僅可近似地替代橡膠材料的壓縮數據進行橡膠材料本構模型的擬合。這種橡膠材料單軸壓縮試驗通常用于計算精度要求不高的工程應用中。

單軸壓縮試驗參考GB/T 7757—93開展[12]。橡膠試件采用如圖4所示的圓柱體，其直徑為(29.0±0.5)，高度為(12.5±0.5) mm。試件表面光滑平整，上下表面平行。試驗在SANS試驗機上完成，見圖5。試驗以10 mm/min的速度壓縮試件，再以相同的速度放松試件，連續反復地壓縮和放松試件共4次，取最后一次壓縮試件的數據為有效數據。單軸壓縮試驗所獲得的應力-應變變化見圖6。利用式(15)，得到等效等軸應力-應變變化見圖7。

圖4 圓柱體單軸壓縮試件

圖5 橡膠單軸壓縮試驗現場

圖6 單軸壓縮應力-應變變化

圖7 等效等軸拉伸應力-應變變化

2.2 試驗結果擬合

利用最小二乘法同時擬合式(13)和式(14)，比較階次N不同時本構模型與試驗數據的擬合程度，發現當N=2時，試驗數據與多項式本構模型已經有較高的擬合度，擬合曲線見圖8。

圖8 二階多項式模型與試驗數據擬合

如圖8所示，二階多項式模型與單軸拉伸等效等軸拉伸試驗曲線擬合接近度較高，與試驗數據幾乎重合，因而選擇二階多項式模型作為減振器橡膠材料的超彈性本構模型是合理的。擬合結果得到二階多項式模型的參數如下。

C10=0.278 32 MPa；

C01=0.467 64 MPa；

C20=-5.142 4×10-2MPa；

C11=0.389 94 MPa；

C02=-0.464 08 MPa。

3 有限元模型建立

船用橡膠減振器幾何結構復雜，有限元建模較為困難且容易產生計算誤差，因此有必要對結構進行適當簡化。在利用Pro/E建立幾何模型時，將對減振器力學性能影響較小的結構忽略(如包覆在金屬表面，防止金屬腐蝕的橡膠薄層等)，將幾何模型保存為sat格式導入到ABAQUS中，并賦予部件材料屬性。

已知船用橡膠減振器的金屬件為Q235，材料性能E=210 GPa，μ=0.3。減振器橡膠部件采用C3D8H八節點六面體雜交三維應力單元，支撐軸和限位器等金屬部件采用C3D8R非協調八節點六面體單元[13]。

橡膠減振器在生產過程中，橡膠材料與金屬件表面經過特殊的硫化處理，其接觸面粘接強度甚至比橡膠材料本身強度更高，此外，金屬件強度遠大于橡膠材料的強度，因此，可將橡膠與金屬件接觸面定義為綁定約束。建立與實際工況相似的有限元分析模型見圖9。

圖9 橡膠減振器有限元簡化模型

4 試驗驗證

船用橡膠減振器的靜態壓縮試驗在美國MTS液壓試驗機上完成，靜態測試采用的是力控制，將減振器下端與夾具擰緊，上端用裝有力傳感器的壓頭進行壓縮加載，見圖10。試驗開始前，將力值和位移值清零。由于橡膠材料具有遲滯效應和Mullins效應，加載卸載路徑不重合，會形成閉合的遲滯環。不能單獨以某一條加載或卸載曲線作為衡量橡膠減振器靜態性能的指標，需要綜合考慮加載和卸載的影響。循環加載、卸載4次，得到遲滯回線見圖11。

圖10 橡膠減振器靜態試驗現場

圖11 橡膠減振器力-位移的變化

以遲滯中線作為衡量減振器靜態性能的指標，得到橡膠減振器的靜剛度為786.44 N/mm。有限元模型中，在橡膠減振器上端施加3 000 N向下的軸向力，得到靜態仿真結果見圖12。

圖12 3 000 N垂向壓力下仿真結果

從圖12可以看出，橡膠減振器的垂向靜變形為3.710 mm，計算得到靜剛度為808.63 N/mm，與試驗結果偏差在3%左右，與實測值較為接近。

船用橡膠減振器垂向力-位移仿真及試驗對比見圖13。可以看出，橡膠減振器小變形時，有限元計算結果與試驗結果幾近相同；當靜變形逐漸增大到大于4 mm時，仿真結果與試驗結果的偏差逐漸增大。分析偏差隨垂向位移增大的原因是，有限元模型是將橡膠材料當做理想的超彈性不可壓縮材料，而實際橡膠材料除具有超彈性外，還具有粘彈性，橡膠材料變形量增大，蠕變性能和粘彈性對力學性能的影響逐漸突出。

圖13 橡膠減振器靜態仿真與試驗對比

5 結論

根據單軸壓縮與等軸拉伸等價關系，提出了以單軸壓縮等效代替等軸拉伸的本構試驗方法。橡膠減振器仿真和試驗結果對比表明，以單軸壓縮試驗獲取橡膠材料本構參數的方法是合理的。與已有橡膠材料本構試驗方法相比，本方法對試驗設備要求更低，操作更簡便，適用于一般橡膠產品的本構模型研究。但由于壓縮試件內摩擦力作用，單軸壓縮無法獲取純的壓縮應力狀態和精確的試驗結果，因而在精確研究橡膠材料本構模型時，需要進一步對單軸壓縮試件內摩擦力特性進行具體分析。