動態同質網絡上的SIR謠言傳播模型

付 偉，王 靜，潘曉中，劉亞州

(1.武警工程大學 密碼工程學院，西安 710086； 2.西安高科技研究所 計算機科學與技術系，西安 710086)(*通信作者電子郵箱davidfuw@163.com)

0 引言

謠言，是指在社會中出現并流傳的未經官方公開證實或已被官方所辟謠的信息[1-2]。互聯網的快速發展為言論自由提供了良好的條件，同時也成為謠言產生和傳播的重要媒介。與曾經口口相傳的傳統方式相比，互聯網上的謠言具有更大的影響力，極易煽動群眾引發群體性行為，危害社會穩定。為了更好地應對謠言擴散事件，降低謠言危害，研究新環境、新條件下的謠言傳播機制依然是十分重要的課題。

從20世紀60年代起，科學家開始對謠言傳播規律進行了研究。基于當時的科學技術，研究者發現謠言傳播與流行病的傳播存在諸多相似點，因此大量基于流行病傳播模型的謠言傳播模型紛紛建立。其中，Daley等[3-4]通過對謠言和流行病的傳播機制進行分析研究，得到謠言傳播不存在傳播臨界值，而流行病傳播存在臨界值，并且提出了封閉同質混合人群中的DK(Daley-Kendal)謠言傳播模型。Maki和Thompson提出了MK(Maki-Thompson)模型[5]，認為傳播者與傳播者接觸時只有初始傳播者會轉變為免疫者。DK模型和MK模型為人們認識謠言傳播規律提供了有效的理論指導。

隨著WS(Watts-Strogatz)小世界網絡模型[6]和BA(Barabási-Albert)無標度模型[7]的提出，復雜網絡理論[8]得到了迅猛的發展，為研究網絡傳播動力學提供了理論基礎，從此謠言傳播研究進入到另一個新的階段。2002年Zanette[9]利用復雜網絡理論研究謠言傳播，建立了基于小世界網絡的謠言傳播模型，證實均勻網絡中存在傳播臨界值。隨后，Moreno等[10-11]規范了謠言傳播中的節點分類，并且研究了同質網絡和異質網絡下的謠言傳播特性，指出在均勻網絡下謠言傳播不存在臨界值。Zanette[9]和Moreno等[10-11]的研究成果奠定了復雜網絡上謠言傳播機制研究的基礎，從最新的研究成果來看，眾多的研究者依然遵循著這一研究方向。

Wang等[12]構建了一種新的SIR(Susceptible-Infective-Removal)模型，發現在延遲時間的影響下，節點識別力的存在略微降低了謠言傳播程度，延遲時間越長，免疫策略的免疫效果越差。Jia等[13]重建了隨機謠言傳播模型，分析了謠言滅絕和持續的充分條件，獲得了謠言持續存在與謠言滅絕之間的界限條件。Huo等[14]指出網絡中每個節點按照一定的概率在高活躍狀態和低活躍狀態之間轉動，引入了一個動態傳播模型，利用Routh-Hurwitz準則得到了局部漸近穩定的平衡點。He等[15]基于異構網絡的流行病模型，描述了MSN(Microsoft Service Network)中的謠言傳播過程，提出實時優化和周期性地傳播真相兩種策略來抑制謠言傳播。Liu等[16]考慮到暴露的節點可能以一定的概率成為被刪除的節點，提出了一種新的SEIR(Susceptible-Exposed-Infective-Removal)謠言傳播模型，并得到了謠言傳播的閾值。Wang等[17]研究了兩個媒介對謠言傳播的影響，計算模型的均衡值，發現兩種媒介之間的無知者的轉化率直接影響著傳播者的規模，不同的媒介對傳播的動態行為有顯著的影響。Wang等[18]研究了網絡節點識別能力差異對謠言傳播的影響，發現節點識別能力的差異延長了謠言傳播到達穩定狀態的時間，并減少了最終接受謠言的節點數量。

上述研究成果大都針對某一具體問題進行建模、論證，極大地豐富了謠言傳播理論，為預測謠言提供了決策依據。值得注意的是，這些研究幾乎都將系統視為一個穩定封閉的狀態，將各類節點密度總和視為定值，并沒有考慮傳播過程中節點移出系統的情況。在現實傳播過程中，謠言感染者在轉變為謠言免疫者時，部分感染者可能會因傳播謠言導致自身利益受損，選擇離開整個系統。此時系統節點總數減少，雖然每一個時刻系統滿足平衡條件，但是系統在不斷地自我更新，為了研究非封閉系統中的謠言傳播機制，本文結合復雜網絡基本原理，提出動態同質網絡上的SIR謠言傳播模型。

1 謠言傳播模型的建立

在經典SIR謠言傳播模型中，網絡中的公眾狀態分為三類：易感染者、感染者、免疫者。其中易感染者是指與謠言內容有一定聯系且對謠言尚未知曉的公眾；感染者是指認同謠言內容并傳播謠言的公眾；免疫者是指知曉謠言真相并不傳播謠言的公眾。SIR模型中s(t)、i(t)、r(t)分別表示三類節點t時刻在系統中的節點密度，并且滿足s(t)+i(t)+r(t)=1，此模型較好地刻畫了有限穩定狀態下節點轉換關系，進而分析得到謠言傳播的一般機制。本文基于此模型的思想，考慮到存在節點移出系統的情況，系統由封閉狀態變為非封閉狀態，提出動態同質網絡上的SIR謠言傳播模型。為了不失一般性，本文將這類節點定義為移出者，即系統中部分節點知曉謠言真相并且直接離開系統。基于此劃分規則，建立謠言傳播模型如圖1所示。

圖1 動態同質網絡SIR謠言傳播模型

為了更好地研究謠言傳播機制，本文考慮到現實生活中謠言傳播存在的因果和接觸兩個特點，該模型提出以下3條假設以便進行數理分析和實驗仿真。

1)如果易感染者與謠言傳播者接觸，則易感染者以α的概率成為謠言傳播者，α稱為謠言的感染率，其中0≤α≤1。從現實層面來看，一個謠言易感染者與一個謠言傳播者接觸后，該易感染者可能受謠言感染者影響，變為謠言感染者或者保持原先的易感染狀態，所以模型以α刻畫這種狀態轉變的可能性。

2)如果謠言感染者與另一個謠言感染者或者謠言免疫者接觸，其自身將以概率β轉變為謠言免疫者，β稱為謠言的免疫率，其中0≤β≤1。從現實層面講，一個感染者與另一個感染者或者免疫者接觸，可能會產生“真相大白”的情況，其自身變為免疫者或者保持感染狀態。

3)當發生2)中“真相大白”的情況后，在感染者轉變為免疫者的過程中，部分傳播者以概率1-μ離開系統，μ稱為謠言感染者的真實免疫系數，其中0≤μ≤1。從現實層面講，在“真相大白”后，部分感染者可能會因遭受重大損失而難以接受事實真相，選擇直接離開系統。

該模型以s(t)、i(t)、r(t)分別表示謠言易感染者、謠言感染者及謠言免疫者t時刻在系統中的節點密度，N(t)表示t時刻系統節點相較于初始狀態的實時密度值，移出者離開系統不作表示。

根據上文假設和傳播規則，建立謠言傳播模型平均場方程如下：

s′(t)=-α〈k〉s(t)i(t)

(1)

i′(t)=α〈k〉s(t)i(t)-β〈k〉i(t)[i(t)+r(t)]

(2)

r′(t)=μβ〈k〉i(t)[i(t)+r(t)]

(3)

N′(t)=-(1-μ)β〈k〉i(t)[i(t)+r(t)]

(4)

其中〈k〉為網絡的平均度。上述平均場方程刻畫了系統中各類節點密度變化的相互依賴關系。從整體看，方程組滿足s′(t)+i′(t)+r′(t)=N′(t)，系統處于動態平衡狀態；從微觀看，式(4)表明系統總節點數不斷減少。

2 謠言傳播過程的穩態分析

為了研究動態同質網絡下的謠言傳播機制，本章對傳播動力學方程進行分析，構造了臨界函數H(t)，求解得到各類節點的穩定狀態值s(∞)和r(∞)，并得到感染峰值Imax，研究謠言傳播達到穩態的條件。

2.1 臨界函數

觀察式(1)可知，s′(t)≤0，所以s(t)將不斷減小，即易感染節點密度不斷減小。同理，由式(2)可得，若N(t)/s(t)<α/β+1，則i′(t)>0,i(t)將不斷增大，感染節點密度不斷增大；若N(t)/s(t)>α/β+1，則i′(t)<0，i(t)將不斷減小，感染節點數量不斷減少。

為了便于下文討論，構造謠言感染臨界函數：

H(t)=N(t)/s(t)

(5)

易知H(0)=N(0)/s(0)，則當H(t)>α/β+1時，即i′(t)<0，此條件下謠言不會擴散；當H(t)<α/β+1時，即i′(t)>0，此條件下謠言會擴散。

2.2 穩態分析

在謠言傳播過程中，隨著時間的推移，謠言的感染節點數量最終降低為0，易感染節點數量和免疫節點數量達到穩定狀態不再變化。至此，謠言停止傳播。

由式(1)、(2)、(3)、(4)得：

s(t)+i(t)+r(t)=N(t)

(6)

(7)

(8)

進一步可以得到：

(9)

令λ=β(1-μ)/α，化簡得：

N′(t)s(t)-λs′(t)N(t)+λs′(t)s(t)=0

(10)

求解得N(t)與s(t)滿足：

(11)

(12)

由式(6)、(12)可得：

(13)

聯立式(11)、(12)、(13)，可以得到：

(14)

(15)

假設s(0)≈1，N(0)=1，由于i(∞)=0，結合式(11)、(14)、(15)，得到穩態值s(∞)，r(∞)分別滿足：

sλ(∞)-(1+μλ-μ)s(∞)+μ(λ-1)=0

(16)

(17)

式(16)、(17)表明，謠言傳播穩定狀態依賴于μ、λ，在現實的謠言預測中，只需合理的估計謠言感染概率α、免疫概率β、真實免疫系數μ即可得到謠言傳播過程的最終狀態值，可為決策部門提供有效的參考。

2.3 謠言感染峰值

謠言感染峰值表示謠言傳播過程中傳播者數量的最大值，反映謠言在一次傳播過程中的最大影響力，是分析謠言傳播機制的重要指標。

由式(5)、(11)得：

(18)

假設s(0)≈1，N(0)=1，對式(18)求導可得：

H′(t)=-sλ-2(t)s′(t)≥0

所以H(0)

由上述假設可得H(0)≈1<α/β+1，則存在時刻th使得H(th)=α/β+1，當00，i(t)將不斷增大；當t>th，H(th)≥α/β+1，i′(t)<0，i(t)將不斷減小。i(t)先增后減，在th處取得最大值Imax，將Imax定義為謠言感染峰值。

在時刻th有H(th)=α/β+1，即：

(19)

(20)

為了得到感染峰值Imax，將s(th)代入式(15)中，可得th時刻感染節點密度：

(21)

由式(21)可知，感染峰值Imax依賴于α、β和μ，與平均度〈k〉無關。

3 數值仿真及分析

本實驗是在Intel Core i5 2.6 GHz的主頻，8 GB的內存，macOS的操作系統環境下，采用mathematica平臺仿真。為了最大限度地模擬現實人群規模，仿真初始設為10 000，考慮到初始感染節點較少，假設s(0)=0.99，i(0)=0.01，r(0)=0，N(0)=1。為了不失一般性，盡可能地提高實驗結果的適用范圍，考慮到個體對謠言接受程度的差異性，本文設定不同的參數值。當i(t)=0時，謠言傳播達到了穩定狀態。

3.1 考慮節點移出的SIR模型中各類節點密度隨時間變化

設模型中參數:α=0.4,β=0.6,μ=0.8,〈k〉=4.5，研究易感染節點、感染節點及免疫節點三類節點的密度隨時間的變化情況。由圖2可得，易感染節點密度s(t)在傳播過程的初始階段迅速下降，達到穩態s(∞)后不再變化，說明謠言在網絡中傳播較快且主要發生在前期。感染節點密度i(t)在傳播開始后迅速達到感染峰值Imax，隨后迅速降低為0。在傳播過程的起始階段，存在少量感染節點，易感染節點與之接觸后以一定的概率轉變為感染節點，i(t)增大。到達頂點后，易感染節點減少，免疫節點增多，感染節點減少。免疫節點密度r(t)在謠言傳播開始后經過一段平緩期后迅速上升至穩定狀態r(∞)。在謠言傳播過程中，初期階段免疫節點主要由感染節點相互接觸轉變而來，因此前期免疫節點較少。隨著感染節點的增多，免疫節點迅速增多。當感染節點密度i(t)降為0時到達穩定狀態。由于存在節點移出系統，所以相較于原始系統，節點密度n(t)出現了降低，到達穩態后不再改變。

圖2 各類節點密度隨時間的變化

3.2 節點移出的SIR模型與SIR模型中各類節點密度對比

設模型中參數:α=0.2,β=0.3,μ=0.3,〈k〉=4.5，分別對兩種模型中易感染節點、感染節點及免疫節點三類節點的密度隨時間的變化情況作了對比研究。

由圖3(a)可得，易感染節點數量在兩種模型下先減小，達到穩態s(∞)后不再變化。區別在于，在經過一段時間的同步后，考慮節點移出的SIR模型中易感染節點數量s1(t)下降幅度較SIR模型中的易感染節點數量s2(t)下降幅度大。

由圖3(b)可得，感染節點數量在兩種模型下均是先增加，達到峰值后迅速下降，最終為0。在傳播過程前期，兩種模型下的感染節點變化趨勢經歷了一段時間的同步。不同之處在于，考慮節點移出的SIR模型的峰值比SIR模型的峰值大，到達峰值的時間比SIR模型達到峰值的時間稍有推遲。

由圖3(c)可得，免疫節點數量在兩種模型下均是先經歷一段時間的“平靜期”，而后迅速增大，最終達到穩態r(∞)不再變化。區別在于，相較于SIR模型中免疫節點的變化，在經歷了“平靜期”后，考慮節點移出的SIR模型免疫節點數量增幅較小，增較小，穩態值較小。在謠言傳播過程中，感染節點移出對免疫節點變化具有較大的影響。

通過對比分析可以得到，在謠言的傳播過程中，由于部分傳謠的人利益受到損失而選擇直接離開整個網絡，相較于原始網絡，易感染節點密度出現一定幅度的下降，免疫節點密度下降幅度較大，感染節點密度出現一定的增大。盡管出現了這些差別，但是兩種模型前各類節點變化趨勢大致相同。

3.3 感染率、免疫率及真實免疫系數對謠言傳播閾值的影響

3.3.1 感染概率對謠言傳播過程的影響

設模型中參數分別為:β=0.4,μ=0.3,〈k〉=4.5，在各類謠言中，感染率高的謠言意味著更能吸引公眾的關注，更容易傳播。圖4分別表示為不同感染概率下易感染節點、感染節點以及免疫節點的密度隨時間變化關系圖。由圖4(a)可得，隨著感染概率的增大，感染過程的速度變化得更快，感染峰值Imax更大，到達峰值Imax的時間也越早。圖4(b)表示感染密度對易感染節點密度的影響。由圖可知，隨著感染概率的增大，易感染節點密度下降越快，穩態定狀態值s(∞)越小。由圖4(c)可得，隨著感染概率的增大，免疫節點密度增大越快，穩態值越大，到達穩態的時間相對提前。

圖3 三種類型的節點密度隨時間的變化對比

圖4 感染概率對節點密度的影響

3.3.2 免疫概率對謠言傳播過程的影響

設模型中參數分別為:α=0.3,μ=0.6,〈k〉=4.5，圖5分別表示為不同免疫概率下感染節點、易感染節點以及免疫節點的密度隨時間變化關系。從整體上看，雖然免疫概率不同，但三種節點的密度變化曲線在前期出現重合，表明免疫概率對謠言傳播過程的前期幾乎沒有影響。隨著傳播過程的發展，免疫概率對傳播過程的影響逐漸凸顯。具體表現是，免疫概率越大，感染峰值越小，到達峰值的時間相同，節點密度下降得越快；免疫概率越大，易感染節點密度下降得越慢，穩態值越大；免疫概率越大，免疫節點密度上升越快，穩態值越小。

3.3.3 真實免疫系數對謠言傳播過程的影響

在謠言傳播過程中，由于利益的損失，感染者轉變為免疫者的過程中，部分感染者以概率1-μ離開系統。為了研究這種因素對謠言傳播的影響，設模型中參數為:α=0.3,β=0.3,〈k〉=4.5。圖6分別表示不同真實免疫系數下易感染節點、感染節點以及免疫節點的密度隨時間變化的關系。從整體上看，三幅圖像中的曲線在前期均有一段重合，當達到感染峰值后出現輕微區別，對易感染節點的穩態影響不大，對免疫節點的穩態影響較大且影響程度較為均勻，真實免疫系數越大，免疫節點穩態值越大。

3.4 網絡平均度對謠言傳播過程的影響

網絡平均度是社交網絡拓撲結構的重要特征參數，它表示網絡中每個節點與周圍節點的平均連接數目。為了研究一般性規律，不針對具體網絡結構，通過抽象出節點平均度，研究節點移出的SIR模型中網絡平均度對謠言傳播過程的影響。設模型中參數分別為:α=0.3,β=0.4,μ=0.3，將平均度〈k〉分別設置為3、5和7，進行仿真計算如圖7所示。

圖7表示不同網絡平均度下的各類節點密度隨時間變化的關系圖。由圖7(a)可得，網絡平均度越大，易感染節點密度下降得越快，到達穩定狀態越早，穩態值一致；由圖7(b)可得，網絡節點平均度越大，感染節點密度增加得越快，到達峰值的時間越早，下降得也越快；由圖7(c)可知，平均度也越大，免疫節點密度上升越快，到達穩態時間越早，穩態值一致。仿真結果表明，網絡平均度對謠言的傳播過程具有重要影響，但沒有改變穩定狀態值。

圖5 免疫概率對節點密度的影響

圖6 真實免疫系數對節點密度的影響

圖7 網絡平均度對節點密度的影響

4 結語

本文針對節點移出網絡的情況，提出動態同質網絡上的SIR謠言傳播模型，解決了系統動態變化中的謠言傳播問題，拓展了SIR謠言傳播模型的應用范圍。研究表明，動態同質網絡上的SIR謠言傳播模型存在理論上的感染峰值和傳播穩態，參數對謠言傳播過程的影響各有側重。考慮到移出節點的度不同，動態非均勻網絡上的SIR謠言傳播模型是否依然存在感染峰值和穩態是一個研究難題。