磨光集新探

劉保乾

（西藏自治區組織編制信息管理中心，西藏 拉薩 850000）

文獻[1]提出了磨光集的概念，從而得到了自動加強不等式的一種新途徑.但文獻[1]中的算法要依賴于優秀機器證明軟件Bottema[2]，而且當最佳系數不可求時，磨光過程會遇到麻煩.本文以不等式的式商及標準數據為切入點，對磨光集進行了新探討，提出了穩定集的概念，并編寫了應用程序.大量實例表明，文中的算法和程序是實用而有效的.

以下設ΔABC的三邊為a，b，c，半周為s，內切圓半徑為r，外接圓半徑為R，面積為 Δ，中線、角平分線、類似中線和高依次為 ma，mb，mc、wa，wb，wc、ka，kb，kc和 ha，hb，hc，旁切圓半徑為ra，rb，rc，用Σ表示循環和.

1 有關概念

1.1 式差，式商

設有不等式

稱（2）式為不等式（1）的式商形式.

1.2 參考數據集

不等式（1）是有強弱之分的，但這種強弱是相對的，要有個比較范圍.因此，需要定義一個參考數據集.

1.2.1 標準數據

如果一個表達式滿足：

i它是一個比值的形式，且量綱為零；

ii它關于它所含的變元的對稱性相同；

iii當它的變元滿足條件E時，取值為1；

iv它的值不小于1.

則稱這個表達式為標準數據，稱E為這個標準數據的取等號條件.

例1在ΔABC中，任何一個由三角形常見元素構成的表達式均可用其邊長表示出來.現取條件為E＝{b＝c}，則表達式就是一個標準數據，這是因為的量綱為零，且關于邊長b，c對稱，當b＝c時

例3在ΔABC中，取條件為E＝{a＝b，或者b＝c，或者c＝a}，則表達式就是一個標準數據，這是因為的量綱為零，且關于 a，b，c 對稱，由楊學枝、尹華焱的不等式[3]

例5在ΔABC中，取條件為E＝（2a＝b＋c），則表達式就是一個標準數據，這是因為的量綱為零，且關于b，c對稱，當 2a＝b＋c時

例2中標準數據的取等號條件包含了例1中標準數據的取等號條件，我們就說這兩個數據的取等號條件是兼容的，而例4中的標準數據則不能同它倆兼容，這是因為取等號條件和a＝b＝c無法統一.

1.2.2 參考數據集

由取等號條件兼容的標準數據構成的集合為參考數據集.在一個確定的取等號條件E下，標準數據的全體記為ΩE，或簡寫為Ω.

由于構造出全體是不可能的，在實際研究中，一般取由具體給出的標準數據構成參考數據集.隨著研究的深入，可根據實際需要逐步擴充.

1.2.3 參考數據集的性質

i如果q1∈Ω，q2∈Ω 則

ii不等式的式商構成一個標準數據，其取等號條件與不等式相同.

1.3 加強集，磨光集

1.3.1 加強集

成立，則稱不等式

為不等式（1）對qi的加強不等式，稱集合為不等式（1）對集合S的加強集.

注意，對加強集中的元素，可在S中繼續進行比較，從而得到更強的不等式集，而且這個過程可以一直進行下去，直到在S中找不到一個元素q，使不等式成立，此時稱

為不等式（1）在參考數據集S下的最佳加強不等式.所有的最佳加強不等式的式商構成不等式（1）的最佳加強集.

1.3.2 磨光集

可以看出，加強不等式就是以參考數據集中的元素（即標準數據）為單位對不等式進行切割的過程，而且每切割一次，如果剩余的部分還足夠，就可以繼續切割，直到不能切割為止，最后剩下的部分就是最佳不等式.如果一個參考數據集中的元素，均以其他元素為單位進行切割，剩余的部分再構成新的數據集，如此反復切割，這樣形成的數據碎片就會越來越小，直至達到一個不能切割的水平，從而使數據集趨于一個確定的集合.這個過程十分類似于文獻[1]定義的磨光集，只不過那里是以式差（橫向）的方式磨光的，而這里則是通過式商（縱向）的方式實現磨光的.

1.3.3 穩定集

顯然，還可以對磨光集繼續進行打磨，并反復進行磨光.

設有參考數據集S，在對S的磨光過程中，如果某次磨光產生的磨光集T滿足M（T）＝T，則稱T為S的穩定集，用符號W（S）表示，即

可以看出，穩定集本質上就是磨光集，只不過此時集合中的標準數據已經被“磨平”了，無法再進行切割，因此集合中元素的數目就不再變化了.但一個參考數據集是否總有穩定集？這是需要進一步探討的.

穩定集是磨光過程趨于穩定的產物，到底需要多少次打磨才能穩定，這取決于參考數據集中元素的性狀.所以，穩定集從一個側面反映了參考數據集中各元素之間的制約關系和數量關系.穩定集無疑是很重要的，但許多情況下求穩定集是比較困難的，特別是參考數據集中有太大或太小的元素時，磨光過程中會切割出許多數據碎塊，往往會出現死機或運算時間超長的情況.此時可以選用部分數據進行磨光，雖然這是無奈之舉，但仍然是很實用而有效的策略.

為了與文獻[1]中定義的磨光集相區別，可稱本文中的磨光集為商式磨光集，而稱文獻[1]中定義的磨光集為差式磨光集.

2 算法和程序

由于穩定集是通過磨光集產生的，故磨光集的算法是關鍵.而磨光集的算法在文獻[1]的算法BOTKMGQ中已有詳述，所不同的是，在BOTKMGQ中，是通過調用Bottema軟件計算最佳系數得到的，而本文中，由于標準數據是以式商的形式出現，這樣磨光時，每次只要直接測試數據大小即可，而這可以調用隨機數驗證程序otf直接實現，故這里不再詳述算法.根據最佳加強集、磨光集和穩定集的定義，再結合文獻[1]中的算法BOTKMGQ，不難編寫相應的程序模塊，從而得到相應的新命令，即最佳加強集命令bsset，磨光集命令mgyc以及穩定集命令wdj.這些命令將作為agl2012程序的新功能，出現在以后的各種應用場合.本文程序的運行環境是Intel（R）Core（TM）i5-2450M CPU@2.50GHz，編程語言是Maple15.

3 應用舉例

例6在ΔABC中，由數據a，ha，ra構造對稱不等式，這些不等式的式商構成一個數據集，試確定這個數據集的穩定集.

解 鍵入命令：

從而得到一個數據集D，D中的數據滿足標準數據的條件，且取等號條件是a＝b＝c，故D構成一個參考數據集，具體數據是：

現求D的穩定集.鍵入命令：

則顯示

上述數字表明，對數據集D進行了3次打磨，最后得到了穩定集，且穩定集中有8個元素，用時204.767s.穩定集中的數據如下

W中的數據對應8個不等式，且這些不等式對參考數據集D來說是最佳的.如有不等式

如果在數據a，ha，ra的基礎上再加入r，即將語句改為

則仿上述過程可產生一個有24個元素的數據集D.在執行wdj（D）命令后，經過相當長時間的計算，最后顯示出如下數字：

這些數字表明，對數據集D進行了5次打磨最終得到了穩定集，且穩定集中有38個元素，用時約36619.862s.穩定集中的數據此略.

例7為了建立關于ma－r的不等式，且不等式的取等號條件為b＝c，鍵入命令

可得到一個參考數據集：

在te中，每個標準數據取等號條件均是b＝c.現求te的穩定集.鍵入命令：

經過46.64s運算后，輸出

out1就是te的穩定集.在out1中，與ma－r有關的不等式有2個，為

上述得到不等式（10），（11）的過程可以描述為：我們對參考數據集te進行了若干次打磨，最后穩定于out1那種狀態——以后無論再打磨多少遍，其中的元素均保持不變.

陳計曾建立關于三角形中線的不等式

不等式（12）取等號的條件是b＝c.由（12）式得標準數據由于不等式（12）較強，那么對于正在打磨的參考數據集te來說，就是一個更小的數據“刀片”.現設想一下，這樣的“刀片”放入te中去打磨，將會把參考數據集中的元素切割的更小，從而得到更強的不等式，事實會是如此嗎？現用wdj命令進行驗證：

加入新的更小的“刀片”后，參考數據集變成

鍵入命令：

則經過2035.891s運算后，輸出

即經過一系列打磨后，得到了穩定集out2.在out2中，有意義的不等式是

不等式（13）反向加強了式（12）.

此時參考數據集變為

鍵入命令：

則經過16371.962s運算后，輸出

注意ttte中只有9個元素，而此時out3中已經有21個元素（限于篇幅，這里省略了部分結果），即當加入“大塊頭的”標準數據后，經過一系列打磨過程，磨光穩定于21個碎片的狀態，即得到穩定集out3.

out3中的每個數據對應一個最佳不等式，而且不少結果是很有意義的，因為它們是關于三角形中線的上界或下界型不等式，這里不再一一列出.

此例說明，在磨光集或穩定集的背景下，不僅強的不等式很有用的，而且平凡的不等式同樣也有用，因為，當它們被不同的“刀片”切割時，產生的碎片的價值是不可預料的.這暗示今后發現特殊取等號條件的不等式或更強的不等式的門檻和條件會更低，不等式的來源也更廣泛.

例8為了建立關于ΔABC類似中線ka的不等式，且不等式的取等號條件為b＝c或a2＝b2＋c2，鍵入命令

＞zjbj_otfqdcs（yc，yc，0，0，1，1，1，1，1）；

＞ls:＝glybzjsz（lbqc（gldj（dy），{1}））；#過濾直角三角形時取等號的結果#則可得參考數據集

在ineq中，每個標準數據取等號條件均是b＝c或a2＝b2＋c2，求ineq的穩定集，易發現優美不等式

一般來說，發現上述特殊取等號條件的不等式是十分困難的.

例9在ΔABC中，有Panaitopol不等式

試加強不等式（14）.

解 注意不等式（14）的取等號條件是{a＝b＝c}，這與條件{b＝c}有交集，故可以調用例7中的參考數據集進行加強.求不等式（14）的式商對參考數據集的最佳不等式集，即鍵入命令：

則輸出最佳不等式集

out中的4個數據元素對應不等式（14）的4個加強不等式，這里不再細述.

例103元3次schur不等式是

試加強不等式（15）.

解 首先寫出不等式（15）的式商.為此，將不等式（15）變為（1）的形式，得

對于不等式（16）的式商，構造一個參考數據集（參考數據集可有多種方法預先給出），再計算穩定集，得到一個由5個數據元素構成的集合，其中第1個元素對應的不等式鏈是

（17）式顯然是不等式（15）的加強.其余加強結果限于篇幅，這里不再列出.

4 結語和問題

如果說文獻[1]是以式差的方式橫向磨光的話，那么本文中的磨光則是以式商的方式縱向磨光的.不論何種磨光方式，其結果都將會導致數據被切割成碎塊——發現更強的不等式，而且這兩種磨光方式是不可互相取代的.從這種意義上來說，本文是文獻[1]有益的補充和發展.事實證明，穩定集將使agl2012程序由批量發現不等式上升為批量發現一些特殊取等號條件不等式，雖然目前的探索只是初步的，但這個途徑似乎已經找到了.

穩定集，秩序圖[4]和量級[5]，外加不等式自動發現與判定程序agl2012，為系統研究和發現不等式尤其是三角形幾何不等式，搭建了基本的思路和框架，繪制了一個清晰的思路.如何補充和完善算法，擴大應用范圍，值得進一步研究和探討.