李海洋， 謝里陽， 李銘， 李強， 鐘海

(1.東北大學 機械工程與自動化學院， 遼寧 沈陽 110819;2.東北大學 航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室， 遼寧 沈陽 110819)

0 引言

在機械電子領域，電機類產(chǎn)品一般具有高可靠性與長壽命的特點，其可靠性問題研究受到國內(nèi)外學者的廣泛關注[1-2]。隨著科技進步，產(chǎn)品可靠性越來越高，在高可靠性產(chǎn)品的可靠性定時截尾試驗中經(jīng)常出現(xiàn)大量的無失效數(shù)據(jù)[3]。近些年來，無失效數(shù)據(jù)產(chǎn)品可靠性評估方法研究已成為熱點問題。

在無失效數(shù)據(jù)情況下，產(chǎn)品可靠性評估難點在于如何利用樣本對產(chǎn)品進行失效概率估計。Martz等[4]最早提出在指數(shù)分布情況下無失效數(shù)據(jù)可靠性檢驗方法，按照后驗分布風險準則選取失效概率先驗分布的百分數(shù)，進而估計產(chǎn)品失效概率。趙海兵等[5]和Jiang等[6]擴展了失效概率的估計方法，提出了失效概率在威布爾分布與正態(tài)分布情況下的最小二乘估計和Bayes估計方法。此外，Miller等[7]建立“黑盒子模型”對無失效數(shù)據(jù)進行評估，計算出失效概率的先驗分布，減少了主觀因素對可靠性評估結(jié)果的影響。產(chǎn)品失效概率的估計是對無失效數(shù)據(jù)產(chǎn)品進行可靠性評估的前提，可靠性評估指標一般采用可靠度或平均故障間隔時間(MTBF)。賈祥等[8]采用不同方法對產(chǎn)品壽命分布相關參數(shù)進行估計,得到產(chǎn)品可靠度的點估計和區(qū)間估計，增加了產(chǎn)品可靠性評估結(jié)果表達形式的可信性。郭榮化等[9]基于小概率原理提出一種無失效數(shù)據(jù)情況下MTBF的簡單計算方法，該方法對指數(shù)分布的極大似然估計法進行了有益補充。羅巍等[10]通過定時截尾數(shù)據(jù)的極大似然估計方法得到參數(shù)的偽似然估計值,利用修正的似然函數(shù)法對貯存階段的無失效數(shù)據(jù)進行了統(tǒng)計處理,并得到系統(tǒng)貯存可靠度。為了使可靠性評估結(jié)果更接近實際，韓明[11]提出一種可靠性參數(shù)估計的“綜合Bayes估計法”，將失效信息引入產(chǎn)品失效概率估計中，避免了可靠性評估結(jié)果中出現(xiàn)的“冒進”現(xiàn)象。無失效數(shù)據(jù)可靠性評估中引入失效信息后，在樣本量較小時，可靠性評估結(jié)果會不那么“保守”，在樣本量充足時，可靠性評估結(jié)果將不那么“冒進”。

目前，無失效數(shù)據(jù)可靠性的評估方法中,單側(cè)置信限法可直接利用無失效試驗數(shù)據(jù)估計產(chǎn)品的可靠度，計算過程簡單，效率高，適用廣泛。文獻[12-13]將與產(chǎn)品可靠性有關的參數(shù)作為隨機變量，利用不同置信區(qū)間的參數(shù)估計得到單側(cè)置信限下的可靠度，所提方法簡化了產(chǎn)品可靠度計算過程，提高了評估效率。夏新濤等[14]將Bootstrap方法引入無失效數(shù)據(jù)置信限評估法，獲得產(chǎn)品可靠度的區(qū)間估計，在無失效數(shù)據(jù)情況下利用小樣本也可以得到合理且有效的可靠性評估結(jié)果。陳家鼎等[15]提出一種最優(yōu)置信限法，得到不同分布情況下可靠性參數(shù)的點估計，在對同一樣本進行可靠性評估時，所提出的方法計算得到產(chǎn)品可靠度偏高。韓明[16]利用單側(cè)置信限方法計算出壽命服從指數(shù)分布和威布爾分布情況下有關參數(shù)的置信限。在威布爾分布情況下，往往已知形狀參數(shù)的真值才能得到產(chǎn)品可靠度單側(cè)置信限。利用無失效數(shù)據(jù)置信限法對產(chǎn)品進行可靠性評估時，樣本量大小對可靠性評估結(jié)果起到?jīng)Q定性作用，較大或者較小的樣本量會使可靠性評估結(jié)果偏離工程實際。

針對上述問題，本文提出一種引入失效信息的修正單側(cè)置信限評估法，在無失效數(shù)據(jù)的樣本量充足情況下，不僅能夠滿足可靠性評估要求，還增加結(jié)果的可信性。將某型號液壓驅(qū)動串聯(lián)工業(yè)機器人中使用的步進電機無失效數(shù)據(jù)作為實例，通過假設步進電機產(chǎn)品的壽命分布類型，根據(jù)無失效數(shù)據(jù)分組方式不同，采取不同數(shù)據(jù)處理策略，將失效信息引入失效率估計中得到產(chǎn)品失效率的Bayes估計值，再利用失效率估計值并通過單側(cè)置信限方法得到產(chǎn)品可靠度和MTBF. 實例分析表明，在試驗數(shù)據(jù)充足情況下引入失效信息后的修正單側(cè)置信限法，可有效避免可靠性評估結(jié)果“冒進”現(xiàn)象的發(fā)生。

1 產(chǎn)品壽命分布類型的確定

1.1 步進電機壽命分布類型

利用可靠性試驗中的產(chǎn)品壽命數(shù)據(jù)，經(jīng)過統(tǒng)計分析能夠確定該產(chǎn)品在此工況下的壽命分布類型。如果產(chǎn)品壽命分布類型的確切信息未知，可通過同類產(chǎn)品壽命分布的特征參數(shù)進行等效類比，即假設此類產(chǎn)品壽命分布與同類其他產(chǎn)品相同。由于電機類產(chǎn)品壽命取決于轉(zhuǎn)子上軸承的壽命，轉(zhuǎn)動軸承壽命一般認為服從威布爾分布[17]，故有學者認為電機類產(chǎn)品壽命應該服從威布爾分布[18]。還有人認為電機屬于電子類產(chǎn)品，壽命應服從對數(shù)正態(tài)或指數(shù)分布[19]等。其實，確切判斷電機產(chǎn)品的壽命分布類型具有一定難度，一般認為電機類產(chǎn)品的壽命服從指數(shù)分布，理由如下：

1)隨著科技進步，電機類產(chǎn)品可靠性越來越高，對電機類產(chǎn)品進行可靠性評估一般只能利用產(chǎn)品失效率曲線的一段，樣本總體分布很難獲得。在此區(qū)間假設電機產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布是合理的[20]；

2)經(jīng)過許多學者的統(tǒng)計分析，電機類產(chǎn)品在長時間運行情況下，壽命分布類型顯示出服從指數(shù)分布的特點[21]；

3)在電機類產(chǎn)品生產(chǎn)過程中各個零部件都會按照相關標準進行檢測，將保證其整體具有較高的可靠性。在電機類產(chǎn)品本身失效率浴盆曲線的偶然失效階段，此時失效率恒定；

4)指數(shù)分布描述電機壽命分布保守、有效，同時具有一定的實際運用價值[22]。

綜上所述，假設步進電機壽命服從指數(shù)分布是合理的。

1.2 指數(shù)分布情形可靠度和MTBF計算

平均壽命是評估產(chǎn)品可靠性的重要指標之一。對于可修復產(chǎn)品來說，平均壽命為產(chǎn)品每次從開始使用到失效這段有效工作時間長度的平均值，記為MTBF[23]，典型壽命觀測情況示意圖如圖1所示。

對產(chǎn)品進行可靠性評估一般需要獲得其壽命分布類型，從而便于利用特定分布性質(zhì)說明產(chǎn)品的一些潛在特性。用指數(shù)分布表示產(chǎn)品壽命分布時，可靠度分布函數(shù)為

(1)

式中：R(t)為可靠度；t為產(chǎn)品工作時間；λ為失效率。θ=1/λ為平均故障間隔時間，即產(chǎn)品的MTBF.

2 無失效數(shù)據(jù)置信限評估法

2.1 無失效數(shù)據(jù)來源及定時截尾試驗分組

對無失效數(shù)據(jù)分組主要有兩種形式，即單組定時和分組定時的數(shù)據(jù)。分組定時無失效數(shù)據(jù)又分為試驗前分組與試驗后分組，試驗截尾時間又分為有規(guī)律和隨機的，具體情況如圖2所示。

單組定時截尾和分組定時截尾的無失效數(shù)據(jù)模型有以下3種形式：

1)單組定時截尾數(shù)據(jù)。當n個產(chǎn)品進行可靠性試驗時，截尾時間為t，試驗數(shù)據(jù)結(jié)果的觀測向量表示為Z=(t,n).

2)試驗前定時分組數(shù)據(jù)。當n個產(chǎn)品進行可靠性試驗時，預先分成每組有ni個樣品的m組，設定截尾時間t1，t2，…，tm為正數(shù)，其中t1

通過以上分析可知，單組定時截尾是分組定時截尾的一種特殊情況。

2.2 無失效數(shù)據(jù)的置信限評估法基本思想

無失效數(shù)據(jù)置信限法屬于單側(cè)置信限法，當用h(Z)表示k(θ)的1-α水平置信下限時，需要滿足Pθ(k(θ)≥h(Z))≥1-α，其中，θ為未知參數(shù)，Pθ代表Z分布函數(shù)F(x,θ)的概率。設I為Z的全集，φ(u1,u2,…,u2n)是一個任意的Borel函數(shù)，對于z∈I，滿足(2)式[24]：

(2)

(3)

式中：Z0為無失效數(shù)據(jù)情況下觀測向量。

2.3 單組定時截尾無失效數(shù)據(jù)置信限法

2.3.1 經(jīng)典無失效數(shù)據(jù)置信限法

當n個產(chǎn)品進行可靠性試驗時，截尾時間為t0，壽命服從指數(shù)分布情況下的可靠度R在置信水平為1-α時經(jīng)典下限[24]為

(4)

根據(jù)文獻[25]可知截尾時間t0處可靠度Rt0的經(jīng)典置信下限為Rlt0，即

(5)

此時，將(4)式代入P(Rlt0

(6)

通過(6)式計算得到在單組定時截尾無失效數(shù)據(jù)情況下MTBF置信下限θcs為

(7)

2.3.2 最優(yōu)置信限法

根據(jù)文獻[24]，在產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布情況下，對n個產(chǎn)品進行定時截尾試驗，截尾時間為t0，其中Nt0=(n+1)t0. 產(chǎn)品可靠度R在置信水平為1-α時值為

(8)

平均壽命在置信水平1-α時置信下限為

(9)

此處，通過一個數(shù)值算例說明最優(yōu)置信限法與經(jīng)典方法之間的差別。假設定時截尾試驗得到的單組無失效數(shù)據(jù)中的相關參數(shù)：t0=100 h，λ0=1.0×10-3，n=100. 在置信水平1-α從0.50到0.90時，兩種置信限評估方法計算得到的產(chǎn)品MTBF變化趨勢如圖3所示。

算例中產(chǎn)品的θos曲線略高于θcs曲線，也就是說兩種方法得到的曲線并不重合。在圖3中，將置信水平1-α區(qū)間為0.70～0.75的一段放大后，可以看出，相同置信水平時最優(yōu)置信限法得到的MTBF值比經(jīng)典置信下限法略大。

2.4 分組定時截尾無失效數(shù)據(jù)置信限法

2.4.1 經(jīng)典無失效數(shù)據(jù)單側(cè)置信限法

在進行定時截尾試驗時，樣品分為m組，截尾時間為ti，每個時間對應樣品個數(shù)為ni，產(chǎn)品無失效數(shù)模型用Z=(ni,ti)表達，i=1,2,…,m，1/λ為未知參數(shù)θ的具體表達形式，根據(jù)文獻[26]可以得到可靠度R(t,1/λ)=exp (-λt)的θ水平經(jīng)典置信下限為

(10)

(11)

2.4.2 Bayes可信下限法

置信水平為1-α時的Bayes可信上限λBm滿足：

(12)

由(11)式可得1/λ的Bayes可信下限為

(13)

將(13)式代入(1)式可得到產(chǎn)品的可靠度在置信水平1-α時的Bayes置信下限為

(14)

3 修正無失效數(shù)據(jù)置信限法

3.1 確定有關參數(shù)

前m組定時截尾試驗中無一產(chǎn)品失效，如果進行m+1次試驗出現(xiàn)失效數(shù)據(jù)，將對現(xiàn)有置信限法所得到的可靠性評估結(jié)果起到修正作用。然而，第m+1組試驗實際上沒有進行，所以tm+1、nm+1、r(失效樣品個數(shù))是未知參數(shù)。

文獻[6]給出了參數(shù)tm+1和nm+1的計算方法，即

(15)

(16)

3.2 修正單側(cè)置信限評估法

在應用單側(cè)置信限評估法時，無論對單組定時截尾還是分組定時截尾的數(shù)據(jù)，參數(shù)N對可靠性評估結(jié)果產(chǎn)生絕對影響。引入失效信息后產(chǎn)品失效率的估計值將對產(chǎn)品可靠性評估結(jié)果起到修正作用。在進行m+1次試驗后失效樣品個數(shù)r=0的幾率最大，r=1的幾率小，r=nm+1的可能性幾乎不可能。引入失效信息后得到的產(chǎn)品失效率估計值為λ*，由各個截尾時間處樣品失效率的加權平均得到[9]，即

(17)

(18)

(19)

r=0,1,2,…,nm+1.

經(jīng)過m+1次試驗，利用經(jīng)典無失效數(shù)據(jù)置信限法計算的產(chǎn)品λ估計值表示為*. 當無失效數(shù)據(jù)累積定時截尾試驗時間時，根據(jù)(15)式計算得到與等效替換，從而獲得修正單側(cè)置信限評估法來估計產(chǎn)品的失效率，表達式為

(20)

修正后的置信限評估法計算得到的產(chǎn)品MTBF估計值為

(21)

當置信水平為1-α時，修正后產(chǎn)品的可靠度R估計值為

Rk=exp (t*lnα).

(22)

在機電產(chǎn)品可靠性設計過程中，進行靈敏度分析可以使產(chǎn)品在再設計時修改設計參數(shù)做到有的放矢，具有一定的工程實用價值[28-30]。為了考慮參數(shù)N對失效率的影響程度，失效率對參數(shù)N的靈敏度為

(23)

當進行無失效數(shù)據(jù)的產(chǎn)品可靠性評估時，由于失效率對產(chǎn)品MTBF與可靠度的影響程度不同，關于無失效數(shù)據(jù)產(chǎn)品可靠性參數(shù)的靈敏度分析具有重要意義。基于不同單側(cè)置信限法的產(chǎn)品可靠度與MTBF對失效率的靈敏度為

(24)

(25)

3.3 適用性分析

當前的無失效數(shù)據(jù)可靠性評估方法，幾乎都是直接利用無失效數(shù)據(jù)得到相關參數(shù)估計值，再對產(chǎn)品進行可靠性評估。經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，在單側(cè)置信限評估法中，產(chǎn)品MTBF數(shù)值隨著樣本量增大而增大，不僅僅與較長的截尾時間相關。所以，將超出最大截尾時間一段外推時間處可能發(fā)生失效的情況加以考慮，修正單側(cè)置信限評估法是充分利用無失效數(shù)據(jù)信息的一種手段。通過3.2節(jié)的評估結(jié)果可知，結(jié)合產(chǎn)品失效概率的Bayes估計可以使得計算結(jié)果簡單，不需要數(shù)值積分計算，便于工程人員的應用。在樣本充足情況下利用修正單側(cè)置信限評估法進行可靠性評估，能夠提高結(jié)果準確性，有效防止“冒進”現(xiàn)象的發(fā)生。

4 實例驗證

某型號液壓驅(qū)動串聯(lián)工業(yè)機器人中的步進電機通過可靠性定時截尾試驗得到一組無失效數(shù)據(jù)(共分為18組，樣本量為52個)，按時間順序列于表1. 當步進電機的MTBF估計值大于10 000 h，認為這批產(chǎn)品合格，否則拒收。

表1 步進電機無失效數(shù)據(jù)與樣本Tab.1 Zero-failure data and sample number of stepping motor

4.1 置信水平與樣本量對可靠性評估的影響

經(jīng)過2.1節(jié)分析可知，實例中的無失效數(shù)據(jù)屬于隨機分組定時截尾數(shù)據(jù)，利用經(jīng)典無失效數(shù)據(jù)單側(cè)置信限法(10)式進行計算，可以得到不同置信水平和隨著任務時間變化時的產(chǎn)品可靠度，計算結(jié)果列于表2.

表2 不同置信水平的可靠度Tab.2 Reliabilities of products with different confidence levels

由表2中產(chǎn)品可靠度估計結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：產(chǎn)品在任務時間1 000～15 000 h之間時，可靠度隨著置信水平升高而下降，置信水平越高、可靠度下降速度越快；在同一任務時間，產(chǎn)品可靠度隨著置信水平提高而呈下降趨勢；在任務時間短時，產(chǎn)品可靠度估計值下降得慢，反之下降得快；當置信水平1-α為0.95時，產(chǎn)品可靠度受其他參數(shù)變化的影響適中。

數(shù)據(jù)樣本量對可靠性評估結(jié)果同樣產(chǎn)生一定影響，利用單組定時截尾無失效數(shù)據(jù)置信限法對步進電機進行評估。將電機樣本截尾時間的均值與單組定時截尾無失效數(shù)據(jù)置信限法中的t0替換，即每個樣品運行時間用均值t0=|N/n|=3 427 h來表示，其中

(26)

將t0作為樣品定時截尾試驗結(jié)束的時間值，即全部樣本在t0時刻停止試驗。當置信水平1-α為0.95時，分析任務時間變化與產(chǎn)品可靠度之間的關系，結(jié)果如表3所示。

表3 不同樣本量時的產(chǎn)品可靠度Tab.3 Reliabilities of products for different sample sizes

由表3可以看出，在樣本量較小情況下，隨著任務時間縮短，產(chǎn)品可靠度估計值增加較快，對可靠性評估造成不利影響，可見利用單側(cè)置信限法評估無失效數(shù)據(jù)時樣本數(shù)量不宜過少；在樣本數(shù)量50個左右時產(chǎn)品可靠度估計值處于較合理水平。

產(chǎn)品MTBF估計值會隨置信水平變化而變化，通過經(jīng)典無失效數(shù)據(jù)置信限法中的(4)式計算步進電機的MTBF，結(jié)果如表4所示。當置信水平1-α為0.90時，對應的步進電機產(chǎn)品MTBF是置信水平1-α為0.99時的2倍。

表4 不同置信水平的產(chǎn)品MTBFTab.4 MTBFs of products with different confidence levels

為了分析樣本量變化對步進電機產(chǎn)品MTBF影響，當置信水平1-α為0.95時，同樣將t0作為單組定時截尾試驗的無失效樣本試驗停止時間，根據(jù)(7)式計算得到的結(jié)果如表5所示。

表5 不同樣本量時的產(chǎn)品MTBFTab.5 MTBFs of products for different sample sizes

4.2 修正單側(cè)置信限評估法的評估結(jié)果

表6 失效率λ計算結(jié)果Tab.6 Calculated results of each failure rate λ 10-6

利用表6中的結(jié)果，通過(22)式計算得到引入失效信息后的產(chǎn)品可靠度。取3個置信水平，電機產(chǎn)品可靠度隨著任務時間變化的結(jié)果如表7所示。由表7中產(chǎn)品可靠度的結(jié)果發(fā)現(xiàn)：當任務時間在1 000～15 000 h之間時，產(chǎn)品可靠度隨著置信水平升高而下降；置信水平越高，產(chǎn)品可靠度估計值下降速度越快；當任務時間一定時，可靠度隨著置信水平提高同樣呈現(xiàn)下降趨勢；當任務時間短時，產(chǎn)品可靠度估計值下降得慢，反之下降得快。

表7 不同置信水平的可靠度Tab.7 Reliabilities of products with different confidence levels

4.3 可靠性評估結(jié)果對比分析

單側(cè)置信限法評估得到的產(chǎn)品可靠度估計值隨著任務時間增加而減小，當置信水平1-α為0.95時，利用經(jīng)典無失效數(shù)據(jù)單側(cè)置信限法(方法1)、Bayes可信下限法(方法2)、修正單側(cè)置信限法(方法3)計算任務時間從5 000～30 000 h時步進電機產(chǎn)品的可靠度，3種方法得到的產(chǎn)品可靠度曲線變化趨勢如圖4所示。

從圖4可以看出，隨著產(chǎn)品任務時間增加，3種方法得到的產(chǎn)品可靠度估計值逐漸減小，曲線斜率基本不變。利用方法3得到的可靠度估計值低于方法1和方法2，可見引入失效信息可使可靠度變得不那么“冒進”。

當置信水平1-α的區(qū)間為0.95～0.99時，利用方法1、方法2、方法3計算得到產(chǎn)品MTBF估計值變化曲線，如圖5所示。

由圖5可知，3種方法MTBF變化曲線的斜率變化基本一致。由于引入失效信息，利用方法3計算所得的產(chǎn)品MTBF變化曲線在方法1和方法2之下。由此可見，在獲得相同的MTBF估計值時，修正單側(cè)置信限法不需要采取與其他兩種方法同樣高的置信水平。引入失效信息后的評估方法具有明顯優(yōu)勢，并且可以有效防止MTBF評估結(jié)果“冒進”現(xiàn)象的發(fā)生。

在置信水平1-α為0.99情況下，利用上述3種方法得到步進電機的MTBF值均大于10 000 h，但產(chǎn)品可靠度不足0.8，結(jié)果如表8所示。當任務時間滿足1 000 h時，利用方法3計算得到產(chǎn)品的可靠度為0.973，完全滿足產(chǎn)品對于可靠度的需求。

表8 3種方法的可靠性評估結(jié)果對比Tab.8 Comparison of estimated reliabilities of three methods

通過對可靠性參數(shù)的靈敏度分析可知，本文所提出的方法3計算得到的失效率對參數(shù)N的靈敏度與可靠度對失效率的靈敏度均小于方法1與方法2，顯示了方法3在失效率對參數(shù)N變化與可靠度對失效率敏感程度低。而失效率對MTBF的影響程度，方法3所得結(jié)果要高于方法1與方法2.

5 結(jié)論

在指數(shù)分布情況下，本文基于無失效數(shù)據(jù)的置信限法對產(chǎn)品進行可靠性評估，得到如下結(jié)論：

1)為滿足可靠性評估要求，需對產(chǎn)品無失效數(shù)據(jù)進行定性分組處理，單組定時截尾和分組定時截尾的無失效數(shù)據(jù)評估采用的策略不同。

2)無論參數(shù)估計方法還是置信限評估方法所得到的產(chǎn)品可靠度或者MTBF的結(jié)果均對所研究對象的數(shù)據(jù)樣本量大小敏感。樣品定時截尾時間累加之和越大，估計出來的產(chǎn)品MTBF值越大。產(chǎn)品MTBF值對單個偏離樣本壽命均值較大的樣本同樣敏感，即一個極大或者極小的壽命時間樣本會顯著地影響可靠性評估結(jié)果。

3) 通過與其他置信限分析方法的計算結(jié)果對比驗證了修正的單側(cè)置信限評估法合理性。當樣本量充足時，由于引入了失效信息，能夠有效防止可靠性評估結(jié)果“冒進”現(xiàn)象的發(fā)生，從而提高可靠性評估結(jié)果的準確性與穩(wěn)健性。