戰斗部殼體爆炸破片體/線分形維數研究

楊云川， 朱建軍， 鄭宇， 李文彬， 王曉鳴， 喬相信， 李瑞

(1.沈陽理工大學 裝備工程學院, 遼寧 沈陽 110159;2.南京理工大學 智能彈藥技術國防重點學科實驗室, 江蘇 南京 210094)

0 引言

高應變率動態加載過程中材料斷裂成大量小塊的碎片屬于一個非線性、不可逆和不確定現象，而與材料破碎相關的物理學分支具有悠久且豐富的歷史，在武器行業、采礦業及制造業一直受到關注。而且在炸藥爆炸瞬時加載下金屬殼體材料內部結構的失效、斷裂以及破碎一直是超高速科學的核心，特別是破碎形成破片過程一直受到軍事各領域的密切關注[1-3]。早在1947年Mott[4]提出了數學統計模型來預測爆炸條件下金屬殼體材料斷裂內部卸載波傳播過程，并建立了殼體爆炸破碎形成破片質量分布規律模型。隨后Brown等[5]基于Weibull分布建立了金屬殼體爆炸破碎模型：

M(m)=exp[-(m/me)λ],m>0,me,λ>0，

(1)

式中：λ為分布模數；m為破片質量；me為特征質量；M(m)為質量大于m的破片相對質量。Weibull分布可以廣泛應用于金屬殼體材料破碎形成破片尺寸分布中[6-7]，其揭示了指數形式或類指數形式(如Gamma分布和Weibull分布)的函數可以表示動態破碎下形成破片質量分布特征[8-9]，表明特征質量和特征尺寸存在一定關系。但由于破碎過程的隨機性、多樣性和復雜性，使得目前一系列數學模型很難給出參數的物理含義，只能定性分析金屬殼體爆炸破碎分布規律，導致利用傳統破碎理論來分析殼體破碎形成破片分布十分困難。雖然爆炸條件下金屬殼體破碎過程是無規則且隨機的，但其形成破片的分布具有相似性，這與分形理論中無規分形的統計自相似性概念十分相似[10]。

分形理論可用于描述歐氏幾何無法描述的不規則現象和物體，Mandelbrot[11]針對海岸線長度的闡述而提出了分形概念。近30年來，分形理論在物理、化學、數學、生物、材料等領域獲得了一批成果，成為人們研究滿足無規分形自然現象的有力數學方法[12-15]。大量研究結果表明，破碎顆粒材料滿足統計自相似，屬于無規分形，不僅顆粒材料粒度分布可用分形維數表征，而且顆粒材料輪廓曲線亦可用分形維數表征[16-17]。對于爆炸條件下金屬殼體破碎領域，有學者發現從分形角度而言破碎過程中破片的時間和空間分布遵守自型解規律，破片分布遵循的統計學可以用分形理論來表示[18-19]。但其僅僅驗證了傳統意義上爆炸破碎后形成破片尺寸分布的統計方法和分形統計方法是一致的，而對于分形理論是如何表征破片尺寸分布及形貌特征的研究較為少見。由于傳統描述爆炸瞬時條件下金屬殼體材料破碎特征的模型已無法滿足材料科學和工程的發展需求，破片不規則形貌特征的表征一直無法用傳統歐式幾何進行描述，使得爆炸條件下金屬殼體材料破碎領域的研究一直停滯不前。而分形理論的誕生，則為定量描述破片形狀的復雜程度及破片材料的自身幾何特性提供了一個新途徑。

為了研究爆炸條件下金屬殼體材料破碎形成破片尺寸分布特征和破片形貌特征之間關系，本文利用新的分形維數定義來研究破片分形破碎質量分布特征，結合MATLAB軟件和殼體爆炸破碎性試驗對破片質量分布特征和形貌特征進行研究，將體/線分形維數引入爆炸條件下金屬殼體破碎研究中，從分形角度對殼體爆炸破碎形成破片特征進行分析，為后期爆炸條件下金屬殼體破碎理論研究提供技術支持。

1 破片體/線分形維數測定數學模型

在金屬殼體爆炸破碎過程中，目前包括Weibull分布、指數分布、正態分布等一系列指數分布形式基本均能表征殼體爆炸破碎形成破片質量分布規律[20-22]，而因爆炸的瞬時性以及破碎形成破片形狀無規則性，使得目前針對形成破片的形狀內部關系研究一直停滯不前。本文將分形基本理論和思想方法引入爆炸殼體破碎研究中，建立破片體/線分形維數測定模型，并將離散型隨機變量轉化成連續型隨機變量，以解決金屬殼體爆炸破碎過程中遇到的困難。

1.1 破片體分形維數測定數學模型

本文以雙參數Weibull分布形式，即Rosin-Rammler分布形式來表征爆炸條件下金屬殼體材料破碎形成破片質量分布規律，為表述方便，數學模型去正累積率形式：

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式中：M+為質量大于m的破片質量累積率。Rosin-Rammler分布中分布模數λ決定質量分布密度曲線的基本形狀，特征質量與質量分布范圍有關。

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(4)

與文獻[23]中體分形維數測定數學模型相似，破片質量單位正累積率的變化率M+與單位質量的破片特征質量t的變化率呈正比，與t的分形測度呈反比，其微分方程形式為

(5)

式中：k為常數。對(5)式積分并將初始條件破片質量m=0時，破片單位正累積率M+=1代入，最終獲得

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1.2 破片線分形維數測定數學模型

碼尺法原理如圖1[24]所示，圖中Fmax為最大徑，從邊界上任一點S起始，以步長r為半徑畫弧，得到與邊界輪廓的交點A，從A點開始畫弧，得到點B，重復上述過程(點C，點D，…，點S)直到最后得到余量Cr，最終該輪廓的總周長可近似寫為

L=Krα，

(7)

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2 炸藥加載下殼體破碎性試驗研究

2.1 試驗布局

為了研究爆炸作用下殼體破碎形成破片形狀特征，并驗證分形理論能否在爆炸殼體破碎領域上應用，本文設計了殼體爆炸破碎性試驗，試驗殼體結構如圖2所示。炸藥裝藥為8701基壓裝混合炸藥，長90 mm，直徑50 mm，密度1.70 g/cm3，爆速8 545 m/s. 殼體材料選用45號鋼，密度7.85 g/cm3，殼體壁厚6 mm，質量745.76 g. 起爆方式為圓筒一端中心起爆，為了便于雷管安置定位，在起爆端處安置雷管座。

2.2 試驗結果及初步分析

采用網眼大小為0.1 mm×0.1 mm多層尼龍篩網過濾和磁鐵吸拾等方法回收爆炸條件下殼體破碎形成破片，回收所得破片如圖4所示。由圖4可知形成破片形狀極其不規則，但基本為長條形，破片長寬比大多數大于1.5.

使用精度為0.01 g天平對破片進行稱量、計數，并對其進行分級處理。回收所得破片總質量為387.45 g，破片回收率88.0%，基本完全回收。試驗值與理論值有所偏差的主要原因在于實際破碎過程中，殼體環向隨機破碎形成破片尺寸大小不一，實際回收區域內的破片有所減少。另外，本文采用的篩網無法回收小于篩網孔洞的小破片，因此使得實際回收所得破片總質量小于理論值。由于質量在0.1 g以下破片形狀較小，難以分辨，因此本文未對其進行統計，回收所得破片質量在0.1 g以上總質量為370.33 g，破片數目642個，殼體形成破片的質量范圍和數量分布情況如表1所示。

表1 破片質量分布

試驗獲得的破片質量與相對數目分布規律如圖5所示。由圖5可見，破片質量相對累計數目分布規律呈指數形式變化，且變化斜率隨著破片質量增大而先增大、后減小，最終趨于0. 表明爆炸條件下殼體破碎形成不規則形狀的破片質量分布規律滿足統計意義上的自相似性，可以用分形維數來表征。

3 破片體/線分形維數研究

3.1 破片體分形維數測量結果

為了獲取用于描述殼體爆炸破碎形成破片質量或體積分布特性的體分形維數D3，本文采用Gauss-Newton法[25]對Rosin-Rammler分布函數進行擬合，即對(6)式中破片質量相對負累積分布函數進行擬合。以破片質量相對負累積表示的Rosin-Rammler分布函數為

(9)

Gauss-Newton法是使數據與非線性方程之間的殘差平方和最小的一種算法，關鍵在于利用泰勒級數展開，以一種線性形式近似地表示原非線性方程后，用最小二乘理論來計算參數新的估計值，并重復計算，直到求解過程收斂且小于一個設定的終止條件[26]。為減少迭代次數，本文采用插值法確定特征尺寸的迭代初值，用雙對數擬合的破片質量分布模數作為迭代初值，即ln [-ln (1-M-)]=λlnm-λlnme，終止條件設為相對偏差同時小于10-6. 同時結合相關系數來描述擬合值與試驗值之間相關程度，其相關系數計算公式[27]為

(10)

式中：Rss為回歸平方和；Tss為殘差平方和；n為破片總數。

對雙對數法和Gauss-Newton法兩種擬合方法進行對比，如表2所示為Rosin-Rammler 分布回歸分析兩種擬合方式特征參數結果。獲得Gauss-Newton法所得分布結果相關系數高達0.995 7，說明本文提出的Gauss-Newton法所得結果與試驗值吻合較好，而且基于MATLAB平臺編制了擬合Rosin-Rammler破片分布函數的Gauss-Newton法迭代程序優于雙對數擬合方法，有利于提高體分形維數的測量精度。由Gauss-Newton法計算得到破片特征質量me=1.466 9 g，破片平均體分形維數為2.385 9.

表2 破片質量Rosin-Rammler分布回歸分析特征參數

圖6為Gauss-Newton法所得破片質量負累積率與試驗值對比結果。由圖6可見，擬合所得曲線與試驗曲線十分接近，只在破片質量較小以及較大處二者之間存在一定偏差，但整體上Gauss-Newton法所擬合結果能很好地描述爆炸條件下金屬殼體破碎形成破片質量分布規律，同時表明基于Weibull分布形式的體分形維數模型可以準確地表明破片質量分布特征。

3.2 破片線分形維數測量結果

由于破片為三維結構，采用碼尺法測量其線分形維數時所選取的外圍輪廓多變，在爆炸條件下金屬殼體破碎形成破片后會以一定速度(1 300～2 200 m/s)向四周飛散，而破片在飛散過程中飛行逐漸趨于穩定，將以其所受阻力最小的面在空氣中飛行，即破片迎風面積。破片輪廓則與破片迎風面積存在相關性，在軍事應用中具有重要的物理意義，可為準確計算常規武器威力提供重要參數，其是國內外軍事研究中威力測試的一個十分重要科目。因此本文對實際破片輪廓進行研究，在應用碼尺法測定破片輪廓的線分形維數時，需先獲取破片輪廓坐標。如圖7所示，針對單一破片圖像輪廓坐標的獲取，首先獲取破片的二值化圖像，并從圖像采集的過程入手，編制從破片輪廓坐標的定位程序，通過查找周圍像素信息，最終獲取破片外圍輪廓坐標。

3.3 破片體/線分形維數關系驗證

表3 任意視圖破片輪廓線分形維數計算部分結果

4 結論

1)基于分數形式體分形維數定義，本文首次提出了爆炸瞬時條件下金屬殼體破碎后形成破片特征的體分形維數測定模型，并應用MATLAB軟件中數學算法編制了擬合Rosin-Rammler粒度分布函數的Gauss-Newton法迭代程序，計算了破片平均體分形維數D3=2.385 9，相關系數高達0.995 7且大于傳統雙對數法擬合結果，表明Gauss-Newton法擬合結果優于雙對數回歸結果，爆炸條件下殼體破碎形成破片質量分布滿足統計自相似性，可以利用體分形維數分布模型來表征。

2)利用碼尺法測定了爆炸條件下殼體破碎形成破片飛散過程中實際破片隨機視圖輪廓線分形維數，分形特征一致，表明實際工程應用中可以利用實際破片隨機面輪廓線分形維數來表示破片迎風面輪廓線分形維數，為研究破片特征提供了一種新的技術途徑。

3)研究了爆炸條件下殼體破碎形成破片體/線分形維數關系，結果表明：針對本文所研究的破片質量分布特征和形貌特征，采用不同測定方法得到的體/線分形維數滿足體/線分形維數關系D3+2D1=5，進一步地說明爆炸條件下殼體破碎形成破片特征可以利用分形理論來研究，為爆炸瞬時條件下殼體破碎形成破片特征研究奠定了理論基礎。