基于回合制的火力分配優化問題建模方法研究

薛輝， 劉鐵林， 喬治軍， 楊兆坤

(1.陸軍工程大學石家莊校區 裝備指揮與管理系， 河北 石家莊 050003；2.空軍石家莊飛行學院， 河北 石家莊 050071； 3.空軍研究院 系統工程研究所， 北京 100085)

0 引言

火力分配(WTA)是作戰指揮決策中的關鍵問題，也是戰損分析、目標毀傷效果評估及裝備保障需求預測的重要研究內容。根據對抗目標威脅度的高低，分配最適宜的武器進行打擊，是解決WTA問題的主要思路，但對目標威脅度的準確量化缺乏科學有效方法，尤其是戰爭系統的復雜多變性使得目標威脅度常常處于動態變化中。兵棋推演中的回合制是模擬戰爭的有效方法，回合制有兩層意思：一是指軍事對抗兵棋根據作戰規模、推演粒度、戰爭樣式等因素合理確定的對抗雙方交替進行作戰決策及指揮的時間間隔，由于戰爭存在巨大的不確定性，在一個回合時間內重新進行戰場態勢評估是合理且十分必要的；二是指戰爭作為復雜巨系統從來都不是一錘定音的，指揮員需要根據戰場態勢不斷調整作戰計劃，該回合是指反復進行、反復決策、反復推演的意思。美軍基于回合制的聯合戰區級模擬系統(JTLS)在多次實戰中得到應用，并發揮出了良好的作戰效能，可見兵棋中的回合制是模擬軍事對抗的比較行之有效方法，因此本文在回合制背景下進行WTA建模。

WTA是指根據敵我雙方交戰態勢、作戰目的、作戰決心及武器裝備戰術技術性能等因素，在作戰資源的約束條件下，以最大毀傷敵方有生力量和武器裝備、最小損失己方有生力量和武器裝備、最短交戰時間、最低經濟損失等為目標函數，進行多目標的火力優化分配。傳統WTA模型往往基于毀傷概率越大越好的分配原則[1-2]，在火力資源相對充足、目標數量相對較少情況下，必然造成火力資源的浪費。分配的彈藥數量越多，彈藥發揮作用的邊際效應越低，為了避免火力資源的浪費，往往還結合實際情況給出各種火力資源約束[3]，如給定毀傷概率上下限、給定攻擊時間間隔等。文獻[4]將毀傷概率除以消耗的火力單元數量定義為毀傷概率平均值，該做法會限制模型分配較多的火力攻擊目標，但過少的分配火力單元又不能確保作戰效果。文獻[5]分兩個階段實現編隊對地攻擊的效能最大化和費用最小化，該階段的內涵不同于本文回合制所劃分的階段，是指滿足效能最大化前提下選出費用最小化的Pareto解，是將多目標優化問題按照權重重新進行了分配，該方法無法避免目標打擊效果不確定引起的火力單元分配過多或過少的弊端。動態WTA算法本質上仍然是將分配過程劃分為多個階段，每一階段實質上還是靜態分配。主要存在兩個缺陷：一是動態分配造成了計算上的困難；二是多階段劃分的合理性又提出了新的問題。火力單元對目標打擊效果存在很大的不確定性[6]，近年來動態WTA算法研究較多，如文獻[7]不但考慮了打擊效果的不確定性還考慮了目標出現空間和持續時間的不確定性，提出了多無人機時敏任務動態分配算法，解決了戰場環境中多無人機對多個時敏目標的打擊問題，具有很高的參考性。綜上所述，本文運用當前作戰兵棋中的回合制推演思想，將WTA模型合理地限制在一定時間范圍內：一是可以有效避免分配的火力單元過多或過少問題；二是可以通過更新戰場態勢解決目標毀傷效果不確定問題；三是合理的回合時間在軍事上可操作性、應用性較強(一個回合時間為15 min、1 h或2 h)。

本文以對敵方毀傷的最大戰斗力指數為目標函數，替代當前WTA問題建模主要以最大毀傷概率及威脅度為目標函數，有效解決了目標威脅度評估難及人為干擾因素多的問題。需要特別指出的是，本文在目標函數中用到的最大戰斗力是指最大戰斗活力，文獻[8]詳細闡述了戰斗力概念的內涵和外延，明確指出戰斗活力是指在交戰過程中，交戰雙方將自身具有的機械能、化學能以及人的體能和智能等能量，轉化為實施進攻和防御的軍事行動能力。通俗地說，戰斗活力能否發揮出來，不僅取決于我方有沒有完好的裝備和充足的彈藥，還取決于敵方有沒有合適的、足夠的目標，只有毀傷目標才能發揮出戰斗活力。模型以回合制為計算周期，進行裝備—彈藥—目標分配(WATA)問題優化建模，確定裝備戰斗力、彈藥消耗發數及裝備運用方案等，有效解決了當前優化模型中一次計算后目標動態變化造成的火力資源浪費以及實時動態分配造成的計算困難等難題。

1 基于回合制的WTA建模流程框圖

Lloyd等[9]已于1986年證明火力優化分配問題屬于NP完全問題，因此WATA問題也屬于NP完全問題，即解題所需的計算時間將隨問題的規模呈指數型增長，當前解決該類問題主要是采取多目標優化理論，但有兩個思路分支：一是雖然采用多目標優化，但求解過程中，根據需求將問題轉化為單目標優化，如線性加權法、乘除法、主要目標法、效用函數法等；二是采用現代智能優化算法[10]解決多目標優化問題，如人工神經網絡學習算法、混沌優化算法、遺傳算法、模擬退火算法、禁忌搜索及其混合優化策略等，通過模擬某些自然現象或過程，為解決復雜問題提供新的思路和手段。

本文重點研究解決的問題如圖1虛線框所示，是整個WTA流程中的一部分，根據兵棋推演中回合制的思想，整個分配過程按回合分為若干個階段，通過數學建模將多目標優化問題轉變為一個交戰回合內可接受的約束條件，如將最少彈藥消耗目標轉變為一個回合內可接受的回合消耗約束條件，將射擊時間最短轉變為一個回合內能夠達到的最大射彈發數等，在一個回合結束后根據雙方戰損情況以及雙方裝備保障效果重新評估雙方的作戰力量，在戰斗結束條件判斷為否時，繼續運用本文模型進行火力分配，以對敵方毀傷的最大戰斗力指數為目標函數，進行WATA問題優化建模，通過運用遺傳算法求解模型，得到了裝備- 彈藥- 目標分配方案。

2 建模過程研究

當前常見的WTA目標函數如下，假設有x種火力單元，打擊y個作戰目標，彈藥總數為θ，每種火力單元的彈藥數量為θi，每個目標可以分配多枚導彈，建立的各火力單元針對目標的WTA數量矩陣為

(1)

式中：wαβ為分配給第β個目標的第α類火力單元的數量。

用ωj表示第j個目標的威脅度系數，用Pij表示第i種火力單元對第j個目標的毀傷概率，則對y個目標射擊的總體作戰效果可用最大毀傷概率表示為

(2)

文獻[11-13]均在考慮目標威脅度情況下以對目標的最大毀傷概率為目標函數，有的多目標優化內容還包括最小化作戰消耗、射擊持續時間最短等。文獻[14]中火力優化模型的思想是：保證在滿足毀傷概率門限前提下優先分配威脅度大的目標，并且利用目標到火力單元的飛臨時間信息，選擇盡量少的火力單元盡早毀傷目標；在毀傷目標的同時兼顧了火力資源消耗情況和毀傷時機，達到了以期望毀傷概率、較少火力資源消耗、盡早毀傷目標的目的。

本文以敵方目標戰斗力大小表示敵方目標的威脅度，即敵方目標戰斗力值越大其威脅度應越高，分配給其打擊武器也應越多，且本文已通過損失交換比的方法將敵方目標戰斗力線性轉換為己方裝備戰斗力。由于需要考慮時間因素，本文將以回合(1 h)為基本研究粒度，文獻[15]進行了具有多次攔截時機的防空WTA建模，以來襲目標到火力單元的飛臨時間為依據，有效解決了當前防空WTA大多采用一次性完全分配原則而造成火力資源浪費問題，該思路與本文提出的回合制有異曲同工之妙，事實上也屬于是將動態分配問題轉化為一定時間間隔內的分配問題。

2.1 彈藥種類及數量對裝備戰斗力影響分析

不同于常見WTA問題建模，本文將彈藥種類及數量規模加入WTA中的原因如下：

某些武器裝備可使用多種彈藥，并且可使用多種彈藥的武器裝備對不同目標只有使用相應的彈藥種類才能發揮其作戰效能，否則，其作戰效能會大大下降。因此，在一個回合中只有在武器裝備擁有與目標相匹配的彈藥種類，才能按其規定的戰斗力指數計算，否則就應當下降甚至無效。但一種武器在某一時刻只能發射一種彈藥，只能對一個目標起作用，如果希望其能對多個目標進行打擊時，需要持續一定的時長(即發射一定數量的彈藥數量)，因此在一個回合內需要對發射彈藥的種類進行分配以期達到最大限度毀傷目標的效果。

同樣，彈藥數量也會對裝備戰斗力產生影響：一是根據武器裝備戰術技術性能指標在一個回合內可以發射的彈藥數量是有限的，應當根據目標情況優先選擇使用戰斗力指數高的彈藥；二是根據戰術基本原則及作戰經驗，作戰分隊的武器裝備只有在彈藥充足時，才能發揮最大效能，一旦彈藥(含種類)數量消耗到一定程度，將進入“惜彈如金”的節約使用階段，甚至是“彈盡糧絕”的地步。可以用裝備攜行量(分種類)為基本依據，如果某種彈藥的消耗數量達到其攜行量的2/3(以急補線1/3基數為基本依據)且未得到補充，那么該種彈藥所對應的戰斗力指數將隨彈藥進一步的消耗而下降。

2.2 彈藥數量對裝備戰斗力影響建模

根據武器裝備戰術技術指標，可以求出毀傷目標所需的平均射彈發數。設某型武器裝備對某型目標的單發命中概率為P，單發目標毀傷概率為ω，則所需的平均射彈發數為

(3)

按照函數的冪級展開式近似求法，分別按照泰勒展開式變換求解得到毀傷目標所需的彈藥發數期望為

(4)

如果已知某種武器裝備的一個回合內平均消耗發數為FHR，可以假設在存在該類打擊目標時，且該類彈藥剩余數量大于該值FHR時，就能夠發揮該武器裝備的正常戰斗力指數，如果該類彈藥剩余數量為0，則其對該類目標的戰斗力值亦為0.

根據軍事戰術基本原則及作戰經驗總結，如果考慮指揮員的心理因素，認為指揮員不希望在回合結束時該類彈藥剩余數為0，按我軍彈藥補給時的不補線(消耗量為攜行量的1/3以內)、視補線(消耗量為攜行量的1/3，但不足2/3)、急補線(消耗量大于攜行量的2/3以上)的要求，將武器裝備能夠在一個回合內發揮正常作戰效能的剩余彈藥量定為平均消耗量的1.5倍，即若在回合開始時，如果武器裝備針對某類目標的彈藥剩余量大于1.5FHR，則認為在該回合內該種武器對該類目標的等效戰斗力為原值，并隨著剩余彈藥數的減少而降低，其降低規律暫時簡單地按線性或指數規律判定。若某型裝備對某類目標的理論等效戰斗力值為ZHR，其在回合開始時符合該類目標的剩余彈藥發數為F(t)，且回合平均消耗發數為FHR，則該回合內該武器裝備的實際等效戰斗力為

(5)

在這種情況下，某種武器實際等效戰斗力情況如下：

1) 彈藥實有發數fm,k,n(t)≥1.5fRm,k(fRm,k是指紅方第m種武器使用第k種彈藥時在一個回合內的平均消耗發數)時：

2) 彈藥實有發數fm,k,n(t)<1.5fRm,k時：

具體如(6)式所示：

(6)

實際上這也是該種裝備對某種彈藥的平均消耗發數。即在該回合內，所平均消耗的發數為

(7)

2.3 裝備及彈藥種類對裝備戰斗力影響建模

許多武器裝備對多種目標都具有一定的作戰效果，且使用不同彈藥的作戰效果差別巨大，同樣同一類目標可能會存在多種裝備都能夠對其進行有效打擊，因此，接下來的問題是解決裝備及彈藥數量種類WTA的問題。為可以進行優化，對WTA問題表述為：設紅方擁有各類武器裝備M種，第m種裝備數量為cHm個，藍方目標有N種，第n種目標數量分別為cLn個。用向量表示為

(8)

(9)

紅方共有彈藥K種，紅方第m種裝備可使用其中若干種，對M種裝備可分別使用的彈藥種類表示為

(10)

式中：dHUm,k為紅方第m種武器是否可使用第k種彈藥，不可使用取0值，可使用取1值。紅方不同種類的裝備使用不同種類彈藥對藍方不同種類目標的理論等效戰斗力值將會不同，用(11)式表示紅方第m種裝備的理論戰斗力值：

(11)

式中：i=1,2,…,K,j=1,2,…,N，下面公式中出現的i、j與此含義相同；zHRm,k,n表示紅方的第m種裝備在一個回合內使用第k種彈藥打擊藍方第n種目標時的理論等效戰斗力。

假設已知武器裝備使用不同彈藥對不同目標的命中概率和毀傷概率，根據(4)式得到不同武器的彈藥對相應目標射擊所需的平均有效射彈發數為

(12)

根據以往的實際戰例統計，每一種武器裝備并不能完全按最大射速發射，設每種武器在一個單位戰斗時間內(回合)的平均消耗發數為已知，紅方可表示為

(13)

式中：fHRm,k為紅方第m種裝備一個回合內平均消耗第k種彈藥的數量。

設在戰斗任意t時刻，紅方第m種武器裝備擁有第k種彈藥的數量為fHtm,k，表示為

(14)

設紅方第m種裝備在某個回合內的WTA結果為

(15)

式中：oHm,k,n表示紅方將分配第m種裝備中使用第k種彈藥打擊藍方第n種目標的所占紅方第m種裝備總數的比例。其分配結果可以由作戰指揮員人為規定，也可以采用優化分配方法進行分配。

oHm,k,n滿足：

(16)

對應的目標分配數量為

(17)

式中：bHm,k,n表示紅方將WTA中分配給第m種裝備中使用第k種彈藥打擊藍方第n種目標所占藍方該目標的比例。

bHm,k,n滿足：

(18)

紅方對應裝備WTA的彈藥規劃結果為

(19)

式中：fHPm,k,n為彈藥分配中安排第m種裝備使用第k種彈藥打擊第n種目標平均每個裝備的分配彈藥發數。

fHPm,k,n滿足：

(20)

即分配的彈藥不應超過實有數且不應超過一個回合內可以消耗的最大射彈發數。

(21)

令

(22)

cLk,n=cLn.

(23)

則(21)式可通過(24)式解得

(24)

根據2.2節中彈藥數量對戰斗力影響建模，令：F1為彈藥實有數大于1.5倍的回合發數，以及分配的發數、有效需求發數均比回合發數大，因此能夠全部發揮此回合戰斗力；F2為彈藥實有數大于1.5倍的回合發數，但有效需求發數小于回合發數且小于分配的發數，因此該回合戰斗力只能發揮到需求為止；F3為彈藥實有數大于1.5倍的回合發數，但分配的發數小于回合發數且小于有效需求發數，因此該回合戰斗力只能發揮到分配為止；F4為彈藥實有數小于1.5倍的回合發數，因此將進入“惜彈如金”時期，此時首先判斷分配的發數與有效需求發數的大小，然后按照較小的發數在該回合內戰斗力等比例下降發揮。彈藥實際消耗情況如(25)式所示：

(25)

在此種分配下，紅方第m種裝備的實際等效戰斗力將為

(26)

則cHm個第m種裝備在本回合的總實際等效戰斗力為

(27)

紅方總戰斗力表現為

(28)

本回合該裝備所消耗的各種彈藥數為

(29)

紅方本回合各種彈藥總消耗量為

(30)

如果已知各種彈藥的價值或質量，則還可以計算該裝備本回合將消耗的彈藥的總價值或總質量。

該模型成功解決了一個回合時間內對敵方目標最大戰斗力的WTA方案，即何種裝備使用何種數量規模的何種彈藥攻擊對方何種目標。

3 戰例仿真及結果分析

3.1 戰例參數假設

為驗證第2節模型計算的可行性及合理性，列出了模型的基本數據，如表1～表5所示。

紅方擁有的裝備種類和數量以及藍方目標的種類和數量如表1所示。

表1 紅方裝備及藍方目標編成

紅方不同裝備使用不同彈藥對藍方不同目標的理論等效戰斗力值如表2所示。

表2 紅方裝備的理論等效戰斗力值ZHRmTab.2 Equivalent combat effectiveness, ZHRm, of red equipment

根據武器裝備使用不同彈藥對不同目標的命中概率和毀傷概率，紅方裝備使用不同彈藥擊毀不同目標的平均有效射彈發數如表3所示。

表3 紅方裝備平均有效射彈發數Tab.3 Average effective ammunitions, of red equipment

紅方裝備在一個回合內的彈藥平均消耗數量如表4所示。

紅方裝備在任意t時刻擁有的彈藥數量如表5所示。

3.2 運用現代化智能算法求解WATA模型

遺傳算法是以自然選擇和遺傳理論為基礎，將生物進化過程中適者生存規則與群體內部染色體隨

表4 紅方裝備的彈藥消耗標準FHR

表5 紅方裝備的實有彈藥數FHtTab.5 Actual ammunition number, FHt, of red equipment

機信息交換機制相結合的高效全局尋優搜索算法。遺傳算法摒棄了傳統搜索方式，模擬自然界生物進化過程，采用人工進化的方式對目標空間進行隨機優化搜索。它將問題域中的可能解看做是群體的一個個體或染色體，并將每一個個體編碼成符號串形式，模擬達爾文的遺傳選擇和自然淘汰的生物進化過程，對群體反復進行基于遺傳學的操作(遺傳、交叉和變異)。根據預定的目標適應度函數對每個個體進行評價，按照適者生存、優勝劣汰的進化規則，不斷得到更優的群體，同時以全局并行搜索方式來搜索優化群體中的最優個體，以求得滿足要求的最優解。

由于遺傳算法作為一種啟發式智能算法，具有內在的隱并行性和更好的全局尋優能力，已廣泛應用于組合優化領域，對于求解NP完全問題具有出色的表現，因此選用遺傳算法編程驗證本文建立模型的可行性和準確性。

運用遺傳算法求解模型，在遺傳算法工具箱中進行如下設置：

options=gaoptimset(options,‘PopulationSize’,216);

hybridopts=ptimoptions(‘fminunc’,‘Display’,‘iter’,‘Algorithm’,‘quasi-newton’);

options=gaoptimset(options,‘HybridFcn’,{@fminunc,hybridopts});

options=gaoptimset(options,‘PopInitRange’,[0;100]);

options=gaoptimset(options,‘StallGenLimit’, 200).

計算結果匯總后，得到了紅方裝備在該回合內的綜合戰斗力指數、彈藥消耗發數、裝備- 彈藥- 目標分配方案，具體如表6所示。

表6 裝備- 彈藥- 目標分配方案Tab.6 Equipment-ammunition-target assignment schemes

4 結論

本文針對WTA中目標威脅度量化評估難以及不同裝備使用不同彈藥打擊不同目標毀傷效果差異大的難題，構建了WATA問題優化模型并進行了算例分析，得到如下研究結論：

1)模型以最大戰斗力代替最大毀傷概率和目標威脅度為目標函數，有效解決了當前優化模型中很難精確確定不同目標威脅度大小的問題。

2)模型以回合制為計算周期確定裝備的綜合戰斗力指數、彈藥消耗發數及裝備運用方案等，有效解決了當前優化模型中一次計算后目標動態變化造成的火力資源浪費及動態實時分配造成的計算困難等問題。

3)模型得到的綜合戰斗力指數，以及何種裝備使用何種數量規模的何種彈藥攻擊對方何種目標的分配方案，為對抗雙方的勝負概率裁決、目標毀傷效果評估、裝備保障需求預測研究奠定了基礎。

裝備- 彈藥- 目標的分配方案相較于傳統彈藥- 目標分配方案，更加符合作戰和裝備實際運用。下一步將重點解決隨著裝備、彈藥、目標種類以及約束條件不斷增多導致的遺傳算法計算時間長、收斂速度慢、尋優結果魯棒性不強的難題。