二維聲子晶體帶隙特性分析與應用研究

姜超君，向 陽，張 波，郭 寧，何 鵬

（1.武漢理工大學 能源與動力工程學院，武漢 430063；2.船舶動力系統運用技術交通行業重點實驗室，武漢 430063）

聲子晶體是指兩種或兩種以上彈性材料構成的周期結構功能材料，傳入其中的彈性波由于和周期結構相互作用，在一定頻率范圍內將無法透過并繼續傳播，此特定頻段即彈性波帶隙[1]。目前針對聲子晶體帶隙的計算已有傳遞矩陣法、平面波展開法、有限元法[2]等較為成熟的方法。而在帶隙特性方面，溫激鴻等[3]通過分析得出，二維二組元聲子晶體的帶隙特性主要與散射體、基體的密度和彈性模量及散射體的填充率有關。但相關參數對帶隙的影響機理十分復雜，以各項參數作為單一變量難以全面分析帶隙特性。故在單一參數分析的基礎上，趙浩江等[4]研究發現散射體和基體的彈性模量比與密度比對聲子晶體薄板的帶隙有極大影響。張昭等[5]的研究則表明，當散射體與基體彈性模量比處于不同數量級時，材料彈性模量對帶隙的影響會有很大差別。本文不僅研究散射體周長、旋轉角等單一參數對帶隙的影響，而且研究在彈性模量比、密度比與填充率等多參量影響下的帶隙特性，為接下來進行帶隙減振設計提供更為全面的理論依據。

相比帶隙特性分析，目前關于聲子晶體應用的研究成果較少。在已公開報道的文獻中，Sorokin等[6]將充液管路系統設計成沿軸向陣列分布的幾何周期結構，在“波阻帶”頻率范圍內有效抑制了振動能量，但阻抑頻段較窄，綜合減振效果并不理想；魏振東等[7]基于帶隙理論設計了艦船液壓管路支承隔振器，在中高頻段內獲得了良好的軸向減振性能，但低頻減振效果一般。陳圣兵等[8]設計了新型局域共振模型，可通過改變分流電路參數進行帶隙的主動調控，但調控范圍集中于中高頻，且目前仍未能運用于實際結構中。本文提出將聲子晶體薄板作為黏彈性夾層的應用方案，首先以典型船用離心泵為研究對象，根據其激勵特性，設計以鉛為散射體、硅橡膠為基體的聲子晶體薄板，并將其插入離心泵基座以下的內底板中。通過對離心泵所在的艙段結構進行數值實驗，驗證了利用聲子晶體薄板的帶隙特性，可有效阻抑振動的傳遞，降低艙段結構的振動響應。本文所提方案不只局限于船用離心泵，對其他動力設備的減振設計同樣有借鑒意義。

1 帶隙計算理論和算例分析

1.1 有限元方法基本理論

有限元法可計算各種形狀聲子晶體的能帶結構，且收斂性好，故已成為研究帶隙的重要方法。通過對單個晶胞進行網格劃分，根據有限元理論，在XY方向上單個晶胞內特征方程的離散形式為

其中：K和M分別為剛度矩陣和質量矩陣;v是整體位移幅度列陣。聲子晶體中傳播的彈性波為Bloch波[9]，將Bloch定理應用于每個單元，則原胞中任一點所在單元的節點位移為

其中：k是波矢，k=(kx,ky)，kx與ky分別為x、y方向上的波數；i為單元結點數，按網格劃分類型取值為位移幅度向量，具有和聲子晶體相同的平移周期性，分別為結點i在x、y方向上的位移幅度分量；ω為圓頻率，t為時間。將式（2）作為邊界條件，求解式（1）中每個波矢所對應的特征值，即可得到聲子晶體的能帶結構。

1.2 帶隙計算

以正方形晶胞為研究對象，晶格常數a=0.01 m，散射體邊長l=0.004 m。散射體材料為鉛，基體材料為硅橡膠，材料參數如表1所示。

表1 基體/散射體材料參數

僅考慮二維平面內的振動，采用有限元法進行能帶結構計算。計算所得能帶結構如圖1所示。

圖1 能帶結構圖

可見在396.65 Hz～487.9 Hz頻段內不存在任何頻率與波矢對應，故該頻段是彈性波無法傳遞的帶隙區域。

在COMSOL中建立上述晶胞組成的周期結構模型，于結構左側施加沿x軸方向的邊界載荷并進行響應計算，如圖2所示。

圖2 各激勵頻率下的振動響應

當激勵頻率落在計算帶隙外，振動可順利通過周期結構，而一旦激勵頻率落入帶隙，振動被阻抑于結構一側。這說明聲子晶體結構在帶隙內擁有優異的阻振性能。

2 帶隙特性分析

2.1 散射體周長與旋轉角度對第一完全帶隙的影響

沿用上節晶胞，保持其他參數不變，使正多邊形散射體邊數n增加?？梢姰斕畛渎什蛔儠r，散射體邊數n越大，周長越小。計算得到第一完全帶隙隨散射體周長的變化曲線如圖3所示。可見當散射體周長減小，帶隙起始頻率逐漸下降并趨于穩定，截止頻率總體呈下降趨勢，可當散射體邊數由4增加為5時，截止頻率上升，帶隙寬度呈現出同樣的變化趨勢。這似乎與文獻[5]中帶隙寬度隨著正多邊形散射體邊數增加而增加的結論相悖。

圖3 散射體周長對帶隙的影響

現對散射體為正方形的晶胞進行分析，其他參數不變，計算了散射體相對基體轉過不同角度時晶體的帶隙，結果如圖4所示。

圖4 散射體旋轉角度對帶隙的影響

可見起始、截止頻率均隨旋轉角增大而增加，而截止頻率增幅更大，因此帶寬增加。以散射體旋轉角為45度時的帶寬為前述討論的結果，則與文獻[5]的結論相符。可見帶隙特性不僅和散射體周長有關，還與其旋轉角有關，一方面散射體周長增加，增加了散射體與周圍介質的接觸面積，使相鄰晶胞間反射波的同相疊加效應增強，帶隙增加；另一方面對于某些形狀的散射體，增加其旋轉角可減小相鄰晶胞中散射體的間距，加強結構中的反射現象，增加了帶隙。

2.2 散射體填充率對第一完全帶隙的影響

設散射體（A材料）密度ρA=8 000 kg/m3，彈性模量EA=200 GPa，泊松比μA=0.34；基體（B材料）密度ρB=1 000 kg/m3，彈 性 模 量EB=2 GPa，泊 松 比μB=0.45。晶胞形狀為正方形，晶格常數a=15.5 mm，散射體為圓形，半徑為r，晶胞填充率f=πr2/a2，故可通過改變散射體半徑來調整填充率。其他參數不變，提高散射體的彈性模量EA使EA/EB處于不同數量級，并計算各數量級下第一完全帶隙隨填充率（散射體半徑）的變化，計算結果如表2所示，圖5為相應帶隙寬度的變化曲線。

圖5 EA/EB不同時填充率對帶隙寬度的影響

可見當EA/EB=10時，填充率增加，起始頻率先降低后增加，截止頻率先增加后降低，帶隙寬度則呈現出先增加后減少的變化趨勢；而當EA/EB=100和EA/EB=1 000時，填充率增加，帶隙起始頻率和截止頻率均增加，帶隙寬度逐漸增加。當填充率一定時，EA/EB的數量級越大，帶隙寬度越大，而對于EA/EB=100和EA/EB=1 000，二者帶隙寬度的變化曲線基本重合，說明當EA/EB較大時，通過增加彈性模量差別來擴大帶寬的方法將收效甚微。對于填充率，一方面填充率增大，散射面積增加，拓寬了帶隙寬度，可當填充率增大到一定程度時，相鄰散射體間的相互作用增強，導致帶隙寬度變小，而較大的彈性模量差別能減弱這種相互作用。故采用較大彈性模量差別和較高填充率的晶胞，有利于拓寬帶隙。

表2 EA/EB不同時填充率對帶隙的影響/kHz

現保持其他參數不變，提高散射體的密度ρA使ρA/ρB處于不同數量級。計算各個數量級下，第一完全帶隙隨填充率的變化，計算結果如表3所示。圖6為相應帶隙寬度的變化曲線。

圖6 ρA/ρB不同時填充率對帶隙的影響

可見當散射體與基體密度比處于不同數量級時，隨著數量級的增大，帶隙起始、截止頻率都降低，帶隙往低頻移動。ρA/ρB=10時，當填充率增加，帶隙起始頻率和截止頻率增加，帶隙寬度增大；ρA/ρB=100 和ρA/ρB=1 000 時，當填充率增加，帶隙起始頻率逐漸降低，當填充率達到一定值后又開始增加，而截止頻率則先升高，當填充率達到一定值后開始降低，帶隙寬度呈現出與截止頻率相同的變化趨勢，且密度比的數量級越大，帶隙寬度開始減小時所對應的填充率越小。所以采用高填充率和低密度比有利于增加帶寬，但密度比減小會使帶隙向高頻移動，不利于聲子晶體在低頻減振中的應用。

3 聲子晶體薄板的減振應用研究

離心泵是現代艦船的主要輔機設備，其工作時產生的低頻振動由基座傳至內底板，最后到達外殼，是水下輻射噪聲的來源之一，故控制離心泵低頻振動對提高艦船隱身性有重要意義。本文以IS100-65-315單級單吸臥式離心泵為研究對象，為分析其激勵特性，搭建試驗測量臺架測取離心泵在額定流量（50 m3/h）下的機腳振動加速度，測量臺架和測點位置如圖7所示。

提取最后兩個葉輪旋轉周期內的振動數據并進行傅里葉變換，得到0～400 Hz范圍內離心泵機腳加速度頻譜圖，圖8為1號、3號、5號測點處提取到的加速度頻譜?？梢婋x心泵三個機腳的激勵在25 Hz、150 Hz及290 Hz附近出現峰值，且290 Hz處激勵最大，故本文對該頻率處的振動進行控制。近年來針對低頻減振已發展出許多新型的局域共振結構，如MeiJ[10]根據局域共振機理設計的聲學超材料可在100 Hz～1 000 Hz頻段內利用可調控的帶隙進行減振降噪。但目前許多新型局域共振結構存在著工藝復雜、帶隙范圍窄等問題，尚未能應用于實際工程結構。而本文所研究的離心泵，其機腳振級峰值出現在特定頻段且較為集中，采用結構較為簡單的傳統局域共振結構便能達到控制峰值頻率點處振動的目的，并可降低應用成本。因此結合前文帶隙分析，本文以鉛為散射體、硅橡膠為基體設計聲子晶體減振薄板，基體與散射體均為正方形，晶格常數為60 mm，散射體邊長為45 mm，相對基體無旋轉。通過計算知其帶隙頻率為266.79 Hz～533.2 Hz，能夠對離心泵290 Hz頻率附近的振動進行有效控制。

表3 ρA/ρB不同時填充率對帶隙的影響/kHz

圖7 實驗測量示意圖

圖8 離心泵機腳振動加速度頻譜圖

將上述晶胞組成的聲子晶體薄板作為黏彈性夾層應用于艙段結構，并進行減振效果的數值驗證計算。本文以文獻[11]中的艙段結構為驗證模型并沿母線方向進行了一定的縮減?？s減后的艙段結構尺寸如下：長為2.6 m；外殼直徑為2.4 m，厚為0.006 m；內殼直徑為2 m，厚為0.010 m；實肋板厚為0.008 m，肋距為0.65 m；內底板厚為0.005 m；立板、肘板厚為1.2 mm；基座面板厚為0.008 m。結構材料均為鋼材。聲子晶體薄板由晶胞按5×20的形式排列而成，插入艙段內底板。為綜合考察結構的振動響應特性，在內底板和艙段外殼上選取了20個測點。圖9所示為艙段結構及測點布置的示意圖。

將測得的離心泵機腳激勵垂直施加于基座面板上，在20 Hz～400 Hz頻段內對整個艙段進行諧響應計算。對于內底板上8個測點以及外殼上12個測點處的位移響應值，按下式計算平均振動響應位移級。

其中Lai為各測點振動位移級，減振前后內底板與外殼平均振動位移級頻響曲線如圖10所示。

可見將硅橡膠插入內底板后，在所分析頻段內，艙段內底板與外殼的平均位移響應均有不同程度的下降。據文獻[11]之結論，黏彈性夾層材料的彈性模量越小，阻振效果越好，故擁有較小彈性模量的硅橡膠是理想的黏彈性夾層材料。而在硅橡膠中插入鉛條組成擁有帶隙特性的帶隙夾層后，內底板和外殼的位移響應分別從285 Hz和280 Hz開始有進一步的衰減。且在290 Hz頻率處，原艙段內底板和外殼的響應位移級分別為66.08 dB和38.18 dB，插入帶隙夾層后則分別降為51.16 dB和16.26 dB，說明在內底板中插入帶隙夾層，艙段結構在290 Hz這一激勵峰值頻率處的振動得到了有效控制。

但此處帶隙開始作用的頻率和前文計算得到的起始頻率（266.79 Hz）有一定偏差，這是因為進行能帶結構計算時，已對單個晶胞依據Bloch定理施加了周期性條件，故能帶結構的計算模型相當于無限結構，而進行響應驗證時的聲子晶體薄板是有限結構，且寬度方向的晶胞個數較少（5個），結構易產生表面局域現象，使得帶隙范圍內出現衰減較小的透射波。這反映在頻響曲線上，就會出現減振作用頻率和計算帶隙頻率不一致的情況。

圖9 艙段結構與測點布置示意圖

圖10 減振前后結構位移級頻響曲線

此外，在帶隙作用范圍(圖中灰色區域)內，艙段外殼振動位移響應的衰減程度不及內底板。這是因為帶隙夾層雖阻抑了內底板中的振動傳遞，但振動仍可沿著立板與腹板傳至外殼，引起外殼振動。且在帶隙范圍以外，艙段外殼的振動位移響應的衰減較少，所以僅在內底板中插入帶隙夾層是不夠的，還應配合使用其他減振措施，如施加阻振質量、隔振器等，對帶隙以外的振動響應加以控制，從而獲得更為理想的減振效果。

4 結語

本文首先對二維二組元聲子晶體帶隙特性進行了分析，接著針對典型船用離心泵的激勵特性，設計了以聲子晶體薄板作為黏彈性夾層的減振方案，并通過數值實驗考察了該方案的減振效果。主要結論如下：

（1）第一帶隙寬度隨著散射體周長的增加而增加；對于正方形散射體，其帶隙還受散射體旋轉角的影響，當旋轉角增加，第一帶隙增加；

（2）散射體與基體彈性模量比處于不同數量級時，填充率對帶隙特性的影響會有很大差別。當填充率增加，第一帶隙寬度先增加，可當填充率增加到一定程度，相鄰晶胞間的相互作用會加強，反而使得帶隙寬度減小。當彈性模量比較大時，這種相互作用的影響會減弱，使帶隙寬度隨填充率的增加而繼續增加；

（3）采用較低數量級的密度比可增加第一帶隙寬度，但密度比減小會使帶隙向高頻移動，不利于其在低頻減振中的應用；

（4）將聲子晶體薄板作為黏彈性夾層插入內底板，在帶隙作用范圍內可有效阻抑振動傳遞，降低艙段內底板和外殼的振動響應。但為了控制帶隙以外的振動響應，仍應配合使用其他減振措施，方可獲得更為理想的減振效果。