電磁變剛度半主動動力吸振結構的振動控制研究

尤佳欣，王 熙，楊斌堂

（上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240）

動力吸振器是利用共振原理吸收主系統能量、減小主系統振幅的設備。動力吸振器具有安裝方便、不改變主系統結構的特點，因其穩定性和經濟性而被廣泛使用。

傳統動力吸振器剛度固定，對于變頻激勵，其減振性能大幅降低。此外，當激勵頻率遠離主系統共振頻率時，動力吸振器的吸振效果十分有限[1–2]。變剛度技術是一種半主動動力吸振技術，通過調整吸振器剛度來調節吸振器本身的共振頻率，能夠較好實現寬頻吸振。Walsh.P.L[3]等提出的組合梁在懸臂梁基礎上，利用彈性元件改變梁的組合方式，使其呈現不同形態，從而改變吸振器剛度[4]。K.Nagaya提出一種懸臂梁變剛度結構，通過改變懸臂梁支點，改變其有效長度，從而調節吸振器共振頻率[5]。近年來，隨著智能材料的發展，壓電陶瓷、形狀記憶合金、磁流變彈性體等智能材料也被用于變剛度吸振器結構[6–8]。

傳統梁結構變剛度系統具有剛度變化連續、線性度較好的特征。但一般結構尺寸較大，響應速度較慢。智能材料變剛度系統普遍具有響應快的特點，但其剛度變化范圍較小，非線性強，控制難度大。

電磁式變剛度系統具有剛度調節范圍大、響應迅速的特點。Mizuno T等綜述了一系列電磁懸掛負剛度彈簧，用于隔離系統振動[9]。從理論上分析了其可行性，并沒有加工實物進行驗證。馮肖肖設計并通過實驗驗證了一種齒式電磁變剛度動力吸振器[10]。動力吸振器運動過程中線圈隨之運動，增加了系統的不確定性。對磁路的分析僅限于仿真，不利于系統的分析與控制。電磁建模有利于系統的分析與控制。麥克斯韋張量理論常應用于電機建模，以求解徑向轉矩[11–12]。但是，針對電磁變剛度動力吸振結構的數學模型之前鮮有研究。

本文提出一種新型的線圈固定電磁變剛度動力吸振結構，作用于傳統動力吸振器上以進一步改變主系統共振頻率，實現振動寬頻半主動控制。其具有結構緊湊、剛度連續可調的特點。本文建立了該結構的數學模型并求解。通過仿真及原型樣機實驗，驗證所建立模型的準確性和所提出的電磁變剛度結構用于實現半主動寬頻振動控制的可行性。

1 吸振原理

如圖1所示，本文提出一種由傳統質量剛度阻尼系統以及附加電磁變剛度結構兩部分組成的動力吸振系統。主系統由m0、k0、c0構成，電磁變剛度動力吸振系統由m1、k1、c1以及km構成，施加于主系統之上，起到動力吸振器的作用。電磁變剛度結構安裝于基座上，隨電流變化的輸出力矩為M，力矩剛度為km，當θ較小時，力矩通過輸出桿L轉化為近似平動的力作用于m1上，在吸振系統原有k1基礎上增加一個等效變剛度

圖1 動力吸振系統模型

建立系統運動方程

由于系統本身的阻尼一般很小，忽略阻尼項c0。

由于阻尼c1的存在，系統的自由振動會隨著時間衰減，現只分析受迫振動時系統穩態響應幅值X0。

整理方程得

D=k0-(m0+m1)ω2，是不附加qm時系統穩態響應X0表達式的公共部分。可以看出，由于引入qm，系統穩態響應幅值發生變化，共振頻率相應將發生移動。

由分析可知，區別于傳統動力吸振系統，本系統可以通過改變qm值，使初級系統的共振頻率在一定范圍內發生變化，當初級系統在變化的外部激勵下產生共振時，調節qm可以在一定頻帶內起到良好的減振效果。

2 電磁變剛度吸振結構設計

基于吸振原理，利用電磁原理設計一種電磁變剛度吸振結構，使其在不同電流下輸出變化的轉矩，實現對初級系統施加可調剛度qm的目的。

通過不同方案的比較分析，考慮系統穩定性和輸出剛度的調節范圍，設計一種電磁變剛度吸振結構。其主要部件剖面如圖2所示。

圖2 電磁變剛度吸振結構

定子與導磁路固定在殼體內，線圈不通電時，轉子圍繞軸心自由轉動。線圈通電時激發磁場，在導磁路的作用下，變剛度結構內部形成四個閉合的磁回路。磁場作用下，轉子表現出對中性，即轉子將旋轉到和定子相對面積最大的如圖所示位置，此處為結構的平衡位置。

當外界激勵促使轉子發生相對轉動時，磁感應線發生扭曲，系統偏離能量最小的平衡位置。在磁場作用下，轉子受到一個大小與相對轉動相關的回復力矩。單位相對轉動對應的回復力矩即為電磁變剛度結構的輸出剛度。改變電流大小，磁場強度隨之改變。相對轉動量相同時，輸出力矩不同。因此，電磁變剛度結構的剛度由電流大小和相對轉動量共同決定。

3 磁場數學模型

為了計算系統輸出扭矩，實現系統的半主動控制，對磁場進行建模，求解輸出力矩十分重要。

由麥克斯韋應力張量理論，選擇合適的積分路徑，可以求得轉子所受合力為

圖3 積分路徑

②到③磁感線趨近于垂直于積分路徑分布，沒有切向分量，不產生切向力。①到②與③到④具有一定的對稱性，為方便分析，選取其中一段③到④進行研究。

對于模型的求解基于以下幾點假設：

(1)定轉子相對部分磁場強度均勻分布，大小為Hm；

(2)因為導磁路相對較長，導磁材料相對磁導率較高，可以忽略因為路徑、定子尺寸形狀帶來的磁路內部磁路長度差異。記導磁路內磁場強度為HS；

(3)忽略漏磁；

(4)忽略邊界效應。

根據麥克斯韋方程，得到平衡方程為

其中：

N為線圈匝數；I為電流大小；Hm為相對部分氣隙磁場強度；Hf為錯開部分氣隙磁場強度；Hs為導磁路內磁場強度；l1為相對部分總磁路長度；lg為氣隙長度；lf為錯開部分氣隙磁路長度；lx為錯開部分導磁路內磁路長度。

式(5)、式(6)為磁勢平衡方程，式(7)是磁通量平衡方程。其中Hm、Hs、Hf未知，方程有唯一解。

其中lf和Af需要重點討論。在仿真基礎上，結合傳統的1/4圓弧建模方法[11–12]，本文給出對應于三種轉角范圍條件下的三種不同磁感應線分布示意模型，分別如圖4所示。

圖4 三種角度條件下磁感應線分布示意模型

確定關鍵參數后，將其代入麥克斯韋方程，對磁場進行求解。分別求得Hfi、Hfj、Hfk，由B=μ0H，得到Bfi、Bfj、Bfk。

4 仿真與實驗驗證

4.1 電磁變剛度結構及磁場數學模型驗證

根據以上結構設計及磁場建模分析，對電磁變剛度動力吸振結構進行詳細設計，確定設計參數如表1以及表2所示。

表1 電磁變剛度結構主要材料參數

利用Ansoft對模型進行仿真。設置材料特性、系統邊界以及激勵安匝數，求解磁感應強度以及輸出力矩。

表2 電磁變剛度結構主要幾何參數/mm

圖5展示由Ansoft仿真得到的磁感應強度分布情況，可見結構內部形成了4個磁回路。

按照設計方案加工實驗樣機。通過改變電流調整安匝數，測量輸出力矩。

將實驗測量結果與三維仿真、數學模型計算結果進行對比見圖6。

結果顯示，當安匝數較小時，實驗測量結果與仿真、數學計算結果呈現高度一致性。

圖5 電磁回路仿真結果

當安匝數較大，達到320 AZ后，測量值略小于仿真及計算值。這可能是由電流的熱效應引起損耗造成的。

綜合來看，本文建立的數學模型具有較高的精度，可以為系統的分析與控制提供依據，為實現變剛度調頻半主動自適應動力吸振研究奠定了基礎。

4.2 系統半主動振動控制仿真

根據結構設計方案，采用線徑為0.3、匝數為2 000的銅線圈，電流控制在0～0.2 A范圍內，電磁變剛度結構在轉角小于15°的范圍內工作。利用電磁數學模型，對結構的輸出剛度qm進行求解如圖7所示。系統可調剛度qm隨電流和角度變化，范圍在0～200 N/m之間。

利用Simulink對系統吸振效果進行仿真驗證。全系統分為電流控制系統、電磁變剛度結構以及動力吸振系統三大模塊。通過調整電流大小，輸出qm，抑制主系統振動。

選擇測試系統的主要參數如表3所示，根據運動學方程，通過改變qm，求得系統的穩態響應幅值隨激勵頻率變化如圖8所示。

由圖8分析可知，針對表3所述測試系統，qm=0時，測試系統的共振頻率分別為32 rad/s以及45 rad/s。而當qm=35時，系統共振頻率發生移動，系統在原共振頻率下減振效果明顯。

分別對系統施加幅值為0.1、角頻率為32 rad/s以及45 rad/s的正弦激勵。前10 s內電流I=0，10 s后施加控制電流I=0.09 A，調整電磁變剛度結構輸出剛度，使得qm接近35 N/m，結果如圖9、圖10、圖11所示。

由仿真結果可知，系統較好實現振動半主動控制，仿真結果和圖8有高度的一致性。

5 結語

本文提出了一種電磁式變剛度動力吸振結構，使其滿足可通過調節電流改變剛度的功能，作用于傳統動力吸振器上，實現寬頻吸振。設計滿足要求的電磁部件，并針對物理模型，提出對應的磁路模型，基于麥克斯韋張量理論對輸出力矩進行計算。結果表明，理論計算結果與有限元模擬結果以及實驗測量結果具有較好的一致性，證明在一定角度范圍內模型的準確性。數學模型的建立有助于系統的分析和控制，為實現變剛度調頻半主動自適應動力吸振奠定了基礎。基于此，利用Simulink對測試系統進行仿真，仿真結果驗證了所提出的將電磁變剛度結構用于實現半主動寬頻振動控制的可行性。

圖6 測量數據與仿真、計算結果對比

圖7 qm隨電流、轉角變化圖

圖8 初級系統穩態響應與qm的關系

圖9 qm隨時間變化

圖10 角頻率=32 rad/s時控制前后對比圖

圖11 角頻率=45 rad/s時控制前后對比圖

表3 測試系統參數