改進的波束形成算法及其在多聲源定位中的應用

謝雨軒，車馳東

(上海交通大學 船舶海洋工程國家重點實驗室，上海 200240)

空間聲源定位是噪聲與振動控制領域中的一個重要問題。波束形成技術是一項處理陣列信號的技術，應用于聲吶、雷達等領域，傳統波束形成技術需要傳感器數量多，計算復雜，一般是針對聲源離接收點較遠的情況。對于船艙、車輛內部這種聲源離接收點較近的情況，若采用較少的傳感器，運用傳統的波束形成算法，對于多點聲源工況的聲定位，不能取得很好的結果。

Yang-Hann Kim等較系統地闡述了傳統波束形成算法[1]。所謂波束形成（beamforming）算法是運用一個掃描向量（scan vector）和實驗結果在空間域上進行內積，在每個方位上能得到一個歸一化的“波束形成能量”，觀察該能量大小在空間方位上的分布，能量大的方位即聲源的方位。基于此算法，許多學者在不同工況下進行了算法改進、陣列改進等相關研究。P.Chiariotti等運用了平均波束形成方法來消除噪聲，對車內噪聲進行試驗[2]。Alaa Abdeen等研究了圓形陣列的精確性和實時性能，對單點源進行測試并得到較好的結果[3]。從眾多文獻的方法可以看出目前的相關研究存在兩個局限性：一是需要的傳感器數量較多，一般在25個以上，才能得到較為符合實際的結果，二是大部分文獻都采用單點聲源作為例子，并不能說明多點聲源的情況。

李雷等將遺傳算法應用到天線陣信號傳輸的波束形成算法中，證明了遺傳算法和波束形成算法結合的可能性[4]。遺傳算法是一種全局概率優化算法，是數值解而非解析解，對于常規方法無法求解的非線性方程組，只要給定較準確的解析域，基于其全局收斂特性，能得到較為準確的結果。羅亞中等在收斂可靠性、計算成本方面對于遺傳算法解非線性方程組的優勢進行了論證[5]。

本文則采用改進掃描向量的波束形成非線性方程組算法，運用有限傳感器采集的信號，按照平面聲源理論列出非線性方程，通過參數優化，運用遺傳算法解出常規方法不好求解的非線性方程組，再運用波束形成算法在空間域上解出“波束形成能量”相對于空間角度的分布，從而對聲源定位。

1 理論分析

1.1 波束形成理論[1]

若聲源S到傳感器陣列的距離L遠大于傳感器的間距d，且其間距大于聲波的波長λ（即當L>>d并且d>λ），此時傳感器陣列收到關于聲源S的聲信號可近似地看作平面波，這是波束形成理論的基本假設。

單一聲源定位模型如圖1、圖2所示，其中θ為聲源與陣列垂直面的夾角（方位角），ω為聲頻率，相鄰傳感器的聲程差為dsinθ。

圖1 平面波示意圖

圖2 負載陣列計算示意圖

在聲源定位中，由m個傳感器構成的陣列的實測信號向量為

其中pi(ω)為第個傳感器測得的響應。

根據波束形成理論，當單一聲源S的方位角為θ時，可將第i個傳感器的理論響應定義為掃描矢量（scan vector）

其中m為傳感器的個數，φ為初相位為響應時間差，c為聲速。

由全部掃描矢量構成理論響應列陣

定義“波束形成能量”

β的大小反應了實測響應信號和理論響應信號的相關程度。對于某個θ，通過改變φ，將得到的最大的β作為該θ對應的β，通過改變θ，可以計算出β隨θ的變化（掃描），而當β最大時對應的θ即是聲源所在的可能性最大的方位。

上述方法對于單一點源的定位可得出較好的結果，但隨著源個數的增多，采用式（2）作為掃描向量和實測值進行內積會造成很大誤差。這是因為，波束形成相當于以掃描向量為基礎特征對波形進行特征識別，式（2）為單個正弦波，反應的是單點源，而多點源工況下采集到的數據波形是不同正弦波的疊加，與單個正弦波形狀相差很大。

1.2 改進掃描向量

對于多個源的情況，需對傳統波束形成算法進行改進。假設n個源的方位角、幅值和初相位分別為θk，Ak和φ（kk=1,2,3…n。k通常根據方位角大小依次編號），這時第i個傳感器的理論響應實際是n個聲源作用的矢量疊加，因此將掃描向量改變為

基于改進掃描向量表達式（5），可利用2.1小節所述方法定義“波束形成能量”，并通過多維掃描進行聲源定位。但是隨著聲源數目增多，計算量將幾何增長。這是因為對于n個源有3n-1個掃描維度，分別是n-1個Ak維度，n個θk維度和n個φk維度，計算量過大且易引起誤差。

為了克服這一問題，本文采用了一種簡化的分步計算方法：首先基于遺傳算法，利用各傳感器響應，求解出各源的幅值，并得到方位角和初相位與參考源參數（通常取θ1、φ1）的相對關系，如此可將3n-1維掃描簡化為關于θ1、φ1的二維掃描，參照2.1小節單一源的波束形成進行識別。

1.3 基于遺傳算法求解

利用m個傳感器定位n個點聲源，每個傳感器的響應均為n個正弦信號的矢量疊加，如圖3所示。第i個傳感器對相鄰兩個（第k和第k+1個）聲源響應的相位差Δδ（ii=1，2，3…，n-1）可以表示成

αk和γk分別表征相鄰聲源的初相位差以及到第i個傳感器的聲程差引起的相位差。

圖3 多聲源疊加示意圖

各傳感器的總響應可以表示為

將式（6）、式（7）代入式（8），再將式（8）代入式（9），其中為實測值為圖2中第i個傳感器的響應幅值為圖2中第i個傳感器相對于第1個傳感器的相位差。通過式（9）的實部和虛部可列出由2m-2個方程組成的方程組，用于求解3n-2個未知數，理論上當2m≥3n時，方程組可解。

對于上述非線性方程組，常規求解方法難以求解，本文采用遺傳算法求解。

遺傳算法是一種全局最優化算法。本文求解流程圖如圖4。

解出αi、γi、Ai之后，只要確定θ1和φ1，即可確定所有的參數。

對θ1、φ1進行掃描，將掃描結果進行疊加，即可得到基于改進算法的“能量-角度”曲線。

觀察“能量-角度”曲線，得到聲源所在的方位。

2 多點聲源定位

2.1 實驗概述

為了驗證改進算法的有效性，在半消聲室內進行聲源定位實驗，見圖5。聲源和接受裝置的布置如圖6所示。

圖4 遺傳算法流程圖

圖5 實驗室示意圖

圖6 試驗布置示意圖

所采用的聲源為兩個小型揚聲器，由信號發生器提供正弦噪聲信號。接受裝置為一Y型三向傳感器陣列，每列設5個電容傳聲器，見圖7、圖8。實驗中兩個聲源在不同的工況（間隔距離）下發出頻率為300 Hz的噪聲信號，由傳感器陣列接受信號，分別按傳統及改進波束形成算法進行處理后進行比較。實驗工況見表1。

2.2 測試與計算結果

各傳感器測得的時間信號經濾波后得到圖9、圖10所示的曲線，橫坐標為時間，縱坐標為聲壓幅值。四條曲線反應了相鄰四個傳感器的信息，可用于計算傳感器之間的相位差和幅值差。

圖7 陣列正視圖

圖8 陣列側視圖

表1 工況表

圖9 時間信號曲線整體

圖10 時間信號曲線局部

圖11至圖14、圖15至圖18所示的分別是運用傳統算法和改進算法時工況一的定位結果，其中圖11至圖13、圖15至圖17分別是三個陣列“波束形成能量”隨方位角的掃描結果，圖14、圖18分別為經三個方向的“波束形成能量”處理后合成的聲源定位效果圖。

圖11 工況一陣列一能量(傳統)

圖12 工況一陣列二能量(傳統）

圖13 工況一陣列三能量(傳統)

圖14 工況一定位結果(傳統)

圖19至圖22為工況二、三時兩種算法定位效果的比較。為簡便計，這兩個工況下的能量分布省略。

定義定位的相對誤差η來表示聲源定位結果的準確度。

圖15 工況一陣列一能量(改進)

圖16 工況一陣列二能量(改進）

圖17 工況一陣列三能量(改進)

圖18 工況一定位結果(改進)

其中Δs表示定位點與聲源點的圖像距離，S表示定位圖像的圖像尺度。相對誤差統計見表2。

圖19 工況二定位結果(傳統)

圖20 工況二定位結果(改進)

圖21 工況三定位結果(傳統)

圖22 工況三定位結果(改進)

由圖14、圖18的比較及表2中的結果可見：在兩個聲源相聚較近時，等效于單一聲源，兩種算法定位結果基本一致。

由圖19、圖20的比較、圖21、圖22的比較以及表2的結果可見：當兩個聲源的距離增大時，改進算法可以有效提高定位精度，并準確定位多個源的位置。

表2 定位相對誤差

3 結語

針對傳統波束形成算法的局限性，提出改進掃描向量對多點源噪聲進行定位。基于遺傳算法對多源參數的相互關系進行求解，大大降低掃描維度，簡化計算。通過實驗，比較了兩種算法的定位效果。由比較可見：當多個聲源相距較近的時候，這些源等效于單一點源，兩種算法定位結果基本一致；但當聲源相互距離增大時，改進算法可以有效提高定位精度，從而驗證了其有效性。