FxRLS算法在齒輪箱振動主動控制中的應用

羅順安，張 鋒，汪 涵

（華僑大學 機電及自動化學院，福建 廈門 361021）

齒輪傳動有傳動效率高、傳動平穩等優點，廣泛應用于汽車、航空、工程機械等領域。但在實際工作過程中由于制造安裝誤差、剛度時變性、嚙合沖擊等因素引起的動態嚙合力會引發齒輪系統振動，從而降低系統傳動精度，加快零件疲勞失效[1]。為抑制齒輪系統振動，傳統上一般采用被動控制的方法，如對齒輪進行修形[2]、增大系統阻尼等，被動控制能在一定程度上降低齒輪系統振動，穩定性高，但對中低頻振動不能進行有效控制，且需改變傳動系統結構，靈活性差。

相比被動控制，從外部添加控制源，并以自適應算法為控制策略的主動控制方法對齒輪系統的中低頻振動具有更好的控制效果[3]，其中控制策略是影響控制效果的主要因素，LMS算法由于計算簡單，便于分析而被廣泛應用。Mingfeng Li等[4]設計了以單只壓電作動器為執行結構的齒輪傳動振動控制系統，并采用Fx LMS算法為控制策略，實驗結果顯示齒輪箱體振動最多有10 dB的衰減。Yuan H.Guan等[5]在同樣的控制結構上應用D-LMS算法以簡化計算。WU Jian-da等[6]在齒輪振動主動控制中，將Fx LMS算法與μ分析相結合，使得控制系統具有更快的收斂速度和更好的魯棒性。李以農等[7]構建了在齒輪軸上附加壓電作動器的主動控制結構，采用次級通道在線辨識的Fx LMS算法以控制單級直齒輪傳動系統的振動，結果表明，在不同嚙合頻率下，經過主動控制后的齒輪傳動系統振動有了不同程度的減弱。李自強等[8]采用非線性的BFxLMS算法，對次級通道進行在線辨識，在二級齒輪箱上進行試驗，結果在第一對齒輪嚙合基頻處可以達到11 dB的衰減，在第2對齒輪嚙合基頻處可以達到10 dB的衰減。

以上研究證明基于LMS算法的主動控制方法能有效抑制齒輪系統振動，但由于LMS算法采用隨機梯度下降法搜索最優值，振動主動控制系統在實際應用中存在收斂速度緩慢和穩態誤差較大的不足，而另一自適應算法遞歸最小二乘算法（RLS）能有效解決控制系統的這一問題[9]。Mirza A等[10]將FxRLS算法應用在有源噪聲控制（ANC）中，并與采用FxLMS算法的ANC系統比較，仿真結果證明，FxRLS算法具有更快的收斂速度和更小的穩態誤差。Quanzhen H等[11]以壓電陶瓷作動器為執行器控制懸臂梁的振動，分別采用FxRLS算法和FxLMS算法作為控制策略進行實驗，結果FxRLS算法相比FxLMS算法有高于5倍的收斂速度。

齒輪系統的振動由剛度、誤差、嚙合沖擊等多種激勵綜合作用而產生，振動系統復雜度高，為驗證FxRLS算法在齒輪系統振動主動控制中的有效性，本文以一組壓電作動器為執行機構，設計了二級齒輪箱振動主動控制結構，采用FxRLS算法作為控制策略，并分別在ADAMS與Simulink中建立齒輪系統虛擬樣機模型與FxRLS控制系統，連接兩者進行聯合仿真，仿真結果證明了FxRLS算法在齒輪傳動系統振動主動控制應用中的有效性。

1 FxRLS算法

FxRLS算法是RLS算法在振動主動控制應用中的一種改進，其系統框圖如圖1所示。

圖1 FxRLS算法結構框圖

d(k)為振動信號，y(k)為控制信號，S(z)為次級通道，表示控制信號輸出至誤差信號輸入之間的信號傳播通道，引入次級通道模型S′(z)對輸入控制器的信號進行濾波，以抵消次級通道對控制系統的影響。e(k)為殘余振動信號，即系統振動信號與執行器產生的振動信號之差

自適應濾波器采用FIR濾波器結構，則s(k)可表示為

式中：

定義Fx RLS算法的目標函數為觀測區間內的加權誤差平方和，即

其中：λn-k為加權因子。

當目標函數ξ(n)相對權向量wn的梯度為0時，濾波器結構參數在最小二乘意義上取得最優值，對應的權值向量為

此時，濾波器的估計誤差為

將上式代入正則方程，得權值向量更新方程為

將FxLMS算法與FxRLS算法的性能進行比較。FxLMS算法的目標函數相比維納濾波器的目標函數移除了期望算子，并采用隨機梯度下降法搜索最優解，使其能在輸入信號統計特性未知的環境下工作，但這導致FxLMS算法無法最終收斂于維納解，而是在維納解的鄰域內以隨機游走的方式徘徊，從而達到穩定狀態后存在較大的穩態誤差。同時在隨機梯度下降過程中需選擇較小的步長因子以保證算法收斂，這導致算法收斂速度緩慢[12]。

FxRLS算法的目標函數為觀測區間內的加權誤差平方和，依賴于觀測區間內所有輸入信號與目標信號的時間平均，由于振動系統產生的隨機信號具有各態遍歷性，可使用時間平均代替集平均，從而FxRLS算法可視為維納濾波器理論在時間上的表現形式，當迭代次數n趨于無窮大時，其最優解收斂于維納解，均方誤差趨于零，即相比FxLMS算法，FxRLS算法在達到穩定后的穩態誤差更小。同時在迭代過程中FxRLS算法使用逆相關矩陣Φn-1對輸入信號進行白化處理，使其具有更快的收斂速度。

2 構建齒輪箱振動主動控制結構

齒輪系統在誤差、剛度和嚙合沖擊等多個激勵下產生動態嚙合力，引起振動，因此在激勵源附近添加控制力以對動態嚙合力進行抵消，可以有效地阻止振動的產生，并減少振動的傳遞。以二級齒輪箱為研究對象，設計二級齒輪箱如圖2(a)所示，其中齒輪采用直齒圓柱齒輪，輸入軸齒輪齒數為19，中間軸大齒輪齒數為37，中間軸小齒輪齒數為23，輸出軸齒輪齒數為35。在齒輪箱內部將一對壓電作動器通過支撐軸承分別添加在輸入軸與輸出軸上，如圖2(b)所示。

壓電作動器尾端固定在支架套筒內以限制其徑向移動，作動器前端通過防載棒頂在支撐軸承墊塊上，以限制其軸向移動，當壓電作動器接收控制信號時將輸出作動力，并通過支撐軸承作用在軸上，直接削弱齒輪副的動態嚙合力，達到抑制振動的目的。

將建立的二級齒輪箱三維模型導入ADAMS中以構建虛擬樣機模型。用impact碰撞函數模擬齒輪副嚙合和碰撞過程，其函數表達式為

其中q為兩接觸物體的實際碰撞距離，q0為兩接觸物體的參考碰撞距離，K為剛度系數，e為剛性力指數，C為阻尼率，d為阻尼率達到最大所經過的距離[13]。

選擇齒輪材料為45號鋼，對于齒輪間的接觸碰撞 ，設 置K為 9.16×105N/mm32，e為 1.5，C為30 N·S-1/mm，d為0.1 mm，取動摩擦系數為0.05，靜摩擦系數為0.08；采用型號為6003的深溝球軸承，對于軸承滾子與內外圈之間的接觸碰撞，設置K為1.644×105N/mm32，e為 1.5，C為30 N·S-1/mm，d為0.05 mm，動、靜摩擦系數分別為0.036和0.05。在輸入軸施加轉動，在輸出軸施加負載，從而得到二級齒輪傳動系統的虛擬樣機模型。

3 構建聯合仿真系統

結合圖1的Fx RLS算法結構框圖及圖2中二級齒輪箱振動主動控制結構，設計齒輪箱振動主動控制系統如圖3所示，激勵作用于齒輪副引起的振動即為控制目標，二級齒輪箱有兩對齒輪副，從而有兩個控制目標，S1(Z)和S2(Z)分別表示兩個次級通道，為消除次級通道的影響，將對應的模型引入控制系統中以對控制器輸入信號進行濾波。在振動主動控制中，參考信號的選擇對控制效果有很大影響，為獲得與齒輪系統振動具有高相關性的參考信號，通過2階IIR自適應陷波器對實時采集的振動信號進行頻率估計[14]，以獲取齒輪副嚙合頻率，再在線合成參考信號。

通過仿真以驗證FxRLS算法在二級齒輪箱振動主動控制應用中的有效性。在Simulink中構建振動主動控制系統，其核心為FxRLS自適應濾波器，由于濾波器為多輸入多輸出，采用Level-2函數編寫FxRLS算法，對參考信號合成器中的自適應陷波器同樣采用Level-2函數進行設計，使用FIR濾波器結構模擬次級通道，連接控制器、參考信號合成器及次級通道模型，得到振動主動控制系統；將ADAMS中的齒輪傳動系統虛擬樣機模型作為機械模塊導入Simulink，與控制系統進行連接，得到如圖4所示的機械系統與控制系統一體化的齒輪傳動振動主動控制聯合仿真模型。

圖2 二級齒輪箱振動主動控制結構

圖3 二級齒輪箱振動主動控制系統

圖4 齒輪箱振動主動控制聯合仿真系統

聯合仿真需要兩個軟件進行數據通信，定義齒輪傳動系統的輸入變量為兩個壓電作動器分別作用在輸入軸與輸出軸上的控制力，輸出變量分別為對應控制力作用點上的振動加速度[15]。

4 仿真結果

設置齒輪箱的輸入轉速為2 543 r/min，則通過各齒輪齒數可計算得高速齒輪副的嚙合頻率為805 Hz，低速齒輪副的嚙合頻率為500 Hz，設置負載為1 N·m。

設置仿真參數如下：作為控制器的自適應濾波器階數為90；FxRLS算法的加權因子λ=0.999 7，初始化自相關矩陣的正則參數δ=0.002；另外采用FxLMS算法作為控制策略進行仿真以作為比較，由于在寬松意義下，FxLMS算法的步長因子μ與FxRLS算法的1-λ有類似作用，因此選擇步長因子μ=0.000 3；設定采樣頻率為0.000 1 Hz。

進行聯合仿真，仿真結果如圖5、圖6所示。其中圖5(a)為輸入軸振動主動控制的時域歷程，圖5(b)為對應的頻域結果；圖6(a)為輸出軸振動主動控制的時域歷程，圖6(b)為對應的頻域結果。

從仿真結果可見，所設計的振動主動控制結構在采用自適應算法為控制策略時，能有效控制二級齒輪箱的振動。在圖5(a)中，FxRLS控制系統經過1 500次迭代后達到穩定，而FxLMS控制系統經過3 000次迭代后達到穩定，在圖6(a)中，FxRLS控制系統經過1 000次迭代后達到穩定，FxLMS控制系統經過2 000次迭代后達到穩定，圖5(a)與圖6(a)的結果可以證明FxRLS算法具有比FxLMS算法更快的收斂速度；在圖5(b)中，主動控制系統對振動的抑制主要在第4階諧波3 220 Hz處，其中FxRLS控制系統對振動的削減量為5 dB，FxLMS控制系統對振動的削減量為3 dB，在圖6(b)中，控制系統對振動的抑制主要在第3階諧波1 500 Hz和第4階諧波2 000 Hz處，FxRLS控制系統在這兩個頻率處分別降低振動6 dB和7 dB，FxLMS控制系統在兩個頻率處分別降低振動2 dB和3 dB，從圖5(b)和圖6(b)的結果可見，FxRLS算法具有比FxLMS算法更小的穩態誤差；對比圖5和圖6可見，高速齒輪副動態嚙合力引起的振動大于低速齒輪副動態嚙合力引起的振動，而FxRLS控制系統與FxLMS控制系統對輸出軸振動的控制效果均好于對輸入軸振動的控制效果，即主動控制方法對齒輪傳動系統的中低頻振動控制效果更好，有效控制齒輪箱輸出軸振動能減少振動傳遞至負載，符合實際需求。

5 結語

為有效控制二級齒輪箱振動，將一對壓電作動器通過支撐軸承分別安置在輸入軸與輸出軸上以構建振動主動控制結構，采用FxRLS算法作為控制策略，在Simulink中構建控制模塊與機械模塊一體化的聯合仿真系統，并將FxLMS控制系統作為對比，根據仿真結果可見：

圖5 輸入軸振動主動控制仿真結果

圖6 輸出軸振動主動控制仿真結果

(1)以FxRLS算法為控制策略，所提出的振動主動控制結構對二級齒輪箱輸入軸與輸出軸振動在多個頻率處都有超過5 dB的衰減，證明了所提主動控制方法的有效性。

(2)相比FxLMS控制系統，基于FxRLS算法的控制系統對二級齒輪箱輸入軸與輸出軸振動的控制都具有更快的收斂速度，且在多個頻率處都能取得更好的控制效果，與理論分析相符。

(3)控制系統對輸出軸振動的控制效果好于對輸入軸振動的控制效果，在二級齒輪箱中，輸入軸為高速軸，輸出軸為低速軸，可見主動控制方法對齒輪系統的中低頻振動能進行更有效的控制。