數(shù)值分析法對一類特種掛車的轉(zhuǎn)彎運動研究

李小柱

摘 要：對于普通公路上行駛的車輛來說，車輛的平面運動，可以視為一種跟隨運動，即后邊車輪始終朝向車頭的一種跟隨運動。但是跟隨運動本身具有一定的復(fù)雜性，一般情況下都不能用簡單的數(shù)學(xué)公式來描述，跟隨運動的軌跡往往都是超越函數(shù)。即使在車頭沿一條直線行駛時，如果車尾不在這條直線上，那么車尾的跟隨運動軌跡仍然復(fù)雜。在實際貨物運輸過程中，由于貨物重量非常大，經(jīng)常會涉及液壓平板車這種后輪轉(zhuǎn)彎的車輛，在通過彎道時，往往會遇到彎道是否能夠通過的難題。這需要提前進行彎道勘察后做出通過性預(yù)判，這就需要對這種車輛的平面運動進行數(shù)學(xué)分析，給出車輛通行的軌跡，這就是本文重點研究的內(nèi)容[1-2]。本文通過數(shù)值計算得方法，對液壓平板車進行了軌跡分析，對液壓平板車在過直角彎道時的通行軌跡進行曲線擬合。同時給出了車輛外廓點的（外側(cè)尾點）外側(cè)掃空寬度，給車輛通過彎道時外側(cè)預(yù)留的距離提供了重要參考。本文簡單描述半掛車及特種半掛車的轉(zhuǎn)彎模型，進而進行數(shù)學(xué)分析。

關(guān)鍵詞：液壓平板車；數(shù)值計算；曲線擬合；外側(cè)掃空

中圖分類號：U461.6 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）13-0237-04

1 普通半掛車的轉(zhuǎn)彎模型

普通半掛車的轉(zhuǎn)彎模型如圖1所示。

圖中AB為牽引車，BC為掛車，B點為掛點。根據(jù)半掛車的運動規(guī)律，B點跟隨A點運動，即B點運動方向始終指向A且保持固定距離AB，C點跟隨B點運動，運動方向始終指向B點，且保持固定距離BC。根據(jù)實際經(jīng)驗，即使牽引車的轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)交保持不變，AB與BC的夾角也會不斷變化（AB沿直線行駛除外）。因此，現(xiàn)在就對一般的跟隨運動做一個研究，找出一般性跟隨運動的規(guī)律，那么掛車的轉(zhuǎn)彎就可簡化為兩個一般性跟隨運動的組合，從而確定其轉(zhuǎn)彎通道。

2 特種半掛車轉(zhuǎn)彎模型

特種半掛車，其平面轉(zhuǎn)彎模式如圖2所示。

由于其掛車部分能夠轉(zhuǎn)彎，故在道路上行駛時，轉(zhuǎn)彎特性與普通半掛車有所不同，其突出表現(xiàn)為在通過彎道時，其掛車部分不能緊靠道路外側(cè)行駛，否則掛車車尾就會甩出道路外側(cè)，跑到道路以外。因此，有必要對掛車部分的外側(cè)尾點進行數(shù)學(xué)分析，分析其在正常轉(zhuǎn)彎時軌跡凸出道路外側(cè)邊緣的部分，以便在轉(zhuǎn)彎時預(yù)留出轉(zhuǎn)彎時的外移部分。

3 跟隨運動數(shù)學(xué)分析

跟隨運輸數(shù)學(xué)分析如圖3所示，設(shè)點A在平面內(nèi)運動，運動軌跡方程為，在平面內(nèi)存在連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，B點跟隨A運動，方向始終指向A，且與A保持固定距離d，求B的運動軌跡方程。

由剛體平面運動可知，A、B始終繞A、B構(gòu)成的體系的速度瞬心轉(zhuǎn)動，A在外圓上，B在內(nèi)圓上，且外圓半徑R及內(nèi)圓半徑r都是轉(zhuǎn)角的單值函數(shù)。

上式即為一般跟隨運動的跟隨點運動軌跡方程。很顯然，這個微分方程對給定的情況下也很難求出解析解，故下面將用數(shù)值計算，然后對散點進行數(shù)值進行曲線擬合的方法來求解。

4 用數(shù)值計算法對跟隨點軌跡進行分析

當A點沿某一軌跡移動時，B點始終與A點保持固定距離，朝向A點移動，設(shè)其真實移動軌跡為gc，求B點的移動軌跡。

以下按照數(shù)值計算的方法進行模擬圖4所示。當A從A0移動到A1時，由于B點始終朝向A移動，因此可以認為當步長很小時，近似認為B朝向A0A1的中點即A0-1點移動，因此在一個步長完成之后，由于A的軌跡已知，因此在確定步長后A01的坐標也為已知，同時，由于一個步長后B1A1的距離仍然為固定值，因此可以確定唯一的B1點。然后把A的軌跡劃分為多個很小的步長，以此類推，可以確定B2、B3...直到Bn點的坐標，再用曲線擬合的方法，即可求出B點的移動軌跡。

當C點朝向B點移動時，計算的原理也與上邊相同，這樣就可以求出C點的移動軌跡。

5 外角點的計算

由于液壓平板車后輪轉(zhuǎn)彎的特性，車尾的外角點軌跡將成為車輛轉(zhuǎn)彎通道圓的外輪廓。同時，由于車輛向任意一側(cè)轉(zhuǎn)彎時，車尾總是向相反的方向轉(zhuǎn)彎（見前圖2所示），故車輛不能像普通半掛車一樣緊貼道路外側(cè)邊緣行駛。因此，車尾外掃空也是需要重點考慮的一點，從而需要對車輛外角點的軌跡進行計算。車輛外側(cè)角點坐標計算圖5所示。

當C點運動到任意一點CK時，CK坐標已知，同時其運動方向根據(jù)前面討論也為已知（方向為過CK與BK-K+1的直線的方向）。

又從CB到CD的角度也為已知量（見圖7所示），設(shè)其為α，距離也為固定值，設(shè)其為e，則根據(jù)平面幾何，車輛在C點到達CK時，DK點的坐標為：

由以上計算圖示可得，DK點坐標為：

XDK=XCK+e·cos（tan-1hc（XK）+α）

YDK=YCK+e·sin（tan-1hc（XK）+α）

式中hc（XK）可簡化考慮為前邊已經(jīng)計算出的過CK與BK-K+1的直線方向。故而可直接由y=hc（x）求出D點軌跡。

6 對具體車輛實際軌跡進行計算分析

前面對計算得方法、誤差估計、曲線擬合都給出了實際計算分析的方法，現(xiàn)就具體車輛進行分析計算。具體數(shù)據(jù)如下：

3縱列12軸線，牽引車用奔馳3353，死軸（液壓平板的不轉(zhuǎn)向軸）正常定為液壓平板掛車部分從前往后第6軸線，牽引車轉(zhuǎn)向輪初始轉(zhuǎn)角30°（根據(jù)實際工程統(tǒng)計得出，為減小掛車內(nèi)側(cè)的掃空，車頭往往推遲轉(zhuǎn)向，走過的實際軌跡大概相當于起始轉(zhuǎn)角30°的圓弧），通過90°彎道后直行一段距離。

坐標系以轉(zhuǎn)彎前掛點為坐標原點，兩個轉(zhuǎn)向輪的中點設(shè)為A點，掛點為B點，掛車中點為C點，D點位車尾角點。車輛實際轉(zhuǎn)彎平面圖6所示，車輛轉(zhuǎn)彎數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)數(shù)據(jù)及模型圖7所示。

以下是用excel按照一定步長模擬計算得結(jié)果（片段）表1所示：

7 曲線擬合

7.1 最終C點的擬合曲線y=hc（x）

C點軌跡圖8所示，根據(jù)數(shù)值計算得坐標點進行曲線擬合，得到擬合曲線：

y=hc（x）=3×10-9x3+1×10-4x2+1.2498x+4800.4

并且擬合相對誤差小于1%，精度滿足要求。

7.2 車輛尾點的外側(cè)角點的曲線擬合掃空寬度

D點軌跡圖9所示，根據(jù)計算，D點的Y軸負向最小值為-5294.2mm（以B點位坐標原點），在考慮車外側(cè)本身半寬為1.495m的情況下，D點，即外側(cè)角點向外的最大掃空為3.799m。

8 結(jié)語

對于液壓平板車而言，當車輛通過彎道時，掛車中點的運動軌跡可以用一個三次函數(shù)進行表達，同時精度可以滿足要求。當掛車的長度及死軸位置發(fā)生變動時，只需要根據(jù)實際情況調(diào)整計算參數(shù)即可求出一個滿足實際精度要求的軌跡。另外，由于液壓平板掛車的后輪轉(zhuǎn)彎特性，其外側(cè)掃空不容忽視，其外側(cè)最大掃空也可根據(jù)特定的算法求出，在通過彎道時應(yīng)提前留出外側(cè)掃空寬度，從而保證車輛在轉(zhuǎn)彎時能夠順利通行。

參考文獻

[1]唐旭清.數(shù)值計算方法[M].科學(xué)出版社，2016.

[2]甘志國.平面解析幾何[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2014.