碰撞阻尼器的顫振行為研究

杜妍辰， 王 彬

(上海理工大學 醫療器械與食品學院，上海 200093)

碰撞阻尼屬于振動的被動控制技術，它利用振動過程中自由質量(沖擊器)與主系統的碰撞來控制主系統的響應。碰撞阻尼器構造簡單、成本低廉、易于實施、無需外電源、適合在惡劣環境下使用并且減振效果良好。關于碰撞阻尼的研究在最近得到了迅猛的發展，目前有代表性的碰撞阻尼包括：單體碰撞阻尼[1-4]、豆包碰撞阻尼[5]、多體碰撞阻尼[6]、顆粒碰撞阻尼[7-13]、非阻塞性顆粒碰撞阻尼(Non Obstructive Particlc Damper, NOPD)[14-15]、帶顆粒減振劑的碰撞阻尼[16-20]等。

雖然碰撞阻尼器種類繁多，但他們之間存在著共性。從減振機理上看，主要的原理是動量交換和碰撞耗能機理；從理論研究方法上看，大部分沿用或借鑒了單體碰撞阻尼的模型，因此，單體碰撞阻尼是這一領域研究的基礎模型。現有的關于單體碰撞阻尼的研究成果認為：每周期兩次對稱碰撞是碰撞阻尼器中典型的和具有較好減振性能的運動模式；但這種好的減振效果只在共振點附近出現，遠離共振點的地方，則效果不好甚至出現放大的情況。因此，當使用頻率位于一段頻率范圍內而非僅在共振點附近時，現有的理論分析認為每周期兩次對稱碰撞所取得的減振效果并不理想。作者通過實驗研究發現，當恢復系數較低時，碰撞阻尼器頻率適應范圍寬，即在很大的一段頻率范圍內均有較好的表現，這與以往關于單體碰撞阻尼的理論研究結論有較大的差別。通過數值模擬考察其運動模式，發現在減振效果較好的運動軌跡中，存在顫振和黏滯的現象，即顫振和黏滯有可能是碰撞阻尼器取得良好減振效果的新的有效的途徑。所謂顫振，是指自由質量在短時間內與主系統之間發生很多次甚至無窮次碰撞的情況。所謂黏滯，是指自由質量與主系統同步運動的情況。關于碰撞阻尼器中的顫振研究，目前還沒有任何報導。

在兩種情況下，顫振可以直接轉化為黏滯，一種是恢復系數為零的情況，此時，沒有顫振，碰撞后直接產生黏滯；另一種為顫振結束后自由質量與主系統相對運動為零，產生了黏滯，這種顫振稱為“完全顫振”，而顫振結束后自由質量與主系統相對速度不為零，則不會產生黏滯，這種顫振稱為“不完全顫振”。國際上，關于顫振方面的研究是從Budd等[21]和Toulemonde等[22]以及Wagg等[23]開始的，重點是對擦邊分岔及引發的運動周期和碰撞次數的變化以及多峰值等現象做了研究。其他關于碰撞顫振的報道還非常有限，H?s等[24]研究了由擦邊引起的減壓閥與底座間的自激振動，發現低的流速會引發顫振，閥門預緊力是引發顫振的另外一個因素；Demeio等[25]研究了倒立擺碰撞中顫振持續時間的近似計算方法，研究表明，顫振持續時間主要與振幅相關，與激振頻率和阻尼比關系不大；Singh等[26]研究了雙擺碰撞問題、Davis等[27]研究了一個擺與旋轉的障礙(moving obstacle)之間的碰撞，Wagg等[28]研究了一根懸臂梁與一個剛性障礙的碰撞，在這些不同類型的碰撞過程中，均發現了顫振和黏滯運動。目前關于顫振和黏滯的研究，均未涉及到阻尼器，還沒有發現關于碰撞阻尼器中顫振方面的報道。一方面，這些系統大多有固定的約束，其振幅已被限定在一定的范圍內，另一方面，關于碰撞阻尼器的研究大多關注每周期兩次的對稱碰撞，幾乎都沒有涉及到顫振。由于碰撞阻尼器中的約束是一個自由質量，其位置并不固定，因此，關于碰撞阻尼器中的顫振研究與現有的研究會有較大的不同。

本文以經典的碰撞阻尼器為模型，分別通過理論推導和數值模擬驗證兩個方面對系統的顫振行為進行研究，確定了系統的顫振持續時間和顫振完成點，對不同參數條件對顫振行為的影響進行了研究。

1 系統力學模型及運動微分方程

以經典的碰撞阻尼減振器為模型，研究碰撞阻尼減振系統的動力學行為。系統的簡化動力學模型如圖1所示。

圖1 碰撞阻尼器模型示意圖Fig.1 A model for Impact damper

圖1是多體碰撞阻尼器的簡化力學模型，其中的自由質量以m(t)來表示，主系統由主質量M，彈簧剛度K1及阻尼C1組成，在外加激振力F0sin(Ωt)的作用下產生振動。自由質量m(t)置于主系統M內部，在振動過程中自由質量只在主系統M內部做水平方向的運動，且當自由質量m(t)與主系統M的相對位移為D時，二者發生碰撞，然后以新的速度反方向運動，如此反復碰撞，通過動量交換使系統部分機械能轉換成內能，達到減振的目的。

取系統的中心位置為坐標原點。當自由質量m(t)與主系統M發生相互碰撞，改變速度方向后，又以新的初值運動，然后再次碰撞，如此反復。為方便計算，采取以下幾個基本假設：

(1)在兩次碰撞過程之間，主系統與自由質量之間無摩擦；

(2)將多個介質簡化為一個球體，即質量為m(t)；

(3)在一個激勵周期內發生n次對稱性碰撞，且碰撞發生在瞬間，因而碰撞只改變m與M的速度，不改變其位移(滿足動量守恒定律)；

(4)碰撞時非彈性的，用恢復系數R加以表示；

(5)只考慮水平方向的碰撞。

圖1所示的碰撞阻尼系統，在兩次碰撞過程之間，描述系統運動的微分方程為：

(1)

(2)

當X1-X2=D時，M與m(t)發生碰撞，且碰撞被理想化為一個不連續的過程，由動量守恒定律及碰撞恢復系數R的定義可得：

(3)

(4)

自由質量m(t)是時間的函數，具有時變性。因為對于系統來說，自由質量m(t)引起的非線性動力學行為變化是緩慢的，因此自由質量m(t)可以用其在一個振動周期內的平均值代替，即：

式中：m0為質量常數；Ksc，Kss為亞諧碰撞的余弦和正弦項系數；Kic，Kis為余弦和正弦諧波項系數。

事實上，亞諧碰撞頻率常常是系統激振頻率的整約數，即

(5)

式中:n為整數。

為簡便計算，這里僅計入常數項和亞諧波項，略去諧波項部分，并化簡得

m(t)=m0+kssin(ωat+φ)

(6)

在振動過程中，自由質量m(t)與主系統M相互碰撞產生沖擊力，系統的運動可以考慮為一個分段線性過程。根據碰撞阻尼振動系統自身的特性，對圖1所示的碰撞阻尼器模型做出如下修改：

(1)相互碰撞之間無摩擦，且只考慮水平方向上的振動。

(2)當m與主系統發生碰撞時，在碰撞點產生一個局部變量，且碰撞時主系統M對碰撞體m具有剛度制約作用，因此用彈簧剛度K2來模擬這一過程。

(3)碰撞恢復系數，采用黏性阻尼C2來實現。

基于上述假設，可將上圖所示的碰撞模型簡化為圖2所示的兩自由度振動模型。

圖2 兩自由度碰撞振動系統示意圖Fig.2 Schematic diagram of the impact dampingsystem with two degree of freedom

圖2是由碰撞阻尼器模型簡化而來的兩自由度碰撞振動系統的模型示意圖，主系統M和自由質量m(t)分別通過彈簧剛度K1，K2和線性阻尼器C1，C2連接于固定約束端，主系統受到水平方向的F0sin(Ωt)的作用，當主系統M和自由質量m(t)的位移差等于D時，二者發生碰撞。

系統的動力學方程為：

(7)

(8)

式中：D為間隙。

適當的選擇K2，非線性彈簧可以模擬任意大小的剛性屏障，常數C2H乘積的值則可以恰當地模擬各種彈塑性碰撞，只要選取適當的C2便可以確定任意恢復系數R的值。

化簡方程(7)和(8)可得：

(9)

(10)

上述方程中“·”表示對時間t的求導。

引入無量綱參量：

化簡得到系統的無量綱運動微分方程：

(11)

(12)

式中：符號“ ′ ”表示對無量綱時間T的求導。

2 顫振現象的理論推導

以自由質量m的運動狀態作為討論對象，碰撞面∑(x,t)={x│H(x)=d,v(x)=0}。第一次碰撞后m的相對位置和速度為：

X1(x,v)=x+W(x)v，V1(x,v)=-rv

(13)

繼續討論下一次碰撞后m的狀態：

(14)

X3(x,v)=x+K(x)v+O(v2)，V1(x,v)=rv

(15)

x=X4(x*,v)=x*+θ(x*)v+O(v2)

(16)

且有X3(X4(x,v),v)=X4(x,V3(X4(x,v),v))，代入v(x)表達式可以求得

(17)

3 顫振現象的數值模擬

在上一節中對兩自由度碰撞振動模型的顫振現象進行了詳細的理論計算和推導，得到了顫振完成點和顫振過程所經歷的時間。顫振可以分為“完全顫振”和“不完全顫振”，在顫振結束后自由質量與主系統相對運動為零，產生了黏滯，這種現象稱為“完全顫振”；而在顫振結束后自由質量與主系統相對速度不為零，則不會產生黏滯，這種現象稱為“不完全顫振”。

為了對此類碰撞振動系統的顫振現象有更加深入的研究，本節將通過四階Runge-Kutta法對其進行數值模擬。

對方程(11)～(12)進行降階處理，得到了以下的四維等價系統：

(18)

其中，

為簡化計算可取：

則方程(18)中的參數可以寫為：

在其他參數一定的情況下，首先以間距d作為控制參數，得到主系統M的位移在d=0～2區間內變化的分岔圖。

圖3 x1最大值隨間距d的分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram of maximum x1with distanced

由上述討論結果可取d=0.2，以系統的激振頻率ω作為控制參數，利用四階Runge-Kutta法進行數值模擬進一步研究系統的顫振現象。圖4為頻率ω=0～5范圍內，主系統M的位移隨其變化的分岔圖。

圖4 x1最大值隨頻率ω的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of maximum x1with frequency ω

由分岔圖4可以看出，主系統M的位移隨著激振頻率ω的逐漸增大發生了明顯的變化，且在ω=0～0.35的范圍內系統發生了顫振行為。

由自由質量m的時域變化圖5,6,7可以看到當ω分別取0.2,0.25,0.3時m的相對位移和相對速度隨時間變化的情況。由圖5(a)可以發現，當ω=0.2時，顫振現象約從t=332 s開始，持續時間約為11 s，表現在圖中為出現了一條平行于x2-x1=0.2的線段，且在圖5(b)中自由質量m的相對速度趨于0，也就是完全顫振完成的狀態。同樣地，由圖6(a)可以發現，當ω=0.25時，顫振現象約從t=316 s開始，到t=327 s結束，持續時間也約為11 s。進一步觀察圖7(a)，當ω=0.3時，系統雖然也發生了顫振現象，但是與圖5(a)和圖6(a)相比較可以發現，在顫振結束時并未出現一條平行于x2-x1=0.2的線段，且其相對速度的時域圖7(b)與圖5(b)和圖6(b)相比較也可以更為清晰的看出完全顫振與非完全顫振的分別。

(a)位移時域圖

(b)速度時域圖圖5 ω=0.20時自由質量m的時域變化圖Fig.5 Time-domain diagram of m with ω=0.20

(a)位移時域圖

(b)速度時域圖圖6 ω=0.25時自由質量m的時域變化圖Fig.6 Time-domain diagram of m with ω=0.25

(a)位移時域圖

(b)速度時域圖圖7 ω=0.30時自由質量m的時域變化圖Fig.7 Time-domain diagram of m with ω=0.30

為對完全顫振和非完全顫振的運動現象有更深入的認識，下面分別對圖5和圖6進行局部放大，得到ω=0.2，0.25時自由質量m的時域變化放大圖。

(a)位移時域圖

(b)速度時域圖圖8 ω=0.20時自由質量m的時域變化放大圖Fig.8 Enlarge time-domain diagram of m with ω=0.20

(a)位移時域圖

(b)速度時域圖圖9 ω=0.25時自由質量m的時域變化放大圖Fig.9 Enlarge time-domain diagram of m with ω=0.25

4 結 論

本文針對由經典的碰撞阻尼器簡化而來的兩自由度碰撞阻尼振動系統，通過理論推導和數值模擬相結合的方法，計算得到了系統的完全顫振持續時間和顫振完成點，并借助Matlab編程得到的分岔圖和時域圖，深入研究了不同參數條件下系統的顫振變化過程，計算結果與理論推導得到的結論一致，證明了理論計算的正確性。本文主要結論如下：

(2)由不同參數條件下自由質量m的相對位移和速度時域圖可知，在經歷了一段時間的復雜運動響應后發生顫振運動，且顫振的持續時間和結束狀態與理論推導結論相吻合。

(3)系統經歷了完全顫振和不完全顫振，且其時域圖清晰地說明黏滯是完全顫振收尾時的重要特征。