時間尺度上二階Emden-Fowler型延遲動態方程的振動性

楊甲山

(1.梧州學院 大數據與軟件工程學院, 廣西 梧州 543002;2.梧州學院 復雜系統仿真與智能計算實驗室, 廣西 梧州 543002)

振動作為一種物理現象,廣泛存在于自然科學和工程技術中,如控制系統中的自激振動,同步加速器中波束的振動,化學反應過程中的復雜振動等等,這些現象可以統一為方程的振動理論。基于這些實際應用背景,本文討論時間尺度上一類二階非線性Emden-Fowler型延遲泛函動態方程

[A(t)φ1(y△(t))]△+b(t)φ1(y△(t))+
P(t)f(φ2(x(δ(t))))=0,t∈T

(1)

的振動性,這里y(t)=x(t)+B(t)g(x(τ(t))),φ1(u)=|u|λ-1u,φ2(u)=|u|β-1u,λ>0,β>0為實常數;T為任意時間尺度,A(t),B(t),b(t),P(t)∈Crd(T,R),即A(t),B(t),b(t),P(t)均為定義在T到R上的實值rd-連續函數,τ(t),δ(t)均為定義在T到T上的滯量函數,g(u),f(u)∈C(R,R),且ug(u)>0(u≠0),uf(u)>0(u≠0)。為了方便,考慮如下假設:

(H2): 0≤B(t)<1;b(t)≥0;P(t)>0.

(H3): 存在常數0<η≤1和L>0,使得g(u)/u≤η(u≠0),f(u)/u≥L(u≠0)。

(H4):A(t)>且-b/A∈R+。

我們將考慮以下2種情形

(C1)

和

(C2)

關于時間尺度上中立型阻尼動態方程的振動性研究,目前已有一些成果,見文獻[1-18]。如Saker等[3]運用Riccati變換技術和時間尺度上的微積分理論,研究了二階非線性阻尼動態方程

(r(t)x△(t))△+p(t)(x△σ(t))γ+q(t)f(x(σ(t)))=0(t∈T)

的振動性并得到了該方程振動的幾個充分條件。Erbe等[4]研究了具阻尼項的二階非線性動態方程

[r(t)(x△(t))γ]△+p(t)(x△σ(t))γ+q(t)f(x(τ(t)))=0(t∈T)的振動性,得到了上述方程的一些振動準則,推廣并改進了已有的一些結果。Chen等[5]研究了時間尺度上二階動態方程

[(x△(t))γ]△+p(t)(x△(t))γ+q(t)f(xσ(t))=0(t∈T)

(這里γ是2個正奇數之比),給出了該方程振動的一些充分條件。

張全信等[6-9]利用時間尺度上的有關理論及Riccati變換技術,研究了二階半線性阻尼動態方程

(a(t)|x△(t)|γ-1x△(t))△+p(t)|x△(t)|γ-1x△(t)
+q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0(t∈T)

(2)

的振動性(這里γ>0為常數),得到了該方程振動的一些非常有意義的結果。孫一冰等[10]借助時間尺度上的有關理論及Riccati變換技術,研究了二階半線性中立型阻尼動態方程

(a(t)|z△(t)|γ-1z△(t))△+p(t)|z△(t)|γ-1z△(t)
+q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0(t∈T)

(3)

的振動性(其中z(t)=x(t)+r(t)x(τ(t))，γ>0為常數),得到了該方程的一些振動準則,改進并推廣了文獻[6-8]的結果。但有限制性較強的條件“τ=δ且τσ=στ”。

顯然,方程(1)更具有一般性。當g(u)=u,f(u)=u且λ=β時,方程(1)就簡化成(3);當r(t)≡0時,方程(3) 就簡化成(2)。因此,研究方程(1)的振動性是非常有意義的。本文將在條件較為寬松的情況下,利用時間尺度上的動態方程的基本理論和廣義的Riccati變換,并借助時間尺度上的H?lder不等式及其它不等式和分析技巧,研究方程(1)的振動性,得到了該方程幾個新的振動準則,改善了對方程的一些限制條件,推廣、改進并豐富了一些已知的結果。

由于我們感興趣的是方程解的振動性,所以本文假設時間尺度T是無界的,即supT=+∞。關于方程(1)的解及其振動性的定義可參考文獻[1，6]。本文僅關注方程(1)的不最終恒為零的解。

1 幾個基本引理

以下給出幾個引理。

引理1[2]若x(t)是△-可微的且最終為正或最終為負時,則

(4)

引理2[2]如果g∈R+,即g(t)∈Crd(T,R),并且對于任意的t∈[t0,+∞)T,滿足1+μ(t)g(t)>0。則初值問題y△(t)=g(t)y(t),y(t0)=y0∈R在[t0,+∞)T上有唯一的正解eg(t,t0),這個“指數函數”有時也記為eg(.,t0),它滿足半群性質eg(a,b)eg(b,c)=eg(a,c)。

引理5[12](時間尺度上的H?lder不等式) 設a,b∈T且a

引理6[13]設(H1)-(H4)及(C1)成立,若x(t)是方程(1)的一個最終正解,則存在t1∈[t0,+∞)T,使得當t∈[t1,+∞)T時,有y(t)>0,y△(t)>0,A(t)φ1(y△(t))>0,[A(t)φ1(y△(t))]△<0且x(t)≥[1-ηB(t)]y(t)。

2 方程的振動準則

定理1設(H1)-(H4)及(C1)成立,如果存在函數φ∈C1(T,(0,+∞)),使得當λ≤β時,有

(5)

當λ>β時,有

(6)

證明不失一般性,設方程(1)在[t0,+∞)T上有一個最終正解x(t)(若x(t)為最終負解時類似可證),則存在t1∈[t0,+∞)T,當t∈[t1,+∞)T時,x(t)>0,x(τ(t))>0,x(δ(t))>0。從而y(t)>0。由方程(1)得

[A(t)φ1(y△(t))]△+b(t)φ1(y△(t))≤
LP(t)[x(δ(t))]β<0,t∈[t1,+∞)T，

(7)

根據引理1的結果,可得

(8)

事實上,由式(4)及引理6,當β>1時,有

βy△(δ(t))δ△(t)(y(δ(t)))β-1

當0<β≤1時,有

βy△(δ(t)δ△(t)(y(δ(σ(t)))β-1

這就證明了式(8)。

由引理6知,當t1∈[t0,+∞)T時,有

y(δ(t))≤y(δ(σ(t))),A(δ(t))(y△(δ(t)))λ≥A(t)(y△(t))λ≥A(σ(t))(y△(σ(t)))λ

由此得

(9)

定義廣義的Riccati變換

(10)

則w(t)>0(t∈[T0,+∞)T)。 下面分兩種情形λ≤β和λ>β來討論。

情形(a) 當λ≤β時， 一方面,如果β>1,注意到式(7)～式(9)及引理6, 則有

(11)

另一方面,如果0<β≤1,注意到式(8)中的第2個不等式,按相同的方法,可得到完全相同的上式。將式(10)應用于式(11)中,就有

w△(t)≤Lφ(t)P(t)[(1-ηB(δ(t)))]β+

(12)

又由于y(t)>0,y△(t)>0,所以存在常數a>0,使得y(δ(σ(t)))≥α,t∈[t,+∞)T,從而由式(12)得

(13)

將引理3中的不等式用于式(13),得

LP(t)[1-ηB(δ(t))]βφ(t)≤-w△(t)+

(14)

將式(14)兩邊積分,得

(15)

這與式(5)矛盾!

情形(b) 當λ>β時。與情形(a)一樣,無論β>1還是0<β≤1,式(11)總是成立的。注意到式(10),則有

由引理6知,當t∈[t1,+∞)T時,存在k>0使得A(σ(t))(y△(σ(t)))λ≤A(t1)(y△(t1))λ=kλ,由此得[y△(σ(t))](β-λ)/β≥k(β-λ)/β[A(σ(t))](λ-β)/βλ.從而

(16)

于是,將引理3中的不等式用于上式,得

LP(t)[1-ηB(δ(t))]βφ(t)≤w△(t)+

將式(17)兩邊積分,得

(17)

這與式(6)矛盾。定理證畢。

注1為了使得到的結論更加簡潔,可以將定理1中的條件式(5)和式(6)合成一個式子:

(18)

式中：常數γ1=min{1,β/λ},γ2=min{λ,β},α如定理1。

注2當方程(1)中λ=β=γ,B(t)≡0,f(u)=u時,條件式(18)(或條件式(5))即為文獻[6]中的條件(4.1),即定理1的結論包含了文獻[6]中的定理4.1此外,由定理1證明中所得的式(14)式(或者式(17))同樣可得到方程(1)的Kamenev型振動準則(如文獻[6]中的定理4.2),為節省篇幅,在此就不贅述了。若定理1中的條件式(5)或式(6)(即式(18))不成立時方程(1)就有如下的振動準則。

定理2設(H1)-(H4)及(C1)成立,如果存在函數φ∈C1(T,(0,+∞),ξ1(t),ξ2(t)∈Crd(T,R)，使得對u≥t1≥t0,有

(19)

(20)

并且

(21)

證明不失一般性,設方程(1)在[t0,+∞)T上有一個最終正解x(t)(若x(t)為最終負解時類似可證),則存在t1∈[t0,+∞)T,當t∈[t1,+∞)T時,x(t)>0,x(τ(t))>0,x(δ(t))>0。

當λ≤β時。此時γ1=1,γ2=λ,同定理1的證明可得式(13)和式(15)兩式。于是由式(15),對t≥u≥t1,有

所以

ξ(u)-θξ2(u)≤L-1w(u),u≥t1≥t0

(22)

同時, 對式(13)兩邊積分,得

將式(19)用于上式,則有

(23)

式中：常數C1=w(t1)-Lξ1(t1)。于是,由式(23)我們斷定下式成立:

(24)

則由式(23)知,必有

(25)

這樣一來,對足夠大的正整數n,有

所以,由上式,對任意的正數ε∈(0,1)以及足夠大的正整數n,有

(26)

另一方面,利用引理5(即時間尺度上的H?lder不等式),可得

分別利用式(26)和(20),由上式則進一步可得

這與式(25)矛盾。所以式(24)成立。于是,分別利用式(22)和(24),可得

<+∞

這與式(21)矛盾。

當λ>β時。此時γ1=β/λ,γ2=β,由定理1證明所得到的式(16)和(17),完全類似于上面的證明,略。

定理證畢。

(27)

(a)y△(t)>0,t∈[t1,+∞); (b)y△(t)<0,t∈[t1,+∞)T

情形(a)：y△(t)>0,t∈[t1,+∞)T。同定理1的證明,可得到一個與式(18)矛盾的結果(即在λ≤β或λ>β時分別得到一個與式(5)或式(6)矛盾的結果)。

(28)

注意到0

(29)

因y△(t)<0,由式(4),容易得到

(30)

令

(31)

則ω(t)<0(t∈[t1,+∞)T)。注意到式(31),由式(29)可得

-1≤ω(t)θλ(t)≤0

(32)

當0<λ≤1時: 由式(31),并分別注意到式(30)的第2個式子及y△(t)<0,就有

(33)

當λ>1時: 注意到式(30)的第1個式子及y△(t)<0,容易推得式(33)仍然成立。

利用式(28),并注意到,得

x(t)=y(t)-B(t)g(x(τ(t)))≥y(t)-ηB(t)x(τ(t))≥

因此

(34)

若λ>β,則由y(t)>0,y△(t)<0(t∈[t1,+∞)T)知,y(t)≤y(t1),所以yβ-λ(t)≥yβ-λ(t1)=k。

若λ=β,則yβ-λ(t)=1。

yβ-λ(t)≥kθβ-λ(t)(k=M(β-λ)/λ>0是常數)。

綜上所述,由式(34)及π(t)的定義,有

(35)

將式(35)式代入式(33),可得

(36)

利用式(32),就有

這與式(27)矛盾, 定理證畢。

結合定理2和定理3,則有

注3 文獻[6]中的定理4.3及定理4.4(其它文獻[9]中的定理4.3及定理4.4,文獻[10]中的定理3、5等)只能得到相應方程的“每一個解或者振動或者收斂于零”的結論,不能明確方程的振動性,而本文定理3和定理4得到了方程振動的確定性結論。

3 例子和應用

例1考慮時間尺度上的二階Emden-Fowler型動態方程:

從而

所以條件(H1)-(H4)及(C1)均滿足。考慮到λ<β,并φ(t)=1,則

即條件式(5)滿足,因此定理1的條件全部滿足,于是由定理1知,方程(E1)是振動的。

注4由于方程(E1)是非線性的且α≠β,因此最近文獻[3-11,14-17]等中的結果都不能用于方程(E1)。

例2考慮二階Euler微分方程

(E2)

式中：常數q0>0。令A(t)=t2,b(t)=0,B(t)≡0,P(t)=q0,τ(t)=δ(t)=t,f(u)=u,λ=β=1,t0=1.顯然條件(H1)-(H4)和(C2)都滿足。取φ(t)=1,注意到T=R及e-b/A(t,t0)=1,我們有

當q0>1/4時,

且

所以定理3的條件全部滿足,于是當q0>1/4時Euler微分方程(E2)是振動的，這與眾所周知的結果完全一致。

4 結 論

本文討論了時間尺度T上一類二階非線性中立項阻尼動態方程的振動性,得到了方程解振動的幾個新的判別準則,這些結果反應了阻尼項和中立項及延遲項在振動中的影響作用,這些重要的結論為解決自動控制技術、生物種群動力學、伺服力學、物理學(如量子理論和核物理等方面)、神經網絡以及經濟學等領域的實際問題提供了數學理論依據和科學基礎。