有限幅波理論下小水線面雙體船非線性波激振動研究

唐宇航， 陳志堅

(1. 中國人民解放軍92578部隊，北京 100161； 2. 海軍工程大學 艦船工程系，武漢 430033)

船舶在較平穩的波浪中航行時出現顯著的持續總振動現象，稱之為波激振動[1]。目前，關于波激振動的描述有線性和非線性之分，導致非線性波激振動原因有很多，一般人們認為是船-波間遭遇頻率與總振動頻率存在倍頻關系[2]以及其他非線性激勵所致，例如船舶剖面水線寬、附加質量以及水動力阻尼等引起的非線性效應[3]。

海浪是海洋環境中最為復雜的自然現象，可分為長峰波和短峰波。波浪對船舶的擾動可分為一階力和二階力[4]，海洋工程結構受到的非線性波浪載荷也一直是人們關注的重點，其主要是對二階波浪力的研究[5-6]。微幅波作為有限幅波的一階近似，是描述線性波激振動常用波形；高階有限幅波理論可以對波浪的高階成分進行描述，也稱之為斯托克斯波，可以獨立于船型有效地解釋船舶在波浪航行中產生高階振動激勵力的來源。

美國學者曾經對線性和非線性波激振動的重要性進行了論述，發現某305 m長大湖型礦砂船二階和頻非線性激勵的貢獻能接近線性波激振動的50%[7]。Gu等[8]也對船舶非線性彎矩的高階調諧成分進行了試驗和理論研究。He等[9]研究了頂浪和斜浪下入射波和頻波激振動的二階貢獻，在一個典型海況計算中發現，某些站號上非線性波激振動的增大使得總波激振動達到了線性波激振動的5倍以上。顧學康等[10]對一超大型油船進行了線性與非線性波激振動試驗，非線性波浪載荷中的某階倍頻成分很容易使船體梁產生共振。小水線面船具有與常規單體排水型船不同的特殊結構形式，其總振動模態較為密集，且形式多樣。因此，其總振動受遭遇波浪影響較為嚴重，不同的遭遇波浪頻率、航向、航速以及波高均會較容易激起船體結構的高頻振動，而針對SWATH船的波激振動研究較少。

為探究有限幅波中高階波浪成分對小水線面雙體船的振動特性影響，本文從引起波激振動激勵源入手，對波浪的頻率特性進行分析，在結合高階有限幅波理論的基礎上，推導了受航速、航向、波高、波頻等因素影響下的波浪激勵力表達式，同時指出了評估波浪參數的決定方法。利用虛擬質量法完成了雙體船流固耦合振動響應計算，對比了該船在不同波頻參與激勵下，船體振動響應的差異。

1 波激振動響應計算理論

1.1 引起波激振動的激勵

理論研究和試驗研究均認為，非線性波激振動是由非線性波激力產生，且只能產生于船與波浪間的相互作用。馬廣宗[11]指出，由于船體橫剖面或水線面在首部沿深度方向和長度方向的變化是非線性的，從而產生了非線性激勵力，并給出了單體船迎浪時的一、二階波激力表達式

(1)

式中：Ls為船長;Lw為遭遇波長;B為船寬;Hw為波高;d為吃水;C0為考慮浮力和流體動力阻力的修正系數;G2和G3為Lw/Ls的函數，ve為船與波浪的遭遇頻率。

常規單體船進行波激振動試驗中發現，零航速下波浪遭遇頻率變化的低頻波浪彎矩能量占主要成分，其它為一些倍頻成份；有航速時，按船體梁一階振動頻率變化的高頻波浪彎矩占主要成份，比波浪遭遇頻率的能量大得多，即存在高階振動現象。且在有船體梁一階總振動頻率與波浪遭遇頻率之間存在倍數關系n。 若n是整數且較小，其峰值明顯，則非線性波浪載荷中的某階倍頻成份很容易使船梁產生共振。因此，有必要對波激振動力中遭遇頻率的1倍頻、2倍頻、3倍頻等高階分量進行研究。

微幅波和有限幅波是描述波浪運動常用理論，其波面隨位置、時間呈現周期性的起伏，且不變其形狀地以固定波速向前傳播，在外形上是近似的，如圖1所示，它們都屬于規則波。常用的微幅波理論是有限幅波理論的一階近似，有限幅波理論中含有高階分量，可以獨立于船型、有效地解釋船舶在波浪中產生高階振動的激勵力來源。微幅波理論要依賴于船體外表面的非線性外型才能勉強解釋波激振動的激勵力的成因。由于SWATH支柱體的幾何外型在垂向是直壁，故在小水線面船上，基于微幅波理論的高階激勵力成因不再存在。

圖1 有限幅波與微幅波示意圖Fig.1 Finite-amplitude wave and micro-wave diagram

1.2 有限幅波理論下波激振動激勵力

靜水面在風的作用下失去平衡，受重力和慣性力影響，海面在靜水面往復運動，形成波動。設波的傳播方向為x,y坐標鉛垂向上，波動發生的水域R由下式確定

(2)

式中：d(z,y)表示平面點(x,y)處的深度， 而x0(y)表示由d(x,y)=0解出的顯函數。 按勢流理論求解變化水域勢函數φ(x,y,z,t)的思想，基本方程為

(3)

且式(2)滿足-d(x,y)≤z≤ζ(x,y,t)。 如取流場復勢為如下形式[12]

w(x+iz)=φ(x,z)+iψ(x,z)

(4)

存在如下邊界條件形式：

(1) 自由表面運動學條件

ψ(x,z)z=ζ(x)=const

(5)

(2)表面動力學條件

(6)

式(5)、式(6)中的ζ(x)為波面形狀。

(3)有界性條件

(7)

由式(4)復勢求出的自由表面具有周期性起伏， 起伏的周期(即波長)為L=2π/k， 起伏的高度(即波高)為H。 取復勢w(x+iz)的試探解為

w(x+iz)=-c(x+iz)+iβce-ik(x+iz)

(8)

令式(5)中的常數為零，則有

ζ(x)=βekζ(x)coskx

(9)

結合以上公式，可得

e2kζ(x)≈1+2kζ(x)

(10)

(11)

將坐標原點置于靜水面，并以前進波的形式表示波面，可得波面函數的3階表達式為(由于太過復雜，本文僅列出3階)

(12)

式中：c為波的傳播速度;H為波高;a為波幅;k為波數。式(12)為深水3階斯托克斯波，是一種有限幅波。

設SWATH表面在有限幅波中航行時所受到的脈動壓力為p(x,y,t)， 根據伯努利方程

(13)

式中：ΦR為輻射波勢，ΦW為入射波勢，ΦD為繞射波勢。pS為船體運動引起的流體靜水壓力變化，pR為船體運動引起的輻射壓力，pW為入射波引起的波浪壓力，pD為船體對入射波的限制而引起的繞射壓力。

考慮船的航速，前進波的入射波勢函數形式為

ΦW=-c[(x-ct+Ut)+iz]+iβce-ik(x-ct+Ut+iz)

(14)

建立隨船坐標系如圖2所示，以固定坐標系描述波浪，設船的航行方向與波浪傳播方向有夾角μ，則在隨船坐標系中，入射波引起的波動壓力為

(15)

輻射力{FR(t)}與船舶濕表面的運動有關，可由船舶濕表面速度與水動力系數表示為

(16)

圖2 船體運動坐標系Fig.2 Hull movement coordinate system

根據“相對運動”假設，取適當的波浪代表點(如濕表面上點)，設該點各自由度的速度向量為{v}， 則其繞射力{FD(t)}可近似由“等效”的輻射力表示，即

(17)

因此可知，輻射力和繞射力均為流體的附加質量效應和附加阻尼效應。

1.3 評估波浪參數決定方法

式(15)即為激起波激振動的激勵力， 其中有1階力pw1、2階力pw2、3階力pw3分量。各階力的脈動頻率呈倍數關系。決定該激勵力量值和頻率特性的是3個參數：波幅參數a、波長參數k、波頻參數c。即存在如下比例關系：

按實際海浪觀測資料決定波激振動激勵力的基頻和激勵波的波高、波長參數。

1986年Hogben等提供的目測資料GWS，是經過長期的觀測統計給出的全球海浪統計資料，它為海洋結構，特別是船舶結構的設計和作業提供了重要的原始資料。1998年挪威Lφseth提出了對GWS的北大西洋8、9、15及16四海區經修正后的海浪長期統計資料NA-1C?？砂丛摵＠私y計資料決定波激振動激勵力的基頻和激勵波的波高參數。

該海浪資料的有義波高為三參數的Weibull分布、跨零波浪周期為log-normal分布。其有義波高的Weibull分布為

(18)

式中：H1=3.041，j=1.484，H0=0.66。 跨零波浪周期的log-normal分布為

(19)

2 整船有限元波激振動響應模型的建立

2.1 整船有限元模型的建立

雙體船具有與常規單體船不同的結構形式，振型多樣也更為復雜[13]，總振動頻率較為密集。雙體船模型相關尺度見表1，依據模型資料構造全船有限元模型，縱向基本按1個肋位間距，橫向按縱骨間距，垂向基本按縱向構件間距劃分，上建甲板層高間劃分為5個單元，單元的長寬比盡可能控制在1∶3內。骨架結構采用梁單元模擬，甲板板、艙壁板、外板等板材采用板單元模擬，加強筋和主要支撐構件用梁單元模擬，大設備及液艙質量按點質量單元模擬，使用MPC法加載設備質量。

表1 計算模型的參數

采用全自由邊界條件模擬水聲測量船在波浪中的情形，采用“剔除剛體模態”的方法實現全自由邊界條件模擬。全船有限元模型如圖3所示，共有95 760個節點，212 518個單元。

圖3 有限元整船模型Fig.3 Whole ship finite element model

2.2 舷外水效應處理

如“1.2”節所述，舷外水與船體的相互作用體現為入射波力、輻射波力和繞射波力這三種形式，且入射波力是導致波激振動的激勵力，輻射波力、繞射波力是一種慣性效應和阻尼效應，即慣性力和阻尼力。

對于輻射波力、繞射波力中的慣性效應部分，則采用MSC.Nastran程序中基于流固耦合理論的有限元技術進行模擬，即虛擬質量法。該方法利用Helmholtz理論，通過在外部邊界上分布一組“源”，每個“源”產生一個微分方程的簡單解，求解Laplace方程。推導出一個虛流體體積產生一個質量矩陣，該質量矩陣表達流體與一個結構單元組成的邊界耦合和其它影響。

表2 整船總振動頻率和振型數值計算結果

虛質量法適合于下列問題類型：

(1) 包圍部分結構的無限流體；

(2) 帶自由界面、內含可彎曲變形結構的流體；

(3) 由上述情形組合的多個流體體積。例如：漂浮在水中的一半，帶有幾個內部容器，內部容器具有自由界面和對稱邊界。

表2給出了考慮流固耦合效應的總振動固有頻率及其對應振型。

由海浪理論和實測海浪譜可知，主要規則波波頻多在0.1 Hz附近，且一般不會超過1 Hz。據表2中固有頻率可見，該船總振動的低階固有頻率值均遠大于波浪頻率，不會發生線性波激振動。但波浪的倍頻成分及其激勵力幅值、結構剛度、結構阻尼均會影響結構的振動響應的劇烈程度，由波浪高階分量產生的結構振動問題不可忽視。

秦鐵崖伸手示意：“這是刑部趙大人交給我的差事，現在交差。我已給老仙翁說好，騰一座小院出來，專供你表姐居住?！闭f罷拱手告辭。

2.3 波浪載荷的施加

受波浪作用的船體，在載荷作用的每個變化周期內，波浪在船體水線附近的作用位置(濕表面)是變化的，即力的作用點是“場變的”，此外，這部分船體濕表面所受的波浪力是隨時間變化的、是非連續的，即力的大小和方向是“時變的”[14]。本文采用移動波浪激勵力直接加載技術進行波激振動響應計算[15]，將式(15)所描述的波動壓力以面壓力的方式直接作用在整船有限元模型的濕表面上。

設在固定坐標系O-X1Y1Z1中， 記某瞬時的波型方程為ξ(x1,y1)， 波軸在靜水面上。 對所選取的波浪在OX1Y1面內進行旋轉變換可得在隨船坐標系O-XYZ中的波型方程ξ′(x,y)。 設小水線面船在靜水中的吃水用隨船坐標系表示為ξ0(x)， 則

ξJ(x,y)=ξ0(x)+ξ′(x,y)

(20)

以板殼單元離散小水線面船的船體表面， 設第i個節點的坐標為(xi,yi,zi)， 則有第i個節點吃水為

di=ξJ(xi,yi)-zi

(21)

在隨船坐標系中，記波浪壓力載荷為q(x,y,z)， 對于第e個單元，其平均壓力為

(22)

式中：Se為第e個單元的面積。

當單元劃分得足夠小時

(23)

將波浪載荷函數轉換成用PCL語言描述的Field函數作用于船體上，即實現了波浪對小水線面船整船有限元模型的加載。

3 波激振動響應計算結果

3.1 計算工況

按實際海浪觀測資料決定波浪激勵力的基頻和波高參數，重點對5級、6級、7級海況進行分析，定義波高為3.25 m、5 m、7.5 m，對應于各級海況波高的上下限均值。船體強迫振動位于共振區時需考慮阻尼，將其與內阻尼合并考慮，按照規范中關于水面艦艇模態阻尼系數的規定[16]，見圖4(取低阻尼)。

圖4 水面艦艇模態阻尼系數Fig.4 The modal damping coefficients of surface ship

根據NA-1C海浪長期統計資料的波浪參數概率分布規律， 計算波浪取最大概率波浪，即在本級海況有義波高條件下，波浪周期有最大發生概率p(tz/hs)的規則波，p(tz/hs)按式(19)進行計算。

表3中列出了5級、6級海情下波浪參數和概率。表4中給出了15個計算工況，其中包括5級海情下0 kN、6 kN和12 kN航速， 180°、135°和90°浪向角的9個組合工況，6、7級海情下12 kN航速， 180°、135°和90°浪向角的6個組合工況。對于各個組合工況分別對比計算由三階有限幅波、二階有限幅波和一階有限幅波(微幅波)激勵下的船體波激振動響應。

表3 波浪參數及發生概率計算表

表4 數值仿真試驗計算工況

3.2 非線性波激振動響應對比結果

采用瞬態響應分析對船體動響應進行預報，參考《水面艦艇振動評價基準》中關于評價區域的要求，對1甲板艏、艉端的左、右舷邊以及船舯的左、右舷邊的6個位置處的加速度響應進行計算，取總時長40 s內的時域響應信號進行處理。以頂浪工況組為例，圖5給出了A-01、B-01、C-01和D-01三種有限幅波激勵作用下1甲板艉端左舷邊的時域加速度響應。

圖5 頂浪航行狀態下1甲板左舷端時域響應Fig.5 Time-domain response of 1st deck stern side port side in the state of surfing sailing

為直觀對比波浪的高頻成分對船舶振動響應的影響，計算得到平均振動加速度級

(24)

式中：n為測點總數;Li為第i個測點的振動加速度級曲線，dB； 振動加速度基準值：a0=10-6m/s2。振動加速度總級為：

(25)

式中：Li為測點第j個頻率點的振動加速度級， dB；m為頻率點總數。

將時域響應數據進行頻域轉換，得到船體1甲板上6個響應測點在0～10 Hz內三階有限幅波、二階有限幅波和一階有限幅波(微幅波)激勵下的船體波激響應平均振級，測點的頻帶平均總振級見表5。

表5 1甲板6測點平均加速度響應總振級

可見，零航速下(如A-01～A-03工況)，受斜浪和橫浪載荷作用時，船舶振動更為劇烈，總振級較其它兩個工況高出約5 dB；有航速狀態下，船舶高航速時振動更為劇烈(如A～C工況比較)；斜浪航行下，船舶振動普遍較為劇烈，且與海況成正比關系。

根據表5中按不同階次的有限幅波載荷作用下的振動響應計算結果，波浪中的高階成分對船舶激勵具有不可忽略的影響，隨著海情的升高，這種非線性效應表現的更為顯著。例如在D-03、E-03工況中(見圖6)，按微幅波理論與按三階有限幅波理論的總振級計算結果分別相差2.77 dB、5.85 dB。在某些特殊的低海情下，三階有限幅波、二階有限幅波、一階有限幅波加速度響應振級基本相當，有限幅波的高階成分未能顯著激起船舶的非線性振動，所得計算結果與微幅波理論較為接近。因此，在研究高海況下的船舶波激振動時，非線性波激振動問題應予以重視。

圖6 加速度響應振級對比Fig.6 Comparison of acceleration response vibration level

4 結 論

本文從引起波激振動激勵的源頭出發，通過有限幅波理論，在獨立于船型情況下有效地解釋了船舶在波浪中產生高階振動的激勵力來源。對比計算了某雙體船在不同波頻參與激勵下，船體振動響應的差異。可見，在大多數海情下(特別是高海情)，即使船舶總振動固有頻率與波浪頻率相差較大，有限幅波中高階成分亦可對船舶產生高頻激勵，因此，利用有限幅波理論分析船舶高頻振動更具有指導意義。