鎖定狀態下一維可展桁架球鉸連接剛度識別

周李真輝， 曹芝腑， 姜 東,3， 董萼良， 費慶國

(1. 東南大學 空天機械動力學研究所， 南京 211189； 2. 東南大學 工程力學系， 南京 210096；3. 南京林業大學 機械電子工程學院， 南京 210037)

可展開結構廣泛應用于航空、航天等領域[1]，比如可展開天線、一維伸展臂、太陽能帆板[2-5]等。為了實現折疊和展開功能，可展開結構中使用了大量的鉸鏈[6]，其連接剛度對展開鎖定狀態下結構的模態參數具有決定性影響。確定可展開結構球鉸連接剛度，對可展開結構動力學建模與響應預示至關重要。

對于鉸接連接剛度的研究，國內外學者做了很多工作：宋偉力等[7]以動柔度矩陣特征方程為基礎，應用特征方程反問題的方法，由界面位移求得界面內力，由此確定了連接部位的剛度參數；楊炳淵等[8]以太陽電池板間鉸鏈為研究對象，采用特征方程反問題的直接方法結合試驗模態數據，辨識出了鉸鏈副的剛度參數；吳遠波等[9]通過試驗測定鉸鏈機構剛度并將其帶入有限元模型中，然后與試驗結果進行對比，從而確定了鉸鏈機構的等效剛度值；邱麗芳等[10]提出了一種新型平面折展機構柔性鉸鏈，并分別利用等效法和微分法推導出該鉸鏈的兩個等效剛度的計算公式；Li[11]應用降階特征多項式的方法結合結構的固有頻率，辨識出結構的鉸鏈連接剛度，并通過有限元模型進行了驗證；Fasse[12]針對切口鉸鏈，通過有限單元法研究了其六向自由度連接剛度特性；Lobontiu等[13]通過卡式第一定理推導出倒圓角柔性鉸鏈的閉合式的連接剛度等式，并與有限元仿真及試驗結果進行了對比，驗證了連接剛度值的準確性。

動力學模型修正技術目前已經廣泛的應用于參數識別領域。Friswell等[14-17]對設計參數型有限元模型修正的各個方面進行了深入研究，包括修正參數的選擇、修正方程的求解等；費慶國等[18-20]在傳統的應用于線性、低頻的設計參數型模型修正技術的基礎上，結合神經網格及統計學方法，將模型修正技術推廣到非線性領域，且研究了不同目標殘差對于模型修正結果的影響；姜東等[21-22]進一步地將確定性的有限元模型修正技術拓展到考慮不確定性的結構動力學模型修正中。

本文以某一維可展桁架為對象，利用模型修正技術實現了球鉸連接剛度的識別。通過六向剛度彈簧單元模擬鎖定狀態下可展開結構的球鉸連接，用有限元接觸計算的方式獲得其初始的等效六向剛度值，然后利用試驗數據結合動力學模型修正技術對模型進行修正，最終識別出球鉸連接的剛度值。

1 一維可展桁架

本文研究的一維可展桁架由支撐臂、角節點及拉索等部件組成，豎桿兩端通過球鉸與角節點鉸接在一起，其展開單元結構如圖1所示，將若干個展開單元進行組合，得到整體的一維可展桁架。

圖1 一維可展桁架展開單元Fig.1 Single deployable mast

1.1 可展桁架球鉸連接及其鎖定狀態

球鉸連接模型如圖2所示。球鉸機構集活動機構副功能與連接功能于一體，間隙、滑移和彈性接觸等諸多因素將導致鉸鏈剛度具有一定的非線性。非線性與連接緊密程度等相關，表現為與載荷幅值、頻率的相關性，在理論分析、數值計算上存在難度。本文研究自由振動狀態下，適用于工程應用的鉸鏈連接剛度識別方法。

圖2 球鉸連接模型Fig.2 Spherical hinge model

圖1給出了展開單元的組成部件及展開過程，由于拉索及球鉸等的同時存在，增加了結構動力學分析的復雜性。考慮到本文研究的重點是可展開結構的球鉸連接剛度值，而球鉸剛度主要影響的是展開鎖定狀態下的可展開結構的動力學特性，因此對圖1中上部的4個兩側角節點進行鏡像處理，如圖3所示，這樣上下兩層的角節點安裝后的開口角度就變成一致的，導致豎桿無法在上下球鉸端形成相反的可轉動方向，即可實現結構自鎖定，本文研究中不考慮拉索、驅動裝置等，如圖4所示為展開鎖定狀態。

1.2 連接剛度

圖5是鎖定狀態下的展開單元簡化示意圖，豎桿H與上下剛性平面G之間通過球鉸連接，將單個球鉸簡化為具有6向剛度的彈簧連接元[8,23]，其位移矢量為:

{δ}e=[uvwθuθvθw]

(1)

作用在連接元節點上的力矢量為：

{P}e=[pupvpwpθupθvpθw]

(2)

圖3 角節點鏡像處理Fig.3 The symmetry processing of corner node

圖4 簡化型可展開結構Fig.4 Simplified single deployabletruss

圖5 結構簡化示意圖Fig.5 Sketch map of simplified structure

可以將連接元視為通過3個拉壓彈簧以及3個轉角彈簧連接對應的兩個部件的6對自由度。彈簧的剛度分別為ku、kv、kw、kθu、kθv、kθw。

設上述彈簧為線性彈簧，則節點力和節點位移有如下關系：

{P}e=[K]e{δ}e

(3)

式中:[K]e為連接元的單元剛度矩陣，如式(4)。顯然，矩陣[K]e的第j列元素應等于{δ}e中第j個分量為1，其余分量為0時的力矢量{Pj}e。因此，分別令{δ}e中的某一分量為1，其余分量為0，列出位移方程和平衡方程，即可解出對應{Pj}e，即[K]e的對應各列元素。

(4)

2 展開結構單元模態試驗

吳遠波等提出了一種試驗直接測量太陽電池鉸鏈機構剛度的方法，但是需要設計專門的夾持及測量裝置，實施起來有一定的難度。本文選用錘擊法測量展開單元的模態參數，并基于此對有限元模型進行模型修正，從而獲得準確的球鉸連接剛度值。

對于一維可展桁架球鉸這樣比較復雜的系統來說，直接測量和識別其動剛度是很困難的，工程應用中一般要做進一步的簡化。此外，可展開結構主要的工作狀態是處于球鉸鎖定的情況下，其頻率也主要由球鉸鎖定后的剛度決定，因此本文針對可展開結構在展開鎖定時的球鉸連接剛度進行識別研究。可展開結構展開單元在鎖定狀態下的錘擊模態試驗布置方案如圖6所示。利用彈性繩將結構懸吊以模擬自由狀態，選擇單點拾振法進行測量。利用仿真預分析，最終選取了16個激振點，其中第9號點為拾振點，激勵及測量方向均為Y向。采用數據采集及分析系統對16個激振點的振動響應進行采集和頻響分析，識別得到展開單元在鎖定狀態下的前5階固有頻率如表1所示。

圖6 試驗布置圖Fig.6 Experimental arrangement

模態階次12345固有頻率/Hz26.2333.8791.04102.76234.41

3 球鉸剛度識別及結果驗證

利用有限元模型修正技術對球鉸連接剛度進行識別。首先建立可展開結構展開單元的精細化有限元模型，根據剛度定義，利用接觸分析獲得六向剛度初值。然后，將初值帶入展開單元的參數化有限元模型，結合自由模態試驗數據進行模型修正，識別鉸鏈連接剛度值。最后，利用三個展開單元組成的可展開結構的參數化模型進行識別結果的驗證與確認。具體流程如圖7所示。

圖7 連接剛度識別流程圖Fig.7 Flow chart of identification of connection stiffness

3.1 球鉸剛度初值

使用六向剛度彈簧單元模擬可展開結構球鉸連接，利用有限元接觸分析的方式獲得其初始的剛度值。采用實體單元建立展開單元精細化有限元模型，如圖8所示。

圖8 可展開結構單元精細有限元模型Fig.8 Elaborate FEM of single deployable mast

考慮到可展開結構的對稱性及計算效率，有限元接觸分析時只考慮1/8整體結構，將豎桿球鉸端與角節點連接處定義為接觸，如圖9所示，其余部分采用節點重合的方式進行有限元建模。忽略球鉸動剛度中與頻率的相關項，僅研究其靜剛度。令球鉸沿給定方向(x,y,z,θx，θy，θz)發生位移，利用接觸分析獲得相應節點的接觸反力，兩者的比值即為該向的初始剛度值。圖10表示的是球鉸端繞x軸轉動一定角度的簡單示意圖，將1點固定，同時使2點沿y向產生給定位移，此時，相當于繞x軸轉動單位角度θ=1°，同時，3點會產生相應的反力f。因此，K4的值可由式(5)獲得。同理，有限元接觸分析得到的六向剛度值，如表2示。

K4=f×H/θ

(5)

圖9 1/8精細化有限元模型Fig.9 Eighth elaborate FEM of single deployable truss

圖10 繞x軸轉動示意圖Fig.10 The sketch map of x-rotation

K1/(N·m-1)K2/(N·m-1)K3/(N·m-1)K4/(N·m·rad-1)K5/(N·m·rad-1)K6/(N·m·rad-1)初始值6.4×1066.2×1066.2×106376.4331.10

3.2 參數識別

采用模型修正方法進行鉸鏈剛度識別。模型修正實質上是一個結構優化的反問題，包含了優化設計中的三個要素：設計變量、目標函數和約束條件。設計變量是表征設計的一組可選擇的參數。假設結構的有限元模型共有n個設計參數，其中前m個為待修正的參數，則設計變量可以表示為[24]：

(6)

式中：En表示n維歐氏空間。

結構的總體剛度陣和質量陣可以用設計變量p的函數表達：

(7)

對應的特征量可以表示為設計變量的函數：

f=F(K,M)=F(fk(p),fM(p))=fp(p)

(8)

式中：f可以是任意的特征量，如模態頻率、模態振型等，或者它們之間的組合。至此，模型修正問題就轉化為如下的優化問題：

min‖WfR(p)‖2,R(p)={fe}-{fp(p)}

s.tVLB≤p≤VUB

(9)

式中：fe和fp(p)分別代表結構動態特性的試驗值與分析值；R(p)稱之為殘差項；VLB、VUB分別代表結構設計變量變化的上下限；Wf代表結構各個特征量之間的加權矩陣。

一般地，fp(p)為設計變量的非線性函數。為了將非線性的問題轉化為線性問題，在初始設計點將fp(p)展開成待修正參數的一階泰勒表達式：

fp(p)=fp(p0)+SΔp

(10)

式中：po是設計參數初始的大小。

(11)

代表特征量對設計參數的靈敏度矩陣。Δp=p-po代表設計變量的誤差。

利用拉格朗日乘數法，可將修正問題轉化為如下的線性問題：

WfSΔp=Wf(fe-fp(p0))

(12)

式(12)就是常見的模型修正方程，且是一個迭代優化的過程。本文模型修正選取的待修正設計變量即為球鉸連接的六向剛度值，特征量為模態頻率，目標函數是試驗頻率與仿真頻率殘差值最小。

由上節的接觸分析得到了球鉸的初始連接剛度值，但是因為仿真模型與真實結構之間存在誤差，導致連接剛度值與真值之間有偏差，因此需要通過模型修正技術對有限元模型進行修正。選用梁單元建立可展開結構的簡化模型，如圖11所示，同時在8個角端使用六向剛度彈簧單元進行連接，將上節得到的剛度值作為修正初值。由于簡易有限元模型已經忽略了實際結構角端的幾何特征了，因此必須得在8個角端加上集中質量，同時，由于結構本身的重量較輕，仿真時，試驗測量時使用的單向加速度傳感器的質量不能忽略，在與實際測量相對應的246節點處額外添加集中質量。表3給出了模型的部分材料屬性及幾何參數。

圖11 簡化有限元模型Fig.11 Simplified FEM of single deployable mast

名稱數值長寬高0.297 m×0.297 m×0.276 m集中質量0.046 kg/0.093 kg密度2840.82 kg/m3彈性模量6.89×1010Pa

分析上節有限元接觸分析的結果可以發現，球鉸連接的三個平動剛度的值相差不大，因此在修正中可以選為一個參數Ke=K1=K2=K3進行修正，同時注意到K6的接觸分析計算值為0，但是將這個值作為初值帶入有限元模型中會導致計算錯誤，因此，可將K6剛度值取為1作為修正初值。最終，本文的參數識別使用了5階固有頻率及對應振型，同時選擇了4項待修正參數。修正參數變化率，如圖12所示。

圖12 修正參數變化率Fig.12 Rate of corrected parameters changing

圖12中：Ke是對應于x，y，z三個方向的等效平動剛度值，K4、K5、K6是分別對應于x，y，z三個方向的轉動剛度值。修正前后的參數值如表4所示，可以看到，有限元接觸分析得到的連接剛度值是不夠準確的，三個平動的剛度值較低，而轉動剛度值較高。觀察修正結果,K4、K5的值基本相同，而K6的值趨近于0，這與實際結構中，展開單元是關于Z軸對稱的，且球鉸繞Z軸的轉動不受約束的實際情況是相符的。修正前后固有頻率誤差率變化和固有頻率值如圖13和表5所示。

表4 修正前后修正參數值Tab.4 Parameters before and after model updating

圖13 固有頻率變化率Fig.13 Rate of natural frequency changing

試驗值/Hz修正前/Hz誤差率/%修正后/Hz誤差率/%126.2329.4512.2826.972.82233.8735.554.9632.66-3.57391.0490.42-0.6888.81-2.454102.76104.161.36101.96-0.785234.41245.964.93239.232.06

圖14 修正后振型匹配圖(試驗振型—，仿真振型—·—)Fig.14 Match of vibration mode after model updating(experimental vibration mode—,simulated vibration mode—·—)

圖14給出了修正后振型與實際振型的匹配結果。由圖13觀察曲線變化可知，迭代25次以后，所有的曲線變化趨于平穩，說明修正的結果收斂，由表5可知，修正后的結構的固有頻率與試驗實測值之間的誤差都在4%以內，考慮到用梁單元建模時簡化了很多實際結構的幾何特征以及試驗測量的偶然誤差，這個誤差率是可以接受的。同時，觀察圖14可以發現，修正后的結構的振型與試驗測得結果也吻合的較好。

3.3 結果驗證

為了驗證球鉸連接剛度識別值的準確性，將修正后的剛度值帶入由三個可展單元組成的一維可展桁架的簡化有限元模型中，計算結構固有頻率，并與試驗值進行對比。其中三個單元的自由模態試驗如圖15所示。激勵方式及測量方向與一個單元相同，是Y向。

圖15 三單元模態試驗Fig.15 Model test of three bays

表6和圖16分別表示固有頻率匹配結果和振型匹配結果，由表6可以看到，將修正后的剛度值帶入三個單元的有限元模型中，仿真獲得的固有頻率與試驗實測值之間的誤差在7%左右，圖16所示為三單元可展開桁架結構試驗與分析模態振型匹配圖，可以看到仿真與試驗的振型的匹配結果很好。注意到，相比于一個展開單元，三個單元角節點處的連接形式更為復雜，而使用梁單元建立的有限元模型中，僅考慮了質量上匹配，卻忽略了連接處幾何特征的影響，建模誤差和試驗誤差的累計，導致三個單元結構頻率的誤差大于單個展開單元。

表6 固有頻率匹配結果Tab.6 Match of natural frequencies

4 結 論

(1)本文通過六向剛度彈簧單元對鎖定狀態下的一維可展桁架球鉸連接進行的線性等效處理，并結合動力學模型修正技術對球鉸連接剛度進行識別，可以得出以下結論：經過有限元接觸分析計算，可以獲得球鉸連接剛度的有效初值，為球鉸連接剛度的準確識別及物理意義分析提供了參考。

(2)展開單元的修正結果顯示K4與K5的值基本相同，而K6的值趨近于0，這與本文研究的單榀可展開結構是中心對稱，且球鉸繞Z軸的轉動不受約束的實際物理意義相符。

圖16 振型匹配結果圖(試驗振型—，仿真振型—·—)Fig.16 Match of vibration mode of three deployable masts(experimental vibration mode—,simulated vibration mode—·—)

(3)采用結構動力學模型修正技術并結合模態試驗數據，識別了展開單元的連接剛度，并利用三單元可展桁架結構對識別結果進行驗證，結果表明本文方法得到的識別剛度具有較高的準確性。