劉基余，陳小明

（武漢大學測繪學院，武漢 430079）

整周模糊度的正確求解，是用GNSS載波相位測量進行高精度動態(tài)定位的關鍵問題。一旦正確解算出整周模糊度，載波相位觀測值即可轉換為高精度的站星距離測量值，進而實現(xiàn)厘米級精度的動態(tài)定位。本文以GPS載波相位測量動態(tài)定位為例，論述整周模糊度的在航解算。

在連續(xù)跟蹤而無周跳的情況下，一次衛(wèi)星通過的載波相位觀測值，均含有相同的初始整周模糊度Nj。為了正確解算出這個整周模糊度，在傳統(tǒng)的GPS 載波相位測量動態(tài)定位中，往往采用在動態(tài)定位之前進行一段時間的靜態(tài)測量或者在已知基線上進行短時間的靜態(tài)測量，稱之為靜態(tài)初始化測量。1985 年，美國學者Remondi提出了一種天線交換的方法來解求初始整周模糊度；這種方法既無需在已知基線上開始動態(tài)測量，又無需進行較長時間的靜態(tài)測量，只需在基準站附近（3～5m）選擇一個臨時測站，分別架設GPS信號接收機，而采集幾個時元的靜態(tài)測量數據；然后在基準站和臨時測站之間進行天線交換，再采集幾個時元的靜態(tài)測量數據；最后再將GPS信號接收天線交換回到原測站上去。這種天線交換法，實施簡單，且軟件設計又不復雜，而廣泛用于傳統(tǒng)的高精度動態(tài)定位。

無論是靜態(tài)初始化測量，還是天線交換法，都是利用動態(tài)定位實施之前的測量數據來確定整周模糊度；即在動態(tài)定位之前，正確解算出整周模糊度，并依據無周跳時整周模糊度的不變特性，方能用后續(xù)的GPS載波相位觀測值，進行高精度的動態(tài)定位解算。上述天線交換等方法，顯然難以適用海上的動態(tài)定位以及飛機的精密進場著陸等許多動態(tài)應用場合。此外，即使可以在動態(tài)定位之前采用上述方法確定整周模糊度，但是，因動態(tài)定位環(huán)境的復雜性，失鎖和周跳實在難以避免。一旦在GPS動態(tài)定位過程中出現(xiàn)失鎖和周跳，以致某一時間段內連續(xù)跟蹤的GPS衛(wèi)星數少于4顆，即使后來又重新鎖定4顆以上的GPS衛(wèi)星，重新鎖定后的衛(wèi)星整周模糊度仍無法解求，而導致動態(tài)定位精度的降低。

為了實現(xiàn)連續(xù)而可靠的高精度GPS動態(tài)定位，近年來國內外學者開始著手研究在動態(tài)定位過程中正確解算整周模糊度的方法，稱之為整周模糊度的在航解算（Ambiguity Resolution On the Fly），簡稱OTF法或AROF法，并取得了豐碩的研究成果，導出了多種OTF解算方法。許多文獻也介紹了一些OTF方法；但這些OTF方法可綜合劃分為如下四類：雙頻P碼偽距法；模糊度函數法；最小二乘搜索法；模糊度協(xié)方差法。

1 雙頻P碼偽距法

最簡單的整周模糊度求解方法是直接利用偽距觀測量來確定載波相位的整周模糊度。依前述，L1-P/L2-P的雙頻偽距觀測值構成的寬巷和窄巷偽距觀測值分別為

式中，下標d，a，1，2分別表示寬巷、窄巷、L1、L2；λ為波長；P為偽距；I12為電離層延遲；ρ*為包括所有與頻率無關誤差的距離項。

L1/L2雙頻載波相位測量值構成的寬巷和窄巷觀測值分別為

式中，Φ表示載波相位測量值；N表示整周模糊度，其他各項意義同前。

比較式（2）和式（3），可以發(fā)現(xiàn)兩式右端相同，將兩式相減并取多時元觀測值的平均，且取為最接近的整數，可以得到寬巷載波相位測量的整周模糊度：

由于寬巷載波相位觀測量的波長為86cm，而現(xiàn)代的P（Y）碼接收機偽距測量精度至少具有亞米級，因此只需要少數時元的觀測值平滑，即可確定Nd。此外，由于式（2）和式（3）中電離層延遲大小，符號均相同，即使進行長時間平滑也不會引入因電離延遲所引起的誤差。

當基準站和流動站之間距離較近時，可以認為差分電離層延遲近似為零，此時可以直接用Φd+Nd來解求窄巷載波相位測量整周模糊度，同樣采用多時元觀測值的平均，且取最接近整數的形式：

式（6）在基準站和流動站之間距離較遠或電離層較活躍，差分電離層延遲較顯著時不適用。此時Na可由式（1）和式（4）相減，并取多時元觀測值的平均，且取最接近整數而得到

對于一些可以減少多路徑效應的新型GPS信號接收機，利用10～15分鐘的觀測值由式（7）可以確定窄巷載波相位測量整周模糊度；若已經確定寬巷整周模糊度，則根據寬巷、窄巷整周模糊度的同奇、同偶的特性，確定窄巷整周模糊度的有效波長將擴大一倍，反之亦然。根據這一關系，德國學者Wubbena博士提出了所謂的超寬巷技術（Extra Widelaning）。

在確定Nd，Na后，可以求得L1/L2觀測值Φ1/Φ2的整周模糊度：

雙頻P碼偽距法的優(yōu)點在于只需利衛(wèi)星的觀測數據且與其他衛(wèi)星無關，計算十分簡單，當采用式（6）和式（7）分別計算Nd和Na時，整周模糊度的求解與測站站間距離無關，可用于數千公里相對定位的整周模糊度求解。其基本要求是，需要高精度的雙頻偽距觀測量；當21世紀初葉GPS現(xiàn)代化后，這對廣大GPS用戶是不難達到的。

2 模糊度函數法

模糊度函數最早由美國學者Couselman教授于1981年提出，其后又由美國Remondi博士于1984年引入靜態(tài)定位的數據處理。Remondi博士（1991）和Mader（1992）博士最早將這種方法用于在航模糊度解算。

模糊度函數定義為：

式中，k表示時元數；j為每個時元同步觀測的GPS衛(wèi)星數；l是觀測所用頻率個數；是動態(tài)測站正確位置為（X0Y0Z0）處的載波相位測量雙差觀測值；是由某一個檢測點（XYZ）計算出來的載波相位測量雙差計算值。對于單個頻率、單個雙差和單個觀測時元，在為0或整周數時，模糊度函數具有最大值1。該最大值出現(xiàn)在檢測點X，Y，Z=XO，YO，ZO（假設衛(wèi)星軌道誤差及其他傳播延遲誤差、量測誤差等均為零）以及為整周數的檢測點處。顯然，對于單時元和單頻率的單個雙差觀測值對應的模糊度函數最大值為1的檢測點不是惟一的。為了克服這一現(xiàn)象，對于每個檢測點都應利用來自所有觀測的衛(wèi)星，不同的觀測頻率以及不同的觀測時元的雙差載波相位觀測值組合起來計算該點的模糊度函數值。正如式（9）所示，當有足夠多的、來源不同的觀測量組合起來，則除了在正確動態(tài)站位置（X0，Y0，Z0）處，模糊度函數值仍始終保持最大值外，在其他的檢測點上出現(xiàn)最大值的現(xiàn)象將逐個消失。

圖1表示模糊度函數法的解算原理；它主要依如下三步確定整周模糊度：

2.1 估計整周模糊度的初始值

現(xiàn)代的GPS信號接收機，都能在作載波相位測量的同時，用偽噪聲碼進行偽距測量。特別是2005 年開始發(fā)射的新型GPS衛(wèi)星，都將增設第三個民用導航定位信號；以致GPS衛(wèi)星的第一、第二和第三用導航定位信號的載波頻率分別為

圖1 GPS載波相位測量整周模糊度的在航解算原理圖

fL1=1575.42MHz，

fL2=1227.60MHz，

fL5=1176.45MHz。

當用調制在上列三個載波上的一個偽噪聲碼測得三個偽距（PL1、PL2和PL5）時，則可按下列算式求得載波相位測量整周模糊度的初始值（Ni0）：

式中，N10、N20和N30分別表示第一、二、三載波

（L1，L2，L5）的整周模糊度的初始值。當考慮到

f1=1575.42HMz，f2=1227.60HMz和f5=1176.45HMz

時，算得A12=4.09145556，A15=3.52120865，A25=23.51063819

B12=3.96736797，B15=3.37622724，B25=23.48936160

故可按所測得的偽距PL1、PL2、PL5和上列AB系數算得三個整周模糊度的初始值。由此種方法求得的整周模糊度的初始值，比按現(xiàn)行雙頻觀測值求得的整周模糊度的初始值要更接近整周模糊度的正確值，而可縮小整周模糊度的搜索區(qū)間，大大加速解算整周模糊度正確值的速度，這可為高動態(tài)環(huán)境下應用GPS載波相位測量創(chuàng)造了很好的工作基礎。

搜索空間是以初始點位為中心的一個三維坐標探索區(qū)域，其邊長可選擇為固定邊長（例如2m）或以初始定位解的精度為指標（例如3倍中誤差）確定。

2.2 搜索整周模糊度的可能解

為了提高搜索速度，一般以分級方式進行搜索：

第一步首先將搜索空間劃分為較粗的網格，為了不至于因網格較粗而丟失正確點，網格邊長一般選為0.1λ量級即波長的0.1倍量級。然后對于每個網格點分別計算模糊度函數值，計算可采用式（9）進行，實用中一般僅計算式中的實數值部分，即余弦項；而且，往往采用標準化模糊度函數：

標準化模糊度函數的數值在[0，1]區(qū)間內。若在搜索過程中某一網格點處的標準化模糊度函數的數值大于某一限值，即NA（X，Y，Z）＞T1（T1一般選擇為0.85-0.95）之間，則將該網格點存入臨時文件，以便在后續(xù)處理中進行進一步搜索。

在第一步搜索后，可能存在多個NA（X，Y，Z）＞T1的網格點，此時需進行第二步搜索。第二步中以第一步中NA（X，Y，Z）＞T1的網格點為中心重新建立較小的搜索空間，其邊長選為第一步搜索中網格的邊長，然后再劃分為較小的網格，網格的邊長選為0.01λ量級，對網格格點按式（11）計算標準化模糊度函數值，并保存NA（X，Y，Z）＞T2（T2一般選擇為0.95-0.99之間）的網格格點及其NA值。注意在該步中對于每一個小搜索區(qū)間只需保存一個NA值最大的網點。

2.3 確定整周模糊度的最佳解

若在上一步中得到惟一的NA（X，Y，Z）＞T2的檢測點，則以該點的坐標反求各雙差模糊度，并取整為整數值即可。若有多個NA（X，Y，Z）＞T2的檢測點，則說明數據量不夠，不足以將正確模糊區(qū)分出來，必須增加計算時元數，直到只有1個NA（X，Y，Z）＞T2的檢測點為止。值得注意的是當某一時元數據不足以確定出最大模糊度函數值的點，需要下一時元的觀測數據時，應精確地考慮到時元間天線的移動量，以便將搜索區(qū)域相應地移動。

美國學者Mader（1992）的研究表明，利用單時元的雙頻觀測值，必須同步觀測七到八顆GPS衛(wèi)星，才即可求得整周模糊度；若用單頻觀測值，則至少需要兩個時元的觀測數據。這一成果有些過于理想化，在實際的動態(tài)定位中，由于各種誤差源的影響，所需時元數往往要多一些。

模糊度函數法的優(yōu)點在于它不直接依賴偽距觀測量，對于靜態(tài)定位或單個時元的解算，不敏感于周跳否。它的缺點在于計算時間較長，難以適用于實時動態(tài)定位；這可從表1所示的搜索快慢比較予以證實。

表1 幾種搜索方法的搜索快慢比較

從表1可見，Cholesky搜索法具有6.8E+8個整周模糊度的侯選組，需要最大的搜索空間，其搜索速度最慢；Teunissen搜索法僅具有978個整周模糊度的侯選組，只需最小的搜索空間，其搜索速度最快。

3 最小二乘搜索法

最小二乘搜索法，是由美國學者Hatch博士于1989年最早提出的。這一方法的基本思想是，在所有的雙差載波相位整周模糊度中，只有三個是獨立的，即，只要能夠確定三個雙差載波相位整周模糊度，其他的雙差載波相位整周模糊度就可以惟一確定。最小二乘搜索法可分為下述三個步驟：

（1）確定未知的初始坐標并建立整周模糊度搜索空間。未知點的初始坐標可采用偽距雙差觀測量采用最小二乘法計算得到。在求得未知點的初始坐標后，即可以偽距差分解的精度作為指標（一般取為各坐標分量的三倍標準差）建立一個三維坐標搜索空間，用空間的八個頂點坐標和選擇的三個基本雙差載波相位觀測量，分別計算出相應的整周模糊度初值，然后，根據每一個計算得到的整周模糊度初始值，確定這三個雙差載波相位整周模糊度參數各自的最大整數值和最小整數值。在這一搜索空間中需要檢測的整周模糊度組合總數為

（2）最小二乘搜索。最小二乘搜索的步驟為：

①從模糊度搜索空間中選取一組待檢測的整周模糊度（稱為基本模糊度組），利用相應的三個雙差載波相位整周觀測量計算出動態(tài)點位坐標。

②利用求得的動態(tài)點位坐標計算其他雙差載波相位整周模糊度（稱為剩余模糊度組）。

③根據①、②中得到的雙差載波相位整周模糊度，利用該時元所有的雙差載波相位觀測值再次進行最小二乘解算得到動態(tài)點位坐標及相應的殘差向量V。④計算方差因子

式中，V為觀測值殘差向量；C為雙差載波相位觀測值的協(xié)因素陣；n為載波相位測量雙差觀測值的個數；u為未知數的個數，這里u=3。

⑤重復①～④，直到檢測完所有的整周模糊度組合。

（3）固定整周模糊度。若某時元進行第②步搜索后，僅剩下一組整周模糊度參數，則該組整周模糊度為正確整周模糊度；否則，對結果文件中保存的進行Ration檢驗。

若Ration大于某一限值（一般取為大于2的常數），則認最小值所對應的整周模糊度參數組為正確的整周模糊度；否則，還需利用下一時元的數據對剩下的整周模糊度組進行最小二乘搜索，直到剩下惟一的一組或Ratio大于某一限值為止。

在這一方法的基礎上，印度尼西亞學者Abidin博士于1992年提出了集成OTF方法（Integral OTF）。最小值所對應的整周模糊度參數組為正確的整周模糊度；否則，還需利用下一時元的數據對剩下的整周模糊度組進行最小二乘搜索，直到剩下惟一的一組或Ratio大于某一限值為止。

在這一方法的基礎上，印度尼西亞學者Abidin博士于1992年提出了集成OTF方法（Integral OTF）。

采用橢球搜索空間，無論在初始整周模糊度組的數量和搜索所需要的計算時間，還是搜索正確整周模糊度組所需的觀測時元數，都比立方體搜索空間要少。

集成OTF還設計一套理論嚴密和高效的搜索算法，包括8項檢驗：檢驗點坐標與由偽噪聲碼偽距計算得到的坐標之間的相容性檢驗；閉合差向量的L1范數檢驗；檢驗點坐標與更新后坐標之間的相容性檢驗；殘差的L1范數檢驗；殘差二次型的檢驗；單個模糊度函數值的檢驗；標準化模糊度函數值的檢驗；RATIO檢驗。各項檢驗從前到后越來越嚴格，逐步將搜索空間中不正確的整周模糊度組刪除，有利于減少OTF解算所需的時元數。

最小二乘搜索法和集成OTF，都采用了基本整周模糊度組的思想。這一思想有助于減少整周模糊度搜索空間中整周模糊度組合的數量，提高搜索效率，不少文獻中也給出了許多成功的算例。但它們也存在一些問題，首先基本衛(wèi)星組的選擇是至關重要的，為了減少基本待定整周模糊度組的數量，提高計算效率，同時兼顧采用基本衛(wèi)星組的四顆衛(wèi)星進行定位解算，能有較高的精度，以此保證剩余雙差載波相位整周模糊度能夠正確解算出來，選作基本衛(wèi)星組的四顆衛(wèi)星的PDOP值應適中，不能太大，也不能太小。事實上，選用不同的基本衛(wèi)星組，計算效率的差異是很大的。因而如何選擇基本衛(wèi)星組，是OTF解算面臨的一個首要難題。其次，如果在搜索過程中，基本衛(wèi)星組中某一顆衛(wèi)星出現(xiàn)失鎖，則前面的搜索工作都將作廢，必需重新構造搜索空間，新構衛(wèi)星組中的衛(wèi)星出現(xiàn)周跳，而這一周跳又未能探測出來，則極有可能導致最后搜索到的整周模糊度數值是錯誤的。另外，采用最小二乘搜索法或集成OTF方法，除第一個搜索時元檢測搜索空間中所有整周模糊度組外，后續(xù)時元均只對前一時元中通過各項檢驗的整周模糊度進行檢驗，這樣做雖然提高了計算效率，但若某一時元中某一觀測值有較大的誤差，則極有可能使正確整周模糊度組被某一檢驗項所拒絕，從而導致搜索失敗，或者所求得的整周模糊度是錯誤的。

4 模糊度協(xié)方差法

模糊度協(xié)方差法，并不是指一種特定的OTF方法，而是一類OTF方法的總稱。這一類OTF方法，有著共同的特點，亦即將模糊度參數作為未知數向量的一部分，利用所有可用的觀測值一起進行平差處理，從而獲得表征模糊度參數間相關關系的模糊度協(xié)方差陣。此時，正確整周模糊度的搜索過程，實際上，是尋找使殘差平方和最小的整周模糊度組合的問題。

模糊度協(xié)方差法，可以用混合整數最小二乘估計來描述。設時元K的雙差載波相位測量值，可用如下線性模型表述：

式中，Yk為時元K的雙差載波相位觀測值減去計算值向量；Xk為時元K流動站天線位置的改正數向量（實數）；N為雙差載波相位整周模糊度向量（整數）；Ak，BK分別為XK，N的設計矩陣；εK為量測噪聲；Zn為n維整數空間，Rm為m維實數空間。式（16）的最小二乘估計準則為

這是一個附有約束條件的高斯-可馬爾可夫模型。在式（18）和式（19）中，整周模糊度參數N將首先為實數變量進行估計，并將進一步由約束條件式（19）固定為整數。當采用約束條件（18）求解線性模型（19）時，最小化準則為

若D=1，則

最小二乘法則式（21）與最小二乘準則式（17）是等價的。根據式（21），混合整數最小化問題式（17），可以分解為下列兩步求解：第一步，首先對式（17）進行無約束最小二乘平差，則有

第二步，模糊度參數的整數值可由以下最小化問題解決

若假設各時元觀測數據不相關，與單時元求解類似，可分下列兩步解算出整周模糊度：

第一步，整周模糊度參數N及未知數X的實數估值由以下最小二乘準則估計

第二步，根據第一步求得的整周模糊度實數估值!N和整周模糊度參數的整數全局解，由求解下述最小化問題得到

模糊度協(xié)方差法的基本思想如上所述。由此看來，正確整周模糊度的搜索過程，實質上是使式（27）或式（23）最小化的過程。

在這一類OTF方法中，瑞士學者Frei博士和Beut ler博士于1990年提出的用于快速靜態(tài)定位整周模糊度解算的“FARA”（Fas t Ambig uit y Resolut ion Approach），被認為是最早的模糊度協(xié)方差方法。其后又出現(xiàn)了一些可用于動態(tài)定位的模糊度協(xié)方差方法。這些方法在搜索空間的定義以及加速搜索計算速度方面都取得了較大的成功；其中比較著名的方法有：優(yōu)化Cholesky 分解算法，F(xiàn)ASF（Fast Ambiguit Search Filter）方法，LAMBDA（IEAST Squa re AMBig ui t y Decor relation Adjus tment）方法。其他的方法還有：直接整周模糊搜索DIAS（Di rect Intege r Ambiguity Search）方法以及基因法等。綜用諸家之長，我們于1996年研究成功了基于卡爾曼濾波理論的DDKIN-OTF數據處理軟件，用它精細地處理了100余飛行架次的機載GPS動態(tài)載波相位測量數據，精確地解算出10種飛機的在航點位；表2是解算成果之例；圖2為DDKIN-OTF解算法與常規(guī)解算法的三維坐標較差之例。

表2 DDKIN-OTF軟件解算出的飛機的在航點位之例（1997年3月6日于中越陸地邊界地區(qū)的機載GPS動態(tài)載波相位測量）

圖2 DDKIN-OTF解算法與常規(guī)解算法的三維坐標較差

各種模糊度協(xié)方差方法的優(yōu)點，在于它們都以“近似最優(yōu)”的方式應用所有的觀測信息，因此，往往只需要最少的搜索時元來確定正確的整周模糊度。此外，由于初始整周模糊度的實數估計及其協(xié)方差陣，采用序貫最小二乘法或卡爾曼濾波解求，且每一時元均對搜索空間中所有的整周模糊度組合進行檢驗，因此不會因極個別時元的個別衛(wèi)星的載波相位觀測值噪聲稍大而拒絕正確的整周模糊度組。當然，這一類方法也有其缺點，即當整周模糊度搜索失敗時，難以確定導致失敗的原因。例如，由于偽距和載波相位測量的統(tǒng)計特性是先驗給定的，如果偽距測量噪聲比正常噪聲大得多，整周模糊度搜索則有可能失敗。而且，由于在解算過程中所有的偽距和載波相位觀測值是混合在一起而共同求解的，因此難于確定導致搜索失敗的具體原因，但是，模糊度協(xié)方差法，仍可認為是最佳的OTF方法，至少對短距離的應用是如此的。■