2017年高考函數零點試題分類解析

劉金勇　劉成龍

函數零點是函數的重要組成部分，是高考考查的熱點內容.函數零點問題主要涉及函數、導數、不等式等知識，對學生數學抽象、邏輯推理能力要求較高.該類試題往往還蘊含豐富的數學思想.比如：數形結合思想、化歸思想等.同時，函數零點、方程的根與函數圖像的交點問題是數學上的“孿生兄弟”.函數零點的表征形式除函數外，還有方程和圖像交點的視角.因此，函數零點的高考命題視角較寬.本文擬對2017年高考中的函數零點試題進行分類解析.

類型一：求函數零點個數

【例1】 （2017年江蘇卷理14）設[f（x）]是定義在[R]上且周期為1的函數，在區間[[0 ，1）]上[f（x）=x2，x∈Dx，x?D]，其中集合[D=x|x=n-1n，n∈N*]，則方程[f（x）-lgx=0]的解的個數是 .

解： 因在區間[[0，1）]上[f（x）=x2，x∈Dx，x?D]，第一段函數上的點的橫、縱坐標均為有理數，又[f（x）]是定義在[R]上且周期為1的函數，所以在區間[1，2]上，[f（x）=（x-1）2，x∈Dx-1，x?D]，此時，[f（x）]的圖像與[y=lgx]有且只有一個交點；同理，在區間[2，3]、[3，4]、[4，5]、[5，6]、[6，7]、[7，8]、[8，9]上，[f（x）]的圖像與[y=lgx]有且只有各一個交點，共8個，如圖1所示.在區間[9，+∞]上，[f（x）]的圖像與[y=lgx]無交點，故[f（x）]的圖像與[y=lgx]有8個交點，即方程[f（x）-lgx=0]的解的個數是8.

【評注】2017年高考直接求函數零點個數的試題沒有，而是以方程解的個數方式呈現.解答本例的關鍵是在理解題意的基礎上，畫出兩個函數的大致圖像.本例考查了學生繪圖、識圖、用圖的能力.

類型二： 已知函數零點個數求參數范圍（或值）

【例2】 （2017年全國卷Ⅲ理11）已知函數[f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）]有唯一零點，則[a]的值為（ ）.

A. [-12] B. [13] C. [12] D. [1]

解： 因為[f（2-x）=f（x）]，所以[f（x）]的對稱軸為[x=1].又因為[f（x）]有唯一零點，所以零點只能為[x=1]，即[f（1）=-1+2a=0]，解得[a=12].

【評注】本例的解答方法很多.比如：求導法、放縮法等.上述解法抓住“[f（x）]關于[x=1]對稱，且零點唯一”這一要點，減少了煩瑣的運算，實現了真正意義上的“多想少算”.

【例3】 （2017年山東卷理10）已知當[x∈[0，1]]時，函數[y=（mx-1）2]的圖像與[y=x+m]的圖像有且只有一個交點，則正實數[m]的取值范圍是（ ）.

A. [（0，1]?[23，+∞）] B. [（0，1]?[3，+∞）]

C.[ （0，2]?[23，+∞）] D.[ 0，2?3，+∞]

解：[y=（mx-1）2=][m2（x-1m）2]的圖像可以看成[y=x2]圖像縱坐標不變，橫坐標向右平移[1m]個單位；橫坐標不變，縱坐標變為[m2]倍.[y=x+m]的圖像可以看成[y=x]向上平移[m]個單位.

[①]若[0

[②]若[m>1]，則[y=（mx-1）2]和[y=x+m]的大致圖像如圖3所示，為使[y=（mx-1）2]和[y=x+m]的圖像在[x∈[0，1]]上有且只有一個交點，需要[（m-1）2≥1+m]，即[m2-3m≥0]，解得[m≤0]或[m≥3]，所以[m≥3].

綜上所述，[m∈][（0，1]?[3，+∞）].

【評注】解答本例的關鍵是對分類標準中臨界位置[m=1]的識別.事實上，[x=0]時，有[y=1]和[y=m]，可以看出[m=1]時，兩函數剛好有交點.

類型三： 已知函數零點分布證明不等式

【例4】 （2017年天津卷理20）設[a∈Z]，已知定義在[R]上的函數[f（x）=2x4+3x3-3x2][-6x+a]，在區間[1，2]內有一個零點[x0]，[g（x）]為[f（x）]的導函數.

（Ⅰ）求[g（x）]的單調區間；

（Ⅱ）設[m∈1，x0?x0，2]，函數[h（x）=g（x）（m-x0）-f（m）].求證：[h（m）?h（x0）<0]；

（Ⅲ）略.

解：（Ⅰ）略；

（Ⅱ）由[h（x）=g（x）（m-x0）-f（m）]，得[h（m）=g（m）（m-x0）-f（m）]，

[h（x0）=g（x0）（m-x0）-f（m）].

令[H1（x）=g（x）（x-x0）-f（x）]，

[H′1（x）=g′（x）（x-x0）]， 由（Ⅰ）知，當[x∈1 ，2]時， [g′（x）>0].故當[x∈1，x0]時，[H′1（x）<0]，[H1（x）]單調遞減；當[x∈x0，2]時，[H′1（x）>0]，[H1（x）]單調遞增.

因此，當[x∈1， x0 ? x0， 2] 時，[ H1（x）>H1（x0）=-f（x0）=0]，[H1（m）>0]，即[h（m）>0].

令[H2（x）=g（x0）（x-x0）-f（x）]，則[H′2（x）=g（x0）-g（x）]，由（Ⅰ）知，[g（x）]在[1，2]上單調遞增，故當[x∈1，x0]時，[H′2（x）>0]，[H2（x）]單調遞增；當[x∈x0，2]時，[H′2（x）<0]，[H2（x）]單調遞減.

因此，當[x∈1，x0?x0，2]時，[H2（x）

綜上，[h（m）?h（x0）<0]得證.

[評注]本題主要利用導數研究函數的性質，區分度明顯.本例中函數零點的功能為[f（x0）=0].

類型四： 函數零點的綜合問題

【例5】 （2017年江蘇卷理20）已知函數[f（x）=x3+ax2+bx+1（a>0，b∈R）]有極值，且導函數[f ′（x）]的極值點是[f（x）]的零點.（極值點是指函數取極值時對應的自變量的值）

（Ⅰ）求[b]關于[a]的函數關系式，并寫出定義域；

（Ⅱ）證明：[b2>3a]；

（Ⅲ）若[f（x）]，[f ′（x）]這兩個函數的所有極值之和不小于[-72]，求[a]的取值范圍.

解：（Ⅰ）由[f（x）=x3+ax2+bx+1]，得[f ′（x）=3x2+2ax+b=3（x+a3）2+b-a23].

當[x=-a3]時，[f ′（x）]有極小值[b-a23].因為[f ′（x）]的極值點是[f（x）]的零點.所以[f（-a3）=-a327+a39-ab3+1=0]，又[a>0]，故[b=2a29+3a].因為[f（x）]有極值，故[f ′（x）=0]有實根，從而[b-a23=19a（27-a3）≤0]，即[a≥3].

當[a=3]時，[f ′（x）>0（x≠-1）]，故[f（x）]在[R]上是增函數，[f（x）]沒有極值；

當[a>3]時，[f ′（x）=0]有兩個相異的實根[x1=-a-a2-3b3]，[x2=-a+a2-3b3].

列表如下

[[x] [（-∞，x1）] [x1] [（x1，x2）] [x2] [（x2，+∞）] [f ′（x）] + 0 – 0 + [f（x）] 單調增 極大值 單調減 極小值 單調增 ]

故[f（x）]的極值點是[x1，x2]，從而[a>3]，因此[b=2a29+3a]，定義域為[（3，+∞）].

（Ⅱ）略；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，[f（x）]的極值點是[x1，x2]，且[x1+x2=-23a]，[x21+x22=4a2-6b9].

從而[f（x1）+f（x2）=x31+ax21+bx1+1+x32+ax22+bx2+1=][x13（3x21+2ax1+b）+][x23（3x22+2ax2+b）+13a（x21+x22）+23b（x1+x2）+2][=4a3-6ab27-4ab9+2=0].

記[f（x）]，[f ′（x）]所有極值之和為[h（a）]，因為[f ′（x）]的極值為[b-a23=-19a2+3a]，所以[h（a）=-19a2+3a]，[a>3].因為[h′（a）=-29a-3a2<0]，于是[h（a）]在[（3，+∞）]上單調遞減.

因為[h（6）=-72]，于是[h（a）≥h（6）]，故[a≤6].因此[a]的取值范圍為[（3，6]].

【評注】本例主要考查利用導數研究函數的極值、零點等綜合問題，考查學生綜合運用數學思想方法分析、解決問題的能力以及邏輯推理能力.零點在本例中的功能為提供[f（-a3）=0]這一條件.

文中對2017年高考理科數學中函數零點試題的四種題型做出了分析，希望對讀者有所幫助.