數學課堂教學貴在立意高遠

賴啟茂

[摘 要]以《加減消元法》的教學為例，從開拓數學視野、經歷數學研究、滲透數學思想、培養理性思維等方面實施立意高遠的數學課堂教學，旨在提升學生的數學素養，促進學生全面發展.

[關鍵詞]立意高遠；數學課堂教學；加減消元

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）14-0011-04

正如一篇文章寫得好不好，主要看文章的立意一樣，數學課堂教學能否真正促進學生數學素養的提升，在很大程度上要考量課堂教學的立意是否高遠.縱觀一線的初中數學教學現狀，多數課堂就事論事，只在本節課的教學內容里原地“打滾”，能把初中數學整體作為教學背景展開教學的較少.而能引領學生站在數學學科的高度去認識、去思考、去發現的，更是鳳毛麟角.比如《加減消元法》的教學，教師一般都把加減消元法的反復演練作為教學手段，以達成高準確率的終極目標.表面上看是重點問題重點訓練，實則使靈動的數學教學淪為一種簡單的技能操練.這樣的數學課堂教學視野狹窄，沒了思想性，缺了數學味，與數學教學的終極目標“提升學生的數學素養”相去甚遠.在此，筆者以省名師“送培下鄉”活動中上的一節示范課為例，談談如何實施立意高遠的數學課堂教學.

一、教學實錄

環節1：感知發展.

師（顯示字幕：方程的昨天、今天、明天）：同學們，我們去年就開始學習方程了，當時學的是什么方程？每人能否寫出一例？

生眾：一元一次方程.（一學生上臺寫出2x-3=5）

師：這里的“一元”是什么意思？

生1：含有一個未知數.

師：“一次”又是什么意思？

生2：含未知數項的最高次數是一次.

師：可見，在整式方程中，給一個方程命名要從兩個方面考慮，一是“元”的方面，二是“次”的方面.

師：最近，我們學了一種新的方程，叫什么方程？

生眾：二元一次方程.（一學生上臺寫出2x-3y=6）

師：去年學一元一次方程，現在學二元一次方程，那么，你猜猜，接下去該學什么方程？你能否寫出一例.

生眾：三元一次方程.（一學生上臺寫出x-2y+3z=10）

師：再接下去呢？

生眾：四元一次方程，五元一次方程……

師：對，這是從“元”的方面發展而產生的方程系列.那么，除了“元”的方面，還可以從什么方面發展產生新的方程？

（學生一時語塞）

師：回顧一下，剛才我們是從哪兩個方面給一個方程命名的？

生眾：從“元”和“次”的方面.

生3：我想起來了，還可以從“次”的方面發展產生新的方程.

師：我們最先學的是一元一次方程，那么，如果從“次”的方面考慮，接下去該學什么方程？你能舉出一例嗎？

生眾：一元二次方程.（一學生上臺寫出x2-2x+3=0）

師：再接下去呢？

生眾：一元三次方程，一元四次方程……

師：說得很好，這是從“次”的方面發展而產生的方程系列.另外，還可以從“元”和“次”兩個方面同時發展產生很多方程，這樣一來，就形成了完整的整式方程體系.

[教學說明]從一元一次方程的命名說起，讓學生初步整體感知整式方程的發展脈絡.一方面，使學生對數學知識的產生發展產生一種自然親切之感；另一方面，為后續學習中探究解整式方程的兩個策略“消元”和“降次”做好鋪墊.

師：以上這些方程，雖然多種多樣，但是它們有一個共同的特點，就是都含有未知數.我們學習方程，就是要弄明白，方程中未知數的值究竟是多少，這就涉及方程的解的問題.回顧一下，一元一次方程，比如2x-3=5有幾個解？

生眾：一個.

師：二元一次方程 x+y=5 有幾個解？

生眾：無數個解.

師：顯然，二元一次方程x-y=1也有無數個解.如果把它們組成方程組，要知道二元一次方程組[x+y=5x-y=1]有幾個解，得先弄清楚什么叫二元一次方程組的解.你知道什么叫二元一次方程組的解嗎？

生4：方程組里面各個方程的公共解.

師：對.那么，按照二元一次方程組的解的定義，應該先把兩個方程的解都求出來，然后再找出公共的解.但是這樣求解太費時費力了.我們上節課學了一種較簡單的求二元一次方程組的解的方法，叫什么方法？

生眾：代入消元法.

師：為什么要消元？怎樣代入消元？

生5：通過消元，把二元變一元，使復雜問題簡單化.代入消元就是，用另一個未知數表示其中一個未知數，并將其代入另一個方程，消去一個未知數，使二元變為一元.

師：說得好！解二元一次方程組關鍵是消元，即把二元一次方程組化為一元一次方程.

[教學說明]在感知了整式方程發展脈絡后，很自然地過渡到方程的解、方程組的解.特別提到二元一次方程組解的定義，讓學生明白，根據定義去求方程組的解太困難，從而促進學生去尋求更簡便的解題方法，使學生體會到數學新知識、新方法的產生，源于數學現實的需要.

環節2：溫故求新.

師：既然大家對用代入消元法解二元一次方程組這么熟悉了，下面，請同學們再動手試試用代入消元法解方程組（1）[2017x+2016y=1 ① 2014x-2016y=4030 ②]

生6（上臺板演）：由①得x=[1-2016y2017] ③，把③代入②，得[2014×1-2016y2017-2016y]= 4030.

（多數學生做到這里，停了下來）

師：你們覺得能做下去嗎？

生眾：能，就是太復雜了.

師：這么復雜的式子是怎么得到的？

生眾：用代入消元法得到的.

師：用代入消元法解前面做過的二元一次方程組，都能輕松地解出結果，而這里，卻不容易解.這說明了什么問題？

生7：說明用代入消元法并不能輕松解決所有二元一次方程組問題.

師：確實如此.用代入消元法解這個方程組時，遇到了困難，怎么辦呢？想想還有沒有別的方法？

生8：我想到一種方法，可以由①得2016y=1-2017x ③，把③代入②，得2014x-（1-2017x）=4030；2014x-1+2017x=4030；4031x=4031；x=1.

師：很好，這種方法確實容易得多.實際上這也是代入法，叫整體代入法（把2016y看成一個整體），能想到這種方法很不錯.同學們再想想，還有沒有更簡便的方法？

[教學說明]精心設計方程組[2017x+2016y=1，2014x-2016y=4030，]讓學生嘗試用代入消元法解答，學生代入后運算遇到麻煩，由此體會到代入消元法的局限性.這時候，不得不尋找新方法，凸顯了學習加減消元法的必要性.

環節3 ： 探索新知.

（學生在埋頭思考，尋找新的方法，卻毫無頭緒）

師：同學們，不同的方程組，主要體現在什么的不同？

生眾：系數的不同.

師：我們尋找新方法就要從系數方面考慮，大家仔細觀察這個方程組，其系數有什么特殊之處？

生9：兩個方程中y的系數互為相反數.

師：我們的目的是消元，既然y的系數互為相反數，你怎么想？

生10：把這兩個方程的兩邊分別相加，消去y.

師：說得太好了.我們終于找到了一種新的方法，即方程組中某一未知數的系數互為相反數時，可相加消元.與前面的代入消元法比較，相加消元法要容易得多.問題是，①②兩個方程能相加嗎？依據是什么？

生[11]：可以相加，依據是等式的性質，即等式兩邊加或減同一個數或式子，等式仍然成立.

師：既然這樣，我們就可以放心地把兩個方程相加了.

[教學說明]新方法完全由學生自己發現，只有學生發現的數學才是學生自己的數學.教師的作用是在學生迷茫時指明方向.另外，教師質疑兩個方程相加的依據，旨在引發學生的理性思考，培養學生的問題意識.

環節4：鞏固新知.

（教師出示以下練習題，先讓學生獨立完成，再讓兩個學生上臺板演）

解方程組（2） [x+2y=9 ①3x-2y=-1 ②]

（3） [2a-3b=-5 ①2a-5b=-11 ②]

方程組（2）的解題過程略.

方程組（3）的解題過程：

由 ①-②，得

（2a-3b）-（2a-5b）=-5-（-11）

2a-3b-2a+5b=-5+11

2b=6

b=3

……

（教師要求學生說明為什么這樣做）

生[12]：在方程組（3）中，沒有互為相反數的項，只有系數相同的項，所以①-②，才可把a消去.

師：生[12]的類比能力很強，能從相加消元，想到相減消元.這兩種情況稱為直接加減消元.我們來總結一下經驗，什么條件下可以直接加減消元？易錯點在哪？

板書：

經驗一：系數[相同時，相減消元相反時，相加消元直接加減消元法].

易錯點：1.兩個方程相減時，要整體加括號.

2.減去一個負數時要加括號.

[教學說明]給出鞏固練習兩小題，解方程組（2）時，學生可直接模仿求解.方程組（3）不含互為相反數的項，出示此題的目的是讓學生學會類比，從相加消元，自己悟出相減消元，體現學生的主體作用.板書“經驗一”，讓學生養成概括總結的習慣.要學生列出易錯點，可培養學生的理性思維，做到在解題中盡量不犯或少犯“低級錯誤”.

環節5：拾級而上.

師：解二元一次方程時，若某一未知數的系數相同或相反的都能解了，那么接下來要研究什么問題呢？

[教學說明]這里，筆者不直接給出接下來要學習的問題，而是引領學生站在教師的角度去思考教學進程.一方面是對新學內容設置懸念，讓學生充滿期待，集中學生的注意力；另一方面是培養學生“思維走在老師的前面”的意識.更主要的是使學生逐漸領略到研究數學的一般方法，提升學生的數學素養.當然，要達成這種教學效果，筆者一般不要求學生預習，而是在課堂上營造一種“學生在完全未知世界里觀察、思考、發現”的研究氛圍.

生眾：研究系數不相同也不相反的問題.

師：很好，說明同學們的思維走在老師的前面了.接下來，請同學們獨立解方程組（化二元為一元即可）：

（4） [4x-5y=22 ①6x+7y=4 ②]

（先讓學生自主探究，后小組交流，再讓學生上臺說明解題思路）

師：我們今天剛學習了一種新的方法：直接加減消元法，用新方法來解這個方程組時，會遇到什么問題？

生眾：沒法直接加減消元.

師：為什么不能直接加減消元呢？

生眾：因為沒有相同的項和相反的項.

師：那怎么辦呢？消元是必需的.哪位同學來說一說，并上來展示.

生[13]：化為相同或相反的項，就可直接加減消元了.如①×3，得 12x-15y=66③，②×2，得 12x+14y=8④，③-④，得-29y=58，y=-2.

生14：消去y也可以.（解題過程略）

師：兩位同學的解法都很有創造性.由此我們可總結出沒有相同項或相反項時，就要變到有相同項或相反項，然后再加減消元.這種方法我們稱之為變形加減消元.

[教學說明]對學生而言，解方程組（4）是一個難點.這個難點依然讓學生獨自探究.學生已經有了直接加減消元的經驗（經驗一）了，根據維果斯基的最近發展區理論，學生跳一跳能夠得著，所以盡可放手讓學生自己去探尋解決問題的方法.波利亞指出，學習任何東西，最好的途徑是自己去發現.這樣，學生更能享受到成功的喜悅，更加激起他們對數學研究的興趣.另外，要求學生化二元為一元即可，不寫出完整的解題過程，是為了節省操練時間，把時間花在有思維價值的地方.

環節6：再固新知.

解方程組（化二元為一元即可）：

[（5）3x-2y=-23y+2x=6][ （6）5x+2y=253x+4y=15]

[教學說明]設置上述鞏固練習，是考查學生的觀察力.第1題，只看系數，有相同，也有相反的，但是未知數不同.第2題，兩個y的系數成倍數關系.學生能否一眼看出，選擇最快的方法，關鍵在于仔細觀察，并做出正確的判斷.

環節7：迎接挑戰.

師：到此，二元一次方程組的問題全部解決了，那么接下去又該研究什么問題呢？

生眾：三元一次方程組.

師：非常正確.請同學們試一試解方程組（化成二元即可）：（7） [3a-b+c=4 ①2a+3b-c=12 ②a+b+c=6 ③]

（學生獨立思考，上臺交流，教師視學情適當引導）

[教學說明]學生已經具備了解二元一次方程組的能力，此時趁勢推出三元一次方程組，并非是把后面的內容刻意提前，而是有意設置培植學生類比遷移能力的情境，對中等及以上層次的學生是一個挑戰.這個難點突破了，學生就能解決多元一次方程組的問題了.學生的類比遷移能力得到充分的提升，消元思想愈加穩固.

生15：我的想法是，先通過消元，把三元問題變成二元，再消元變成一元.根據觀察，先消c較方便.①+②，得 5a+2b=16④，②+③，得 3a+4b=18⑤，這樣就可得到二元一次方程組.

師：說得很好！以后遇到四元、五元、多元的問題，都可類比這種消元方法，逐步減少未知數個數，最終化歸為一元的問題.

環節8：展望未來.

師：這樣一來，從“元”方面發展產生的系列方程組的問題都解決了，接下去又該研究什么問題？

生眾：研究從“次”的方面發展產生的方程.

師：一元一次 x-3=0，大家都會解.一元二次 x2-2x+1=0，大家就不會解了。請同學們思考，解這種“二次”的方程，該往哪方面去思考？

（學生都不知從何入手，沒人舉手回答）

師：根據剛才的經驗，遇到“二元”的就消元，變成“一元”.那么，這“二次”的咋辦？

生眾（豁然開朗）：變成“一次”.

師：二次變一次，叫作降次.那么，一元三次方程x3-x2-x+1=0呢？

生眾：也是降次.

師：因為我們學的數學知識太少，還沒學習怎樣降次.到了八年級下學期學完了，我們就能通過降次來解二次方程了.現在，我們來總結一下.

板書：

經驗二：多元方程（組）[ 消元 ]……→一元一次

多（高）次方程[ 降次 ]……一元一次

[教學說明]這個環節與課始首尾呼應.課堂上，學生對整式方程的發展脈絡有了較清晰的認識，整節課都圍繞二元、多元方程的消元問題展開.那么對二次、三次、高次方程呢？課尾，教師用1分鐘時間，適度涉及降次問題，讓學生對多次方程解題策略“降次”有一個初步的感知.

環節9：“嫣然回眸”.

師：請回顧今天這段研究數學的歷程：是從哪里開始的？又是怎樣發展的？途中遇到了哪些曲折？采用了什么方法解決？

環節10：作業布置.

另外印發作業，分A類、B類、C類（個性化作業）.

二、教學思考

立意高遠的數學課堂教學應關注以下幾個方面.

1.打造數學視野寬廣的課堂.教材編寫者把每一模塊的數學知識（比如方程模塊）分散在各學段讓學生學習，逐級而上.教師教學時，如果局限在本學段、本課時的內容的話，會讓學生感覺數學知識是散亂，缺乏整體感的.因此，教師應盡可能地站在數學學科的高度，上下相連，貫通“古今”，把相關知識有機地組合在一起，讓學生通過上這節課，對與這節課相關的知識，有一種“會當凌絕頂，一覽眾山小”的感覺.

這里，要注意避免過多、過難地涉及課本教學內容之外的知識和方法，以免增加學生的學業負擔.因此，需要教師根據學生的認知特點，在學生的“最近發展區”內，大膽地取舍教學材料，重新梳理編寫教學內容，以學生很自然地有“窺一斑而知全豹”之感為宜.

2.讓學生體驗數學學習中的“研究味”.布魯納說：“在教學過程中，學生是一個積極的探索者，教師的作用是要形成一種學生能獨立探索的情境.而不是提供現成的知識.”因此，立意高遠的數學課堂教學應突出“研究味”，追溯數學歷史淵源，引導學生進行數學化探索，體驗古代數學家探索發現的經歷，讓學生從知識的接受者轉變為知識的發現者.這樣形成的數學，才是學生自己的數學.

本節課以“用代入法解二元一次方程組（1）時遇到困難”，作為研究起點，通過觀察發現了直接相加消元法.在“新知體驗”中，學生遇上了不能直接相加消元的方程組（3）.思量一番后發現了直接相減消元法.在學生經歷了直接加減消元法的發現過程后，教師又引導學生自己提出研究方向，進而發現變形加減消元法.二元方程組的問題解決了，學生很自然地把目光投向三元方程組；從“元”方面發展的系列方程解決了，研究方向轉為“次”方面發展的系列方程.整節課的數學學習過程，實為研究數學的過程.“潤物細無聲”，學生長期在這樣的“研究”氛圍下熏陶，不僅越來越領略到“研究”數學的樂趣，而且由此形成的“研究”意識、“研究”路徑，必將為學生未來的發展插上翅膀.

3.注重滲透數學思想.數學思想是數學的靈魂，所有數學教學活動應以滲透數學思想為落腳點，只有這樣才能真正促進學生數學素養的提升，發揮數學學科育人的最大效益.本節課將轉化與化歸思想的領悟和滲透作為主線貫穿始終.與學生一起回顧上節課學習的代入消元法時，教師追問“為什么要消元”“怎樣消元”，讓學生重溫通過消元，把二元變一元的化歸思想.

在解方程組（1）～（3）時，學生通過觀察發現了直接加減消元法后，教師推出方程組（4），學生通過探究，發現可變形后再加減消元，即把新問題轉化為舊知識來解決.二元的問題解決了，教師引導學生思考更高層次的問題，學生積累了一定的轉化經驗，此時水到渠成地活用化歸思想把“三元”化為“二元”.

在研究“次”的方面發展產生的方程時，學生通過類比不難想到化“三次”為“二次”，化“二次”為“一次”的逐步降次的化歸思想，使化歸思想進一步得到升華.這種在潛移默化中形成的數學思想將影響學生終身的學習、工作和生活.

4.應著力理性思維的培養.初中生有了一定的數學知識和數學活動經驗，但由于相應年齡的心理特點，決定其思維往往不夠嚴謹和深入，凡事愛“想當然”，思考問題常常顧此失彼或只看表面.因此，在數學教學中的各個環節針對初中生進行理性思維的培養顯得尤為重要.

本節課，當學生面對方程組（1），為了消元，在發現y的系數剛好互為相反數時，就自然產生一種沖動：把兩個方程相加消去y.幾乎不去考慮，兩個方程能否相加.此時教師追問：“兩個方程能相加嗎？依據是什么？”讓學生恍然大悟，明白數學運算每一步都得有理由.

解方程組（3）時，學生用①-② 消元，教師引導學生總結這種方法易錯點在哪，這不僅讓學生養成解題反思的習慣，更是讓學生學會站在更高層次對解題的每一個步驟進行理性的思考.當學生的每一步運算或推理都有充分的算理支撐，并且每一步可能出現的失誤學生都了如指掌時，學生的理性思維就達到了爐火純青的境界，這正是數學教學所追求的.學生有了這種嚴謹的理性思維，不僅現在能把數學學好，更重要的是為后續的學習和工作打下了堅實的基礎.

誠然，立意高遠的數學課堂教學并不僅限于關注以上這些方面，筆者在此只是拋磚引玉.實際上，數學教學的每個環節的處置都飽含了教師的教學立意.不同的教學立意，決定不同的教學品質，必然產生不同的教學效益.教學立意是否高遠取決于教師自身的專業素養.要想提升教學立意，關鍵在于教師應精通學科理論和教育教學理論，不斷升華自己的教學思想，才能跳出思維定式.從廣闊處、新穎處立意教學，使學生在數學活動中充滿創新激情，使數學自身的探索魅力成為學生一直向前的不竭動力，這樣的教學展現出濃濃的數學味，而數學味在催化著學生數學素養的提升.

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 胡海舟.教學立意的實踐誤區及提升路徑[J].中國教育學刊，2015（12）：49-53.

[2] 錢燕.回歸數學課堂的生命本色[A].江蘇省教育學會2006年年會論文集（理科專輯）[C]，2006：1-6.

（責任編輯 黃春香）