初中幾何證明題教學淺析

蘇鳳英

[摘 要]幾何是一門邏輯性十分嚴謹的學科，要想讓學生熟練地掌握幾何證明題的證明方法，學好幾何，提高數學成績，首先得讓學生對幾何學習產生興趣，使學生牢固掌握幾何定義、性質和定理；其次要培養學生良好的學習習慣；第三要讓學生善于總結歸納，掌握解題的思路；最后再讓學生做一定量的練習題，積累證題經驗。

[關鍵詞]幾何證明題；初中幾何；幾何語言

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）14-0019-02

初中幾何即平面幾何，它是初中數學的重要組成部分。平面幾何是運用邏輯推理的方法來研究平面圖形性質的一門學科。按新課標的要求：在圖形與證明中，學生應掌握用綜合法證明的格式，體會證明的過程要步步有理有據。而初一學生在小學里雖然學過一些幾何知識，但只要求能看懂圖形，根據圖形回答問題即可。到了初中，要從實驗幾何向論證幾何過渡，在剛開始學習時很多學生會覺得很難，不知從何入手，從而害怕幾何而怕學數學，有的甚至因此而放棄數學。作為一線教師，如何才能使學生喜歡幾何，不怕幾何，掌握好幾何證明題的證明方法呢？筆者在多年的教學實踐中發現，可從以下幾個方面入手。

一、激發幾何學習興趣

興趣是最好的老師，有了興趣任何教學活動都很容易實現。因此，在正式上幾何證明課之前，教師可先上一節預備課，教學內容為幾何的重要性。教師可用多媒體投影介紹幾何的發展歷程，如從古希臘的測地術到當今世界到處可見的高樓大廈，讓學生了解從日常生活到工農業生產都離不開幾何，到處都是幾何的蹤影，懂得幾何這門學科既是學習其他學科的工具，更是培養邏輯思維能力，開發智力的起點，從而激發學生的幾何學習興趣。

二、入好幾何證明門

幾何證明要使用幾何語言，而幾何語言是學好幾何的“敲門磚”。有部分學生對幾何學習產生畏懼心理，感到幾何難學，其主要原因是沒有掌握好幾何語言。在幾何中，幾何語言分為文字語言、符號語言和圖形語言，三種語言可以互譯互補。因此，要入好幾何證明門，關鍵是做好以下兩點。

1.幾何語言表達要準確

首先，要使用幾何語言來表達。這對于剛學幾何的學生來說，是一件很難的事情。因此，教師要教會學生幾何語言的使用和表達方法。在每一節幾何課里，都要特別強調注意幾何語言的規范性，要讓學生理解并熟練掌握規范的幾何語言，如：“過點C作CD⊥AB，垂足為點D”“延長線段AB到點C，使AC=2AB” “過點A作直線l[?]CD”等，引導學生逐字逐句地閱讀分析句子的含義，邊讀邊演示邊作圖，把文字語言轉換為圖形語言；反復多次進行三種幾何語言的互譯訓練，讓學生理解每一句話，讀懂題意，會用幾何語言來表達又會作出圖形。

其次，幾何語言表達要準確。例如，鈍角的定義：“大于直角而小于平角的角叫作鈍角。”這里的“而”字千萬不能說成“或”字。“一字之差”意思各異，所以，要注意幾何語言表達的準確性。

2.推理過程要有理有據

幾何證明的推理過程要求每一步都要有理有據，推理證明的書寫是有格式的，都是從已知條件出發，根據已經學過的數學定理、定義、公理、性質等知識，順著推理，由“已知”得出“推知”，由“推知”得出“未知”，逐步地推出求證的結論。這種證題格式就叫作“演繹法”。課本上的例題及定理的證明，多數都是采用這種格式。它的書寫表達常用的幾何語言是“因為……所以………”。在學生開始學習幾何證明時，教師應要求學生掌握規范的證明題書寫格式和步驟。為此，筆者常要求學生寫好證明過程，并在每一步后面的括號內填寫理由，而且強調推理論證過程要步步有理有據。

例如，在《平行線的判定》的教學中，筆者以填空題的形式出示下列證明題讓學生填寫。

如右圖所示，①因為∠1=∠3（已知），

所以 AB[?]CD（ ）；

②因為∠3=∠4（已知），

所以AB[?]CD （ ）。

然后再改變填空的形式：

③因為 （已知），

所以AB[?]CD（ 同旁內角互補，兩直

線平行）。

通過不同形式、反復地填寫，讓學生掌握平行線判定的表達格式，體會圖形與題目存在的依存關系。

最后，讓學生在會填寫理由的基礎上模仿例題書寫格式自己編制證明題，并逐步由簡到難，由淺入深，讓學生慢慢體會到做幾何證明題其實不難，從而提高對幾何證明題的學習信心。

三、厘清證明思路

“幾何證明難”其實就是難在證明思路上。對于眾多的幾何證明題，都是有證明方法和思路的，教師要不斷引導學生總結探索證題的方法和技巧，使學生一看到求證結論就想到要采用的證題思路，提高解題的速度和效率。那么，怎樣引導學生厘清證明思路呢？

一要認真審，即認真讀題，要逐字逐句地讀題，邊讀題邊看圖邊思考：題目給的條件有什么用？要使結論成立需從什么地方入手去尋找條件？

二要用心記，即標記和牢記。標記就是在所給的圖形中標記每一個已知條件。如給出“對邊相等”，就要用符號“、”在相等的邊上做標記。牢記即記住題目給的條件，做到不看題，都可以把題目復述出來。

三要分析證題思路。思路一般有三種：

（1）正向思維。對于一般簡單的題目，通常用正向思維，由已知條件出發推出要證明的結論。

（2）逆向思維。即從相反的方向去思考問題。也就是從題目要證明的結論出發往回找。

（3）正逆結合。即正向思維和逆向思維相結合進行應用。

四要熟記證題依據。即看到證明結論就想到可能要采用的方法。例如：

（1）“證明兩線段相等”就要想到可能采用“等腰三角形底邊的高和頂角平分線都平分底邊”“同一個三角形等角對等邊”“兩全等三角形對應邊相等”“直角三角形斜邊的中點到三個頂點的距離相等”“平行四邊形的對邊相等”“平行四邊形的對角線互相平分”“同圓（或等圓）中相等的弧所對的弦相等”“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”“同圓（或等圓）中相等的圓心角或圓周角所對的弦相等”“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”“兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等”“從圓外一點引圓的兩條切線，那么兩切線長相等”“垂直于弦的直徑平分這條弦”等。

（2）“證明兩個角相等”要想到可能采用“同一個三角形中等邊對等角”“等腰三角形中，底邊上的高和底邊上的中線平分頂角”“兩個全等三角形的對應角相等”“兩條直線平行，同位角相等，內錯角相等”“平行四邊形的對角相等”“同弧（或等弧）所對的圓周角相等”“同圓（或圓）中，相等的弦（或弧）所對的圓心角相等”“弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角”“同角（或等角）的余角（或補角）相等”“從圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分這兩條切線的夾角”“圓的內接四邊形的外角等于它的內對角”“相似三角形的對應角相等”等。

（3）“證明兩條直線互相垂直”就想到可能采用“等腰三角形的頂角平分線和底邊的中線都與底邊的高重合，即垂直于底邊”“在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角”“三角形中一邊的中線如果等于這邊的一半，則這一邊所對的角是直角”“一條直線垂直于平行線中的其中一條，則必垂直于另一條”“鄰補角的平分線互相垂直”“兩條直線相交成直角，則兩條直線垂直”“到一條線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上”“菱形的對角線互相垂直”“直徑所對的圓周角是直角”“ 平分弦（或弧）的直徑垂直于弦”等。

（4）“證明兩條直線平行”就要想到可能采用“如果內錯角或同位角相等，那么兩直線平行”“如果同旁內角互補，那么兩直線平行”“如果是梯形的中位線，那么它平行于兩底”“如果是平行四邊形，那么它的對邊平行”“如果兩條直線都垂直于同一直線，那么這兩條直線也互相平行”“如果是三角形的中位線，那么它平行于第三邊”“如果一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于第三邊”“如果兩條直線都平行于同一直線，那么這兩條直線平行”等。

（5）“證明線段的和差倍分”就要想到可能采用“在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明剩下的部分等于第二條線段”“作兩條線段的和，證明它與第三條線段相等”“取長線段的中點，再證其一半等于短線段”“延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等”等。

（6）“證明角的和差倍分”就要想到可能采用“與證明線段的和差倍分思路相同”“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和”“利用角平分線的定義”等。

（7）“證明線段不等”就要想到可能采用“垂線段最短”“在同一個三角形中，大角對大邊”“三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊”“在兩個三角形中，有兩邊分別相等而夾角不等，那么夾角大的所對的邊就大”“全量大于它的任何一部分”“同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小”等。

（8）“證明兩角不等”就要想到可能采用“在同一個三角形中，大邊對大角，小邊對小角”“三角形的外角大于和它不相鄰的任何一個內角”“全量大于它的任何一部分”“同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大”等。

（9）“證明比例式或等積式”就要想到可能采用“平行線截線段成比例”“相似三角形的對應邊成比例”“與圓有關的比例定理——相交弦定理、切割線定理及其推論”“直角三角形中的比例中項定理即射影定理”“比例式化為等積式”等。

（10）“證明四點共圓”就要想到可能采用“到同一個定點的距離都相等的各點在同一個圓上”“對角互補的四邊形的四個頂點在同一個圓上”“同斜邊的直角三角形的頂點在同一個圓上”“外角等于它的內對角的四邊形內接于圓”等。

總之，幾何是一門邏輯性十分嚴謹的學科，為了讓學生熟練掌握幾何證明題的證明方法，教師應引導學生認真審題，熟悉掌握解題的常見思路。最后再輔以一定量的練習題讓學生進行訓練，幫助學生積累解題經驗，從而有效解決幾何證明題。

（責任編輯 黃春香）