帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題

陸海釗

[摘 要]帶電粒子進入有界磁場運動時產生臨界問題的兩個原因是速度大小不確定和速度方向不確定。文章結合例題，說明運用放大或縮小帶電粒子在磁場中運動的圓周軌跡和動態旋轉圓周軌跡的辦法尋找臨界軌跡，進而解決帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題。

[關鍵詞]臨界問題；帶電粒子；有界磁場

[中圖分類號] G633.7 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）14-0055-02

帶電粒子在磁場中運動的臨界問題是每年高考的熱點和難點，它不但涉及力學、電磁學等高中物理知識，而且還涉及數學中有關圓的知識，題目的綜合性較強，難度較大，考生的得分率普遍不高。原因之一是考生在解答帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題時無法準確尋找帶電粒子在磁場中運動的臨界軌跡。

筆者在教學中發現，要解決帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題，必須讓學生明白臨界問題是如何產生的。這里分兩種情況討論，一是粒子進入磁場時v的大小不確定，導致臨界軌跡不確定，v的大小影響著粒子在磁場中圓周運動軌跡的大小，這種情況可以通過放大或縮小圓周軌跡的辦法來尋找臨界軌跡；二是粒子進入磁場時v的方向不確定，由于v的方向不確定，該粒子在磁場中運動的軌跡圓心不確定，這種情況可以采取動態旋轉圓周的辦法尋找臨界軌跡。下面舉例說明。

【例1】 如圖1所示，ab邊足夠長的矩形區域abcd內有方向垂直紙面向里，磁感應強度為B的勻強磁場。現有一帶電量為q，質量為m的粒子在ad邊的中點O處以垂直磁場方向射入，且速度方向跟ad邊成30°角。設ad邊長為L，求：若要粒子從ab邊上射出，則入射速度v0在哪個范圍？（不計粒子重力）

解析：帶電粒子進入磁場的方向是確定的，粒子在O點受到洛倫茲力的方向垂直于v0，即圖2中OO1方向，所有不同速度大小的粒子在磁場中做圓周運動時的軌道圓心都應在直線OO1上。當速度逐漸變大時，半徑變大，圓周運動的軌跡也在變大。由題意知矩形區域abcd足夠長，當圓周軌跡大到與cd相切時，這個圓周的半徑應是所有從ab上射出粒子做圓周運動的最大半徑，對應粒子的速度為最大速度，臨界軌跡如圖2中①。設最大圓周與cd相切點為M，過M作cd的垂線，垂線與OO1交于O1，則粒子軌跡的圓心為O1，設其軌道半徑為R1，由幾何關系得R1sin30°+[L2]=R1 ，解得R1=L，由公式qvB=[mv2R]，得該軌道上粒子速度為v1=[qBLm]。

對于從ab射入的粒子，當速度變小時，半徑變小，圓周的軌跡也在變小，當軌跡與ab相切時，圓周軌跡最小，對應半徑最小，對應粒子的速度為最小速度，臨界軌跡如圖2中③。設切點為N，過N作ab的垂線交直線OO1于O2，即圓心為O2，半徑為R2，則R2+R2cos60°=[L2]，解得R2=[13]L，由qvB=[mv2R]可得v2=[qBL3m]。綜上所述，入射粒子速度范圍為[qBL3m] < v < [qBLm]。

【例2】 如圖3所示，質量為m，電荷量為+q的帶電粒子，不計重力，粒子以一定速度從小孔Q垂直進入N板右側磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外的勻強磁場，磁場邊界上的絕緣板CD與N板的夾角為θ=45°，孔Q到板的下端C的距離為L。當粒子以最大速度入射時，粒子恰垂直打在CD板上的H點，求： CD板上被粒子打中的區域的長度。

解析：如圖4，由半徑和切線垂直的幾何關系知，粒子垂直N板從Q進入磁場，即入射速度方向確定，則圓心必在N板上，由題意知粒子速度最大時，粒子恰好垂直打在CD板上，則圓心必在絕緣CD板上，N板和絕緣板CD交于C，則圓心為C，臨界軌跡為圓弧QH；CH=QC=L，故半徑R1=L；當粒子入射速度變小時，圓周軌跡變小，半徑變小，要使粒子打在絕緣板上，最小的圓周軌跡應與CD相切，則臨界軌跡應為圓弧QKE。此軌跡的半徑為R2，在△AKC中：

sin 45°=[R2L-R2] 解得R2=（[2]-1）L

由幾何知識得KC長也等于R2=（[2]-1）L

所以CD絕緣板上被粒子打中的長度為HK，即HK=R1-R2=（2-[2]）L。

【例3】 如圖5所示，有一環狀勻強磁場，外半徑R2=1.0 m，內半徑為R1=0.5 m，磁感應強度B=1.0 T，粒子在磁場內運動時都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在該區域內。若在中空區域內帶電粒子荷質比為q/m=4×107 C/kg，且粒子具有各個方向的速度。（1）當粒子沿半徑方向射入環狀磁場時，粒子不穿出磁場的最大速度是多少？（2）所有射入磁場的粒子不能穿出環狀磁場的最大速度是多少？

解析：（1）粒子沿環狀的半徑方向射入磁場時，根據qvB=m[v2R]得，R=[mvqB]，因荷質比一定，B一定，v越大，則粒子做圓周運動的圓周越大，當圓周與環狀磁場外緣相切時，即為粒子不穿越磁場的臨界軌跡，軌跡如圖6所示。此時對應速度為最大速度。由圖知r12+R12=（R2-r1）2，解得r1=0.375m，根據qvB=m[v2R]，把R=r1=0.375 m代入，解得v=1.5×107 m/s。

（2）設粒子在內環半徑邊緣某點以速度v射入環狀磁場，則軌跡應為r2=[mv2qB]的圓弧，隨著速度的增大，半徑也增大，圓弧也增長；因速度方向未定，所以粒子圓周運動的圓弧也要以某點為圓心轉動。當以v2的速度沿與內環邊緣相切方向射入磁場，且臨界軌跡與外圓相切時，則以v2速度沿各方向射入環狀磁場的粒子都不能穿出磁場，臨界軌跡如圖7所示。

由圖中知r2=[R2-R12] =0.25 m ，由Bqv2=m[v22r2] 得v2=[Bqr2m]=1.0×107 m/s，所以所有粒子不能穿越磁場的最大速度v2=1.0×107 m/s。

綜上所述，尋找臨界軌跡時，教師一定要讓學生理解：在放大或者縮小圓軌跡時，圓心一定始終在同一直線上，在分析動態圓周問題時要抓住動態圓是繞某一固定點轉動，但無論哪一種方法都要讓學生明白，粒子做圓周運動時和有界磁場邊緣相切的軌跡往往是臨界軌跡。

（責任編輯 易志毅）