梅森素?cái)?shù)為什么這么重要？

許家輝

“它反映了一個(gè)國(guó)家的科技水平，是人類智力發(fā)展在數(shù)學(xué)上的一種標(biāo)志，更是整個(gè)科技發(fā)展的里程碑之一。梅森素?cái)?shù)究竟是個(gè)怎樣的數(shù)，為何如此重要呢？”

眾所周知，素?cái)?shù)也叫質(zhì)數(shù)，是只能被自己和1整除的數(shù)。2300多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》一書中證明了素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，如2、3、5、7、11等等。在素?cái)?shù)的探究中，人們發(fā)現(xiàn)少量的素?cái)?shù)可表示為2^P-1（即2的P次方減1，其中指數(shù)P為素?cái)?shù)）的形式，如2^2一1=3、2^3-1=7、2^5-1=31、2^7-1=127等。由于這種特殊形式的素?cái)?shù)具有獨(dú)特的性質(zhì)和無(wú)窮的魅力，它吸引了包括數(shù)學(xué)大師歐幾里得、笛卡爾、費(fèi)馬、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯和圖靈等在內(nèi)的眾多數(shù)學(xué)家和無(wú)數(shù)的業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者。

17世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家馬林·梅森在歐幾里得、笛卡爾、費(fèi)馬等數(shù)學(xué)大師的有關(guān)研究基礎(chǔ)上對(duì)2^P-1型素?cái)?shù)作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證。由于梅森學(xué)識(shí)淵博、才華橫溢，是法蘭西科學(xué)院的奠基人和當(dāng)時(shí)歐洲科學(xué)界的中心人物。為了紀(jì)念他，數(shù)學(xué)界就把2^P-1型素?cái)?shù)稱為“梅森素?cái)?shù)”。2300多年來(lái)，人類僅發(fā)現(xiàn)50個(gè)梅森素?cái)?shù)。這種素?cái)?shù)稀奇而迷人，故被人們稱為“數(shù)學(xué)領(lǐng)域的璀璨瑰寶”。

梅森素?cái)?shù)貌似簡(jiǎn)單，但當(dāng)指數(shù)P值較大時(shí)，它的探究不僅需要高深的理論和純熟的技巧，還需要進(jìn)行艱苦的計(jì)算。例如，1772年，素有“數(shù)學(xué)英雄”之稱的瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了2^31-1是第8個(gè)梅森素?cái)?shù)；這個(gè)具有10位的素?cái)?shù)（即2147483647），堪稱當(dāng)時(shí)世界上已知的最大素?cái)?shù)。他的的頑強(qiáng)毅力和解題技巧都令人贊嘆不已；難怪法國(guó)大數(shù)學(xué)家拉普拉斯經(jīng)常對(duì)他的學(xué)生說(shuō)：“讀讀歐拉，他是我們每一個(gè)人的老師。”在“手算筆錄年代”，人們歷盡艱辛，一共只找到12個(gè)梅森素?cái)?shù)。

即使是在“計(jì)算機(jī)時(shí)代”，每一個(gè)梅森素?cái)?shù)的產(chǎn)生都艱辛無(wú)比，并且存在著十分激烈的競(jìng)爭(zhēng)。例如，在1979年2月23日，當(dāng)美國(guó)克雷研究公司的計(jì)算機(jī)專家戴維·史洛溫斯基和哈利·納爾遜宣布他們找到第26個(gè)梅森素?cái)?shù)2^23209-1時(shí)，有人告訴他們：在兩星期前美國(guó)加州的高中生蘭登·諾爾就已經(jīng)給出了同樣結(jié)果。為此他們發(fā)憤忘食，又花了一個(gè)半月的時(shí)間，找到了第27個(gè)梅森素?cái)?shù)2^44497-1。

梅森數(shù)的素性檢驗(yàn)難度是非常大的。法國(guó)數(shù)學(xué)家愛(ài)德華·盧卡斯和美國(guó)數(shù)學(xué)家德里克·萊默在這方面做出了重要貢獻(xiàn)；以他們的姓氏命名的“盧卡斯-s萊默檢驗(yàn)法”是迄今為止判斷梅森數(shù)素性最快最有效的工具。另外，探究梅森素?cái)?shù)的重要性質(zhì)——分布規(guī)律似乎比尋找新的梅森素?cái)?shù)更為困難。中國(guó)數(shù)學(xué)家和語(yǔ)言學(xué)家周海中在這方面取得了重大突破；以他的姓氏命名的“周氏猜測(cè)”敘述了梅森素?cái)?shù)的分布狀況，并給出了精確表達(dá)式。

網(wǎng)格計(jì)算的出現(xiàn)使梅森素?cái)?shù)的尋找工作如虎添翼。1996年美國(guó)數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)專家喬治·沃特曼編寫了一個(gè)尋找梅森素?cái)?shù)的計(jì)算程序，并把它放在網(wǎng)上供數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者免費(fèi)使用；這一計(jì)算程序就是舉世聞名的“互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索”（GIMPS）項(xiàng)目，也是全世界第一個(gè)網(wǎng)格計(jì)算項(xiàng)目。現(xiàn)在人們只要從該項(xiàng)目下載開放源代碼的Prime95或MPrime軟件，就可以馬上搜尋新的梅森素?cái)?shù)了。

美國(guó)洛杉磯加州大學(xué)的計(jì)算機(jī)專家埃德森·史密斯通過(guò)參與GIMPS項(xiàng)目，于2008年8月找到一個(gè)超過(guò)1000萬(wàn)位的梅森素?cái)?shù)——2^43112609-1。這一重大成就被著名的《時(shí)代》雜志評(píng)為“2008年度50項(xiàng)最佳發(fā)明”之一。史密斯獲得了電子前沿基金會(huì)（EFF）頒布的10萬(wàn)美元大獎(jiǎng)，并受到了學(xué)校的表彰。2017年12月26日，美國(guó)田納西州杰曼鎮(zhèn)的業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者喬納森·佩克通過(guò)參與GIMPS項(xiàng)目發(fā)現(xiàn)了第50個(gè)梅森素?cái)?shù)2^77232917-1。這一巨大素?cái)?shù)共有23249425位。假設(shè)我們每一秒鐘寫一個(gè)數(shù)字的話，要連續(xù)寫近200個(gè)晝夜才能寫完！

梅森素?cái)?shù)在當(dāng)代具有十分豐富的理論意義和實(shí)用價(jià)值。它是發(fā)現(xiàn)已知最大素?cái)?shù)的最有效途徑，它的探究可以推動(dòng)數(shù)論的研究，還可以促進(jìn)密碼技術(shù)、網(wǎng)格計(jì)算技術(shù)、程序設(shè)計(jì)技術(shù)的發(fā)展以及快速傅立葉變換和快速橢圓加密系統(tǒng)的應(yīng)用。另外，在梅森素?cái)?shù)的探究過(guò)程中，人們可以發(fā)現(xiàn)計(jì)算機(jī)芯片存在的問(wèn)題。

有專家認(rèn)為，梅森素?cái)?shù)的研究成果，在一定程度上反映了一個(gè)國(guó)家的科技水平。英國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)主席、《素?cái)?shù)的音樂(lè)》一書作者馬科斯·索托伊甚至認(rèn)為，梅森素?cái)?shù)的研究進(jìn)展不但是人類智力發(fā)展在數(shù)學(xué)上的一種標(biāo)志，也是整個(gè)科技發(fā)展的里程碑之一。（編輯/任偉）