推導“可倒擺實驗”原理的新方法

張諾亞

（鄭州外國語新楓楊學校，河南 鄭州 450000）

重力加速度是物理中一個非常重要的物理量，通常g是指地球地面的物質受到引力的作用在真空中下落的加速度。隨著重力發現，學者也開始對它進行更深入的研究，第一個問題就是怎么對它進行測量。

隨后，伽利略發現了擺的等時性，惠更斯發現擺的擺動周期和當地的重力加速度成反比和擺長的平方根成正比。于是，人們就利用測定擺的擺動周期的方法，來測量重力加速度。1818年，由凱特（Kater)提出一種新的測量方法，設計出了一種物理擺，即凱特擺（也稱“可倒擺”，本文稱為“可倒擺”）。波斯坦大地測量研究所曾花了8年測得當地重力加速度是g=(981.274±0.003）cm/s，因達到6位有效數字，故各地對g的相對測定，均以此為依據，很多地區的g值都曾以此為根據，進行相對測量而得到。

以往，一些對于“可倒擺實驗”的研究多集中在對實驗裝置的改進和實驗過程的優化，使整個實驗更易于操作。在實驗原理上，學生需要先理解復擺相關知識才能進行推導。本文從實驗中的“可倒擺實驗”的整個運動過程出發，應用能量的觀點進行分析研究最終得出正確結果。本文的推導過程在關注整個運動過程的同時，也應用更加基礎的知識點，使更多不同知識儲備的實驗者都能很好地理解，結合對實驗過程的優化，將更利于“可倒擺實驗”的推廣。本文將先介紹傳統對“可倒擺實驗”原理的推導過程，然后使用能量觀點對實驗原理進行推導解釋。

1 從復擺到 “可倒擺實驗”原理的推導

首先介紹單擺概念。如果把尺寸很小的物體懸于一端固定的長度為 l且不能伸長的細繩上，使細繩和過懸點鉛垂線成角度小于10°（此時應用到數學上的小角近似的概念），放手后可以觀察到擺錘周期振動，其周期擺的長度以及重力加速度g有關，其運動狀態可用簡諧振動公式表示，這樣的擺稱為單擺。單擺的周期公式為：

其中：T為擺動周期；l為擺長；g為重力加速度。可見，擺的運動周期與擺的長和所在地的重力加速度相關。

然后介紹復擺相關概念，已知質量為m的一個剛體，重心G到轉動軸O的距離為h，繞O軸的轉動慣量為I。在這里，我們引入小角近似，當擺幅足夠小時，剛體繞O軸的擺動周期T可以被近似表示為：

復擺繞通過重心G的轉動軸的轉動慣量為IG，當G軸與O軸平行時，有：

代入式（1）得：

對比單擺的周期公式(1)，可得：

其中，l稱為復擺的等效擺長。因此測出周期T和等效擺長l可求得重力加速度g。

圖1 “可倒擺實驗”擺桿示意圖

圖1 是“可倒擺實驗”擺桿的示意圖，對“可倒擺實驗”而言，兩刀口間的距離就是擺的等效擺長l。確定兩刀口位置后，調節擺錘位置可使正、倒懸掛時的擺動周期T1和T2保持近似相等，即T1≈T2。由公式（3）可得：

其中，T1和h1為擺繞轉動軸O軸的擺動周期和旋轉中心到重心G的距離。當T1≈T2時，h1+h2=l即為等效擺長。由式（5）和（6）消去IG，得：

式中，a項可以精確求得，b項無法精確求得。當T1＝T2以及|2h1-l|的值較大時，b項的不精確對測量結果產生的影響忽略不計。具體數據分析不是本文論述重點，請參見相關實驗介紹和文獻。

2 用能量觀點對實驗原理進行的推導

以下應用能量觀點推導實驗原理。

實驗中，擺錘運動過程為周期運動。在這里，所關注的分析整個運動周期的能量轉化，是接下來推導過程的基礎。

在“可倒擺實驗”中，當把擺錘正掛時，即將刀口E掛起時(文中加粗的量表示該量是矢量)，此時選擇E所在的平面為零勢能面。將擺拉動小角度放手，讓擺做周期性擺動，此時關注兩個特殊的位置，即“可倒擺”運動到最高點和最低點。當擺錘擺動到最低點時，由機械能守恒公式可得：

然后將擺錘倒掛時，由機械能守恒公式可得：

與單擺公式推導過程中使用的公式：sinθ≈θ不同，在本節中使用的小角近似公式為：

同時，將角速度的形勢進行代換為：

此時，需要特殊說明的是：在“可倒擺實驗”中需要保持正掛擺錘和倒掛擺錘時的周期近似相等，即T1≈T2。又由等時性原理可知，此時正掛和倒掛時的等效擺長一致。當等效擺長一致，保持正掛和倒掛的最大擺角一致時，兩個過程中經過最低點時的角速度以及角速度的導數是一致近似的。所以，在接下來的推導中，為了進一步優化公式，本文將擺錘正掛和倒掛時的擺角、最低點角速度以及角速度的導數不作區分。

通過(10)和(11)進行化簡操作，將(10)和(11)代入(8)和(9)，可得：

當最大對公式進一步地處理，對上兩式進行時間求導可得：

將其與(15)式中第一個公式聯立可得：

以上為實驗原理推導過程。通過調節擺錘的位置可以實現實驗正掛和倒掛的周期大致相等，即T1≈T2時。當正掛和倒掛的周期相等時，便可以通過實驗數據使用(19)式來實驗測出重力加速度g。在本節推導出的公式中所需要的實驗限制條件是保持“可倒擺”正掛時和倒掛時的擺角一致，對原實驗過程中|2h1-l|項同樣進行要求。本文的實驗中，在其他實驗條件一致時，增加了實驗限制，即保持正掛和倒掛的最大擺角一致。在定性上，這個限制減少了實驗誤差。

需要特別說明的是，上述推導過程中應用到的小角近似概念、擺的等時性概念（或者等效擺長概念）和轉動慣量的平行軸定理都屬于拓展知識點。對比兩種推導過程，兩者都提供了比較正確的思路，但后者是在前者的基礎上進行另外一種思路的嘗試。

在實驗操作上，可以對比這個方法與傳統方法。

相同點：兩種方法都是通過測量等效擺長，擺的周期來計算重力加速度，且測量擺長和時間的儀器與方法都相同；實驗約束條件中都需要保持“可倒擺”正掛和倒掛時的等時性T1＝T2以及|2h1-l|的值較大。

不同點：此方法的推導對于實驗過程加了一個約束條件，即正掛和倒掛時最大擺角一致，減少了實驗誤差，可以較容易地實現T1＝T2。且此約束條件可以通過在實驗過程中用鉛垂線、角度尺或其他類似工具實現，操作起來并不難。

3 結語

“可倒擺實驗”是用來測量重力加速度的一種非常巧妙的方法，減少了空氣阻力的影響，極大地提高了實驗的精確度。本文對轉動慣量的推導部分進行了介紹，不同于傳統通過復擺原理對“可倒擺實驗”周期公式的推導，文中從能量的角度對其進行推導解釋。關于其他的實驗步驟，后者與前者與保持一致。另外，本文的方法增加了原實驗限制條件，減少了實驗誤差。這種方式對于深入地理解“可倒擺實驗”原理提供了一種新的思路，更便于從能量守恒的本質上理解該實驗。同時，由于推導過程與單擺的周期公式推導過程存在緊密聯系，一定程度上也增強了對復擺知識的理解。