數學圖表信息題的破解之道

張慧敏

圖表信息題是通過圖像、圖形及表格等形式給出信息的一種新題型.這類題立意新穎、構思精巧、解法靈活，能突出對考生的閱讀理解能力、獲取信息與處理信息能力的考查，備受各級各類考試命題者的青睞，頻頻出現在各級各類考試的試卷中.下面通過從部分省市的高考題及高考模擬題中精選出的一些典型試題，研究圖表信息題的破解之道，探索題型規律，揭示解題方法.

一、從函數圖像信息抽象數學情景

函數圖像能反映函數的定義域、值域、單調性、奇偶性（對稱性）、特殊點（交點、邊界點、最值點）等性質，考生在解答時應從這些方面人手加以分析，充分挖掘圖像信息，并注意與方程、不等式聯合起來正確求解.

例1 （2017年高考北京理科卷第14題）三名T人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖1所示，其中點Ai的橫、縱坐標分別為第i名工人上午的工作時間和加工的零件數，點Bi的橫、縱坐標分別為第i名工人下午的工作時間和加工的零件數，i=1，2，3.

①記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數，則Qi，Q2，Q3中最大的是____.

②記pi為第i名工人在這一天中平均每小時加工的零件數，則Pi，p2，p3中最大的是____。

分析通過作圖，觀察線段A1B1，A2B2，A383的中點的縱坐標的大小，可判斷工人加工零件總數的大小.分別作點B1，B2，B3關于原點的對稱點B1，B2，B3，通過比較直線A1B1，A2B2，A3B3的斜率大小，可判斷每個工人平均每小時加工零件數的大小.

解 連接A1B1，A2B2，A3B3，比較所得三條線段的中點縱坐標的大小，可知Qi，Q2，，Q3中最大的是Q1.分別作點B1，B2，B3關于原點的對稱點B1，B2，B3，比較直線A1B1，A2B2，A3B3的斜率大小，可得直線A2B2的斜率最大.所以，pl，p2，p3中最大的是p2.

小結 本題考查了考生分析和解決問題的能力及轉化與化歸的能力.第一問中，設Ai（si，mi），Bi（ti，ni），第i名工人加工零件的總數為mi+ni比較零件總數的大小，可轉化為比較

的大小，其中

表示線段AiBi的中點的縱坐標.第二問也可轉化為比較線段AiBi的中點與原點連線的斜率大小.

二、探索幾何圖形的內在規律

幾何圖形具有多樣化和直觀化的特征，圖形信息題是一類極富思考性、挑戰性和趣味性的問題.充分挖掘圖形內涵，全方位地審視圖形，全面掌握圖形所提供的信息，以形助數，是解答圖形信息題的關鍵.

例2如圖2，小正六邊形沿著大正六邊形的邊，按順時針方向滾動，小正六邊形的邊長是大正六邊形的邊長的一半.如果小正六邊形沿著大正六邊形的邊滾動一周后返回出發時的位置，在這個過程中向量OA圍繞著點O旋轉了O角，其中O為小正六邊形的中心，則sin

分析考生要仔細閱讀題意，分析圖形，從簡單情形、特殊位置入手，找到變化規律來解決問題.旋轉），從位置2變化到位置3時，向量OA繞點O旋轉了一3，則從開始位置變化到位置3時，小正六邊形正好滾過大正六邊形的一條邊，向量OA繞點O旋轉了-π.所以，小正六邊形沿著大正六邊形的邊滾動一周后返回開始位置，向量OA繞點O共旋轉了一6π，即o=-6π.于是可得sin +coS =sin（-π+cos（-π）=-1.

小結 本題主要考查考生的讀圖能力及有關向量、三角的基本運算能力.考生要注意全方位地審視圖形，而不能只局限在一兩個圖中.

三、提取統計圖信息構建數據模型

統計圖一般能直觀反映各種數據，具有可比較性和規律性.理解圖形內容，找出變化趨勢和規律，是解答統計圖信息題的關鍵.

例3 （2017年高考全國卷三理科卷第3題）某城市為了解游客人數的變化規律，提高旅游服務質量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數據，繪制了折線圖，如圖3所示.

根據該折線圖，下列結論錯誤的是

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩

分析根據已知的月接待游客量的數據，逐一分析給定的四個結論的正誤.

解由圖3可知.8月份后月接待游客量減少，選項A錯誤.其他選項均正確.選A.

小結將頻率分布直方圖中相鄰的矩形的上底邊的中點順次連接起來，就得到一條折線，我們稱這條折線為本組數據的頻率分布折線圖.頻率分布折線圖的首、尾兩端取值區間兩端點需分別向外延伸半個組距，即折線圖是頻率分布直方圖的近似，它們比頻率分布表更直觀、形象地反映了樣本的分布規律.

四、抽象表格信息構建合適模型

表格能集中給出解題信息，簡潔明了.理解表中的內容，根據數據特征找出數量關系進行計算或推理，是解答表格信息題的關鍵.

例4 函數f（x）=ax3+bx2+cx+d的部分數值如下：

則函數y=lg f（x）的定義域為____

分析 通過觀察可知表中有三個X值可使y=0，聯想二次函數的零點解析式y=a（x一x1）（x-x2），不難設出函數f（x）的解析式，進而求出函數y=lgf（x）的定義域.

解設f（x）=a（x+1）（x-l）（x-2）.由f（0）=4，可得a=2，所以f（x）=2（x+1）（x-l）（x-2）.要使y=lgf（x）有意義，則f（x）=2（x+1）（x-l）（x-2）>0，由數軸標根法解得-l2.

所以，函數y=lg f（x）的定義域為（-1，1）U（2，+oo）.

小結本題屬于開放性問題，它把求函數解析式與高次不等式的解法巧妙地結合在一起，而且給出了多余的條件信息，這些正是題目命制的創新之處.考生在解答這類信息過剩的問題時，要注意從眾多的信息中，觀察、分析、篩選，放棄無用的信息，挑選出與解題有關的信息，找到解題的突破口.這種能力正是在當今“信息大爆炸”的社會所需要的能力.解答這類背景新穎的創新試題，要善于觀察分析，挖掘問題的本質特征，聯想熟悉的問題（如本題中聯想二次函數的零點解析式），通過類比遷移使問題得到解決.這種聯想、類比、遷移的能力是繼續學習和發明創造的需要，因而也是現在高考考查的熱點.