金融數學方差模型研究中出現的演化偏微分方程

孫 得

（山東科技大學 山東 青島 266590）

1 引言

金融數學中的一個重要問題是在不確定條件下最優投資消費決策的數學建模。投資消費問題在許多作品中進行了廣泛的調查，并進行了各種修改和擴展。Cox和Cox和Ross導出了眾所周知的常數方差彈性（CEV）期權定價模型，Schroder之后擴大了該模型，指出了非中央卡方分布的CEV期權定價公式，CEV模型主要用于調查期權和資產定價公式，正如Beckers所調查的那樣。在這里，我們重新考慮CEV模型。文獻調查證明，近期有少數研究報道了其解決方案的介紹。盡管如此，就我們所知，尚未發表關于CEV模型的封閉式解決方案的工作，這是本工作的目標。經典的李對稱理論是由挪威數學家Marius Sophus Lie（1842—1899）在十九世紀發現的。該理論系統地將廣為人知的特設方法聯系起來，以找到微分方程的精確解。經過多年的發現，李的理論在二十世紀中葉的俄羅斯新西伯利亞的Ovsiannikov和西方的Birkhoff和Olver得到了推廣。李的理論是找到非線性偏微分方程的精確解析解的最有效的工具之一，并且建立在單變量點變換下不變性分析的基礎上。

最近，李的理論已被應用于數學金融的偏微分方程（PDE）上。關于這個問題最早的研究之一是[2]，其中討論了經典的Black-Scholes方程。通過李群方法的債券定價方程在[3]中進行了研究，提出了一些著名的金融數學模型的不變分析。最近，李的理論已被應用于金融數學的各種偏微分方程。

在本文中，我們討論了CEV模型下的最優投資消費問題。

從李對稱的角度來看。李氏理論的應用通常將兩個獨立變量的偏微分方程簡化為一個常微分方程，并為我們提供了群體不變解。通過使用[4]中證明的一般定理，還為CEV模型構造了一些非平凡的守恒定律。

我們計算模型方程（1）承認的李對稱性，并利用它們獲得滿足終端條件（2）的PDE（1）的閉型群不變解。關于李對稱方法及其在各個學科中的應用的詳細描述，讀者可參考文獻[5]。然而，在本節中，我們將詳細計算（1）的找到李點對稱性。為了便于使用李群方法進行計算，我們在表單中重寫了PDE許多研究人員已經開發出了各種解析偏微分方程的方法，如經向散射變換，B?cklund變換，Hirota雙線性方法，我們現在通過利用李對稱代數，得到PDE（3）的閉式群不變解。首先我們計算滿足終端條件（2）的（3）所承認的對稱李代數。我們考慮了Lie點對稱的線性組合，即

因此，滿足條件的（1+1）演化PDE（3）的解由下式給出

我們導出了（1+1）演化偏微分方程（3）的守恒定律。在經典物理學中，守恒定律是描述能量，質量，線性動量，角動量和電荷守恒的物理量。關于守恒定律的一個特別重要的結果是著名的Noether定理，當與相應的拉格朗日方程相關的Noether點對稱性已知為相應的歐拉--拉格朗日方程時，這給出了一種建立守恒定律的復雜而有用的方法。

描述CEV模型[1]下最優投資消費問題的演化（1+1）PDE（1）滿足邊界條件的經典Black-Scholes-Merton方程，該方程不同于最常見情況。眾所周知，進化（1+1）偏微分方程（1）通過等價變換與熱方程相關，因此可以得到它的一般解。然而，在本文中，我們首次利用李群方法解決了終端條件（2）下的偏微分方程（1）。這證明了李的理論的有用性。我們找到了演化PDE（1）的四維Lie對稱代數。使用非平凡Lie點對稱算子，我們已經證明，控制PDE可以轉化為二階變系數ODE。求解簡化的ODE以獲得也滿足終端條件的CEV模型的新的精確閉合形式解。因此，第一次應用李氏理論得到（1）的閉式解。這是第一次從群體理論角度考慮最優投資消費問題的演化PDE（1），并且文獻中已經推導出了守恒定律。