分數階統計分布與金融投資①

王治力 陳秋同 王俊杰

摘 要：在金融投資領域，常會遇到根據歷史行情對未來行情走勢進行預測的問題，對此本文通過樣本總體分布判斷，建立Lévy穩定分布決策模型擬合數據，求解分布統計量。根據分布統計量求解金融投資的兩大重要參數，最終得到企業金融投資決策問題的一類優選方法。

關鍵詞：Lévy穩定分布 置信區間 金融投資 正態分布

中圖分類號：F832 文獻標識碼：A 文章編號：2096-0298（2018）12（b）-051-02

1 分數階統計分布簡介

分數階統計分布及其隨機過程是一類廣泛應用于描述非高斯變量和非馬爾科夫過程的統計方法。Lévy穩定分布是一種具有冪律特征的分數階統計分布，其概率密度或累計分布曲線表現為尖峰拖尾特征，尾部為冪律衰減，對應的隨機過程可以描述長程相關性和突發性。1963年Mandelbrot首次將其用于金融領域。

2 問題引入

金融市場與一般商品市場的根本區別在于它的收益的不確定性，在日趨復雜的市場條件下，想要在變幻莫測的金融市場中作出合理的、科學的決策，采用合理的數學方法，從經驗投資向科學投資發展至關重要。

現有一公司欲拿出1000萬元流動資金進行股票投資，該公司在過去的255個股票交易日中的日收益額（如表1所示）。該公司打算根據上述歷史行情進行決策，其中日均十萬元損失率與置信度95%的日均損失額為兩個重要的參考指標。本文使用分數階統計分布方法對該問題進行求解。

3 模型假設

（1）假定表1中的數據為每天結算一次且保持每天在市場上的投資額為1000萬元。

（2）由于市場受眾多隨機因素影響，因此認為每天公司收益額數據之間相關性極弱，近似認為相互獨立。

（3）所給數據具有真實性、代表性、可靠性。即忽略統計誤差，排除人為因素，認為此數據是正常市場投資的結果。

4 模型的求解

4.1 基于分數階統計分布的投資決策模型

Lévy穩定分布是一類分數階統計分布，該分布的概率密度函數具有尖峰、非對稱、拖尾特征?？坍嫶祟惙植夹枰膫€參數，分別是穩定系數α、傾斜指數β、尺度參數γ和位置參數δ，參數的取值范圍分別為：

0≤α≤2，-1≤β≤1，γ>0，δ∈R。

正態分布和柯西分布是其穩定指數等于2和1時的特殊情形。

Lévy穩定分布傾斜指數能夠刻畫收益額統計分布的拖尾特征，為研究金融投資收益額的統計分布提供了一種更為優良的方法。

此外，由于Lévy穩定分布的概率密度函數和累積分布函數均沒有統一的解析表達式，因此，采用合適的軟件工具十分必要，本文利用一種Lévy穩定分布軟件工具包及相關程序實現分布統計量的計算。

4.2 Lévy穩定分布參數計算

為了刻畫Lévy穩定分布，首先需要計算Lévy穩定分布的四個參數，利用經驗特征函數法估計收益額樣本對應的Lévy穩定分布參數（如表2所示）。

對得到的標準Lévy模型做進一步分析，對樣本數據與Lévy隨機數做K-S檢驗，得到顯著性水平值為0.3921（置信水平為0.05），接受原假設H0，即樣本數據滿足Lévy總體分布。對比正態總體的K-S檢驗水平0.028，易知Lévy穩定分布相比高斯分布更適合該投資決策模型。

類似的，利用經驗特征函數法，結合CMS生成的Lévy隨機數作為標準模型求出對應的統計參數。值得說明的是，一般有兩種方法可以求解分布函數：經驗特征函數法與百分位法，后者具有更高的計算效率，但誤差稍大，因此本模型中均選取經驗特征函數法計算分布函數。表3是兩種方法求得的Lévy穩定分布統計量與標準Lévy分布的對比。

圖1是樣本累積分布函數與Lévy累積分布函數圖，樣本擬合得到的經驗分布函數與標準Lévy曲線基本重合，可見用Lévy穩定分布來模擬金融投資行為是較為可靠的。

4.3 模型求解

通過MATLAB使用多項式函數擬合樣條曲線，可以得到9次擬合多項式約為（由于matlab只能得到各系數取值的置信區間，本文中多項式各系數為置信區間中值）：

則下一交易日的日均十萬元損失率為：P （ x < -10）=F（-10）=0.03944，故而下一周期損失超過十萬元的概率為3.944%。置信度95%的日均損失額為F-1（0.05）=8.8185，故而在95%置信度下損失不超過8.8185萬元。

5 模型分析與推廣

本文通過Lévy穩定分布模型對金融投資中的重要參數進行估計，由于本問題的日收益樣本概率密度函數具有尖峰拖尾特征，故從理論上分析，采用Lévy穩定分布可以得到較高斯分布更為優化的結果。本文中通過對Lévy穩定分布進行K-S檢驗，發現Lévy穩定分布的顯著性水平低于正態分布，證明了Lévy穩定分布在金融投資問題解決中的優越性。除了金融投資之外，Lévy穩定分布模型還廣泛應用于反常擴散，信號處理等領域。

參考文獻

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①基金項目：“江蘇高校品牌專業建設工程資助項目”（英文標志：Top-notch Academic Programs Project of Jiangsu Higher Education Institutions，簡稱：TAPP）。