廣義透水邊界下壩基非線性一維固結(jié)分析

宋劍鵬 謝晨 朱洵 石北嘯

摘要：壩基透水邊界對(duì)壩體滲流特性具有重要影響。針對(duì)壩基的非線性固結(jié)特性及實(shí)際工程中存在的廣義透水邊界，提出了符合非線性一維固結(jié)特征的廣義透水邊界條件，建立了廣義透水邊界下的非線性一維固結(jié)理論模型，并給出了相應(yīng)的解析解。通過公式的退化，導(dǎo)出了一系列經(jīng)典解答。在解答正確性得到驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，通過算例分析了壩基非線性參數(shù)和廣義透水邊界條件等因素對(duì)土體固結(jié)特性的影響。

關(guān)鍵詞：解析解；廣義透水邊界；非線性固結(jié)理論；固結(jié)度

中圖分類號(hào)：TV223.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A doi：10.3969/j.issn.1000-1379.2018.09.023

1 引言

固結(jié)理論一直是土力學(xué)經(jīng)典課題之一。土體的固結(jié)規(guī)律不僅取決于土體的類別和狀態(tài)，而且與外界排水條件和受荷方式等因素密切相關(guān)。最早期的飽和土一維固結(jié)理論由Terzaghi首先提出川。其后，眾多學(xué)者針對(duì)Terzaghi一維固結(jié)理論的6個(gè)假定，結(jié)合土體及荷載特點(diǎn)進(jìn)行了大量修正工作。

在水庫工程中，壩基存在黏土，通常表現(xiàn)為非線性變形與滲流特性。Davis等[2]基于線性e-logσ'（e為孔隙比，σ'為有效應(yīng)力）關(guān)系，通過假定滲透系數(shù)kv和體積壓縮系數(shù)mv同步變化，得到固結(jié)系數(shù)Cv為常數(shù)，從而得到瞬時(shí)加載下固結(jié)方程的解析解。Barden等[3]基于線性e-log，σ'關(guān)系以及kv與孔壓u的簡(jiǎn)單關(guān)系，采用有限差分法得到了固結(jié)解答。Mesri等[4]基于線性e-logσ'和線性e-log k，關(guān)系，同樣采用有限差分法得到了固結(jié)解答。然而以上研究中，除了Cv為常數(shù)的特殊情況外，解析解一般無法求得，只能借用數(shù)值法獲得解答。為此，Lekha等[5]采用近似處理的方法得到了非線性固結(jié)解析解，并通過大量試驗(yàn)證明了結(jié)果的正確性。

除了壩基土體自身材料的復(fù)雜性外，工程外在因素如壩基排水條件等也會(huì)對(duì)固結(jié)性狀產(chǎn)生較為顯著的影響[6]。在經(jīng)典固結(jié)理論中，透水邊界與不透水邊界由邊界處孔壓u來界定，即

u=0（透水邊界）式中：z為豎向坐標(biāo)。

考慮介于透水與不透水邊界之間更為普遍的排水條件Gray[7]提出了半透水邊界條件：其中

R=ksH/（kvL）式中：H為地基土厚度；L和ks分別為待固結(jié)土層邊界相鄰虛擬剛性土層的厚度與滲透系數(shù)。

半透水邊界條件的物理意義即待固結(jié)土層與相鄰虛擬剛性土層間的滲流連續(xù)條件。半透水邊界在實(shí)際固結(jié)方程計(jì)算中并不能簡(jiǎn)便求解，使得特殊邊界條件的計(jì)算問題難度大大提高，且半透水邊界條件并不能嚴(yán)格滿足初始條件，這使得固結(jié)方程不滿足解的適用性。梅國雄等[8-9]提出了一個(gè)更加廣義的透水邊界：

u|z=0=pexp（-bt）

u|z=H=pexp（-ct）（3）式中：p為瞬時(shí)施加的恒定外荷載；b、c為與土體排水性質(zhì)相關(guān)的參數(shù)，可通過試驗(yàn)?zāi)M或工程實(shí)測(cè)反演得出；t為時(shí)間。

本文在非線性一維固結(jié)理論的基礎(chǔ)上，研究廣義透水邊界下一維固結(jié)問題。通過Lekha等[5]的近似處理方法，得到了考慮線性e-logσ'和線性e-log kv關(guān)系的非線性一維固結(jié)解析解。通過分析比較，對(duì)軟黏土地基非線性一維固結(jié)性狀進(jìn)行了全面研究。

2 問題的描述

2.1 基本假定

針對(duì)非線性一維固結(jié)理論采取如下假定：①地基為均質(zhì)、飽和土層，土顆粒及水不可壓縮；②排水僅發(fā)生在豎向；③固結(jié)變形符合小應(yīng)變條件，且不考慮流變；④固結(jié)過程中，水在土中流動(dòng)符合Darcy滲流特性；⑤外荷載p為瞬時(shí)施加的恒定荷載；⑥固結(jié)過程中，孔隙比e與有效應(yīng)力σ'滿足e-logσ'線性關(guān)系；⑦固結(jié)過程中，孔隙比e與滲透系數(shù)kv滿足e-log kv線性關(guān)系。

2.2 控制方程

圖1為擬求解的地基計(jì)算模型簡(jiǎn)圖。土層是厚度為H的飽和黏土層，頂面與底面皆為廣義透水邊界，土層表面瞬時(shí)施加恒定荷載p。

e-log σ'、e-log kv線性關(guān)系和一維飽和土體的連續(xù)方程：

e=e0-cclog（σ'/σ'0）（4）

e=e0+cklog（kv/k0）（5）式中：e0為土體初始孔隙比；cc為土體壓縮指數(shù)；σ'0為土體初始有效應(yīng)力；ck為土體滲透指數(shù)；kv0為初始滲透系數(shù)；v為滲流速度。

根據(jù)式（4）、或（5）、式（6）可推得非線性一維固結(jié)控制方程（具體推導(dǎo)過程見文獻(xiàn)[5]）為其中

Cv0=kv0ln[10（1+e0）σ0']/（γwCc）式中：Cv0為初始固結(jié)系數(shù)；σf'為最終有效應(yīng)力；γw為水的重度。

作變量代換：則固結(jié)控制方程轉(zhuǎn)換為

2.3 邊界條件

飽和黏土層頂面與底面選用廣義透水邊界條件，為論證非線性固結(jié)模型求解的可行性，采用陳征等[10]針對(duì)非線性固結(jié)理論提出的廣義透水邊界：

2.4 初始條件

外荷載為瞬時(shí)施加的恒定荷載，瞬時(shí)荷載引起土體超靜孔壓均勻分布，則初始條件為

u|t=0=σf'-σ0'（0≤z≤H）（11）

3 問題的求解

3.1 超靜孔壓

式（9）在所給的邊界條件與初始條件下無解析解。為方便工程應(yīng)用，Lekha等[5]采用中值處理方法通過大量試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的合理性。本文基于Lekha近似法，將非線性項(xiàng)邊界條件式（10）及初始條件式（11）轉(zhuǎn)換為對(duì)邊界條件式（13）作非齊次邊界齊次化，得則控制方程、邊界條件和初始條件代換為

μ|z=0=0（17）

μ|t=0=0（18）

根據(jù)齊次邊界條件式（17），對(duì)邊值問題式（16）及式（18）作有限Fourier正弦變換，得

μ|t=0=0（20）其中

式（19）在初始條件式（20）下的通解為由有限Fourier正弦逆變換得在v已知的情況下，由代換關(guān)系可得將式（23）代回式（8）得

u（t，z）=σf'[1-ew（t，z）]（24）

式（24）即廣義透水邊界下非線性一維固結(jié)孔壓解答。

3.2 固結(jié)度

根據(jù)土體應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系的假定得固結(jié)度為式中：ef為σf'下的孔隙比。

將式（23）及式（24）代入式（25）得

4 解答退化

考慮上下皆為廣義透水邊界情況的非線性一維固結(jié)解答，根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)c=b時(shí)使用2H替換H可得

當(dāng)b→∞時(shí)，頂面透水邊界為完全透水邊界，式（28）退化為

式（29）即Lekha解答[5]。

在式（28）基礎(chǔ)上，滿足cc/ck=1，即η=1時(shí)，式（28）退化為

式（30）即陳征提出的解答[10]。

在式（30）基礎(chǔ)上，使b→∞，可得到Davis非線性一維固結(jié)解答[2]：

5 計(jì)算與分析

本算例所采用的地基參數(shù)：土層厚度H=10m，初始豎向固結(jié)系數(shù)Cv0=2×10-7m2/s，選取時(shí)間因素Tv0=Cv0t/H2。cc/ck一般為0.5～2.0，因此討論固結(jié)特性時(shí)，cc/ck在區(qū)間[0.5，2.0]內(nèi)取值。

圖2為不同cc/ck對(duì)固結(jié)過程的影響。

由圖2可以看出，在透水邊界條件及外荷載固定的情況下，固結(jié)度隨著cc/ck的增大而減少。且隨著cc/ck的增大，固結(jié)度減少的比例越來越小。因在σf'/σ0恒定的情況下，η會(huì)隨著cc/ck的增大而減小，間接相當(dāng)于固結(jié)系數(shù)隨著cc/ck的增大而減小，故固結(jié)度相應(yīng)減小。

當(dāng)cc/ck<1時(shí)，kv的變化速率小于mv，因此隨著cc/ck的減小，mv對(duì)固結(jié)度的影響逐漸起控制作用。當(dāng)cc/ck=0.5時(shí)，mv對(duì)固結(jié)度的影響占主導(dǎo)地位，即σf'/σ0'越大，固結(jié)度越大。從數(shù)學(xué)角度看，由于cc/ck<1，η隨σf'/σ0'的增大而增大，因此間接增大了固結(jié)系數(shù)，從而使固結(jié)度增大。

當(dāng)cc/ck>1時(shí)，kv的變化速率較mv大，因此隨著cc/ck的增大，kv對(duì)固結(jié)度的影響占主導(dǎo)地位，即σf'/σ0'越大，固結(jié)度越小。從數(shù)學(xué)角度看，cc/ck>1時(shí)，隨σf'/σ0'的增大η減小，使得固結(jié)度間接減小。對(duì)比圖3（a）、（b）可以看出cc/ck>1的情況下，σf'/σ0'對(duì)固結(jié)度的影響較cc/ck<1時(shí)小。

不同邊界條件對(duì)固結(jié)過程的影響見圖4。根據(jù)邊界條件式（10）可知，隨著參數(shù)b和。的增大，土層頂面及底面的孔壓消散速度加快，固結(jié)度增大。當(dāng)b=c=0時(shí)，土層頂面及底面的孔壓恒為初始超靜孔壓，即皆為完全不透水邊界，土中超靜孔壓無法消散；當(dāng)b=c→∞時(shí)，土層頂面及底面的孔壓恒為0，即皆為完全透水邊界，此時(shí)土中超靜孔壓消散速度最快。因此，隨著參數(shù)b和c的增大，土層固結(jié)度逐漸增大。

6 結(jié)論

在非線性一維固結(jié)理論的基礎(chǔ)上，提出了符合壩基非線性一維固結(jié)特征的廣義透水邊界條件，建立了廣義透水邊界下壩基非線性一維固結(jié)理論模型，給出了相應(yīng)的解析解，并通過公式的退化驗(yàn)證了解答的正確性。最后通過算例分析了不同條件下地基的固結(jié)特性。結(jié)論如下：

（1）在透水邊界條件及外荷載固定的情況下，固結(jié)度隨著cc/ck的增大而減小，且固結(jié)度減小的比例越來越小。

（2）當(dāng)cc/ck<1時(shí)，mv對(duì)固結(jié)度的影響逐漸起控制作用。此時(shí)，σf/σ0'越大，固結(jié)度越大；當(dāng)cc/ck>1時(shí)，kv對(duì)固結(jié)速率的影響占主導(dǎo)地位，即σf'/σ0'越大，固結(jié)度越小。

（3）隨著參數(shù)b和c的增大，土層頂面及底面的孔壓消散速度加快，固結(jié)度逐漸增大。

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