關于高階導數教學的幾點思考

李思彥

摘 要：高階導數作為一元函數微分學中的重要概念，是微積分的重要內容。高階導數對有效解決一些實際問題提供了重要的方法，也是后繼課程學習的一個重要基礎，但是學生在高階導數的學習中還存在著一定的問題。文章對高階導數教學進行了思考和總結，希望對高階導數的教學起到一定的促進作用。

關鍵詞：高等數學教學；高階導數；求導方法

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）08-0122-03

Abstract： As an important concept of calculus of one-dimensional functions， the higher order derivative is an important part of calculus. The higher derivatives provide an important method for solving some practical problems effectively， and are also an important basis for subsequent course learning. However， students have some problems in the study of higher derivatives. This paper considers and summarizes the higher derivative teaching， and hopes to promote the teaching of higher derivatives.

Keywords： advanced mathematics Teaching； Derivative of Higher Order； differentiation method

高階導數作為一元函數微積分中的重要概念，是高等數學教學的重要內容。高階導數是高等數學與實際問題相聯系的一個重要橋梁，它對于有效解決生活中的一些實際問題提供了重要的方法，例如曲線的凹凸性、極值問題、曲率等問題。高階導數也是課程后繼學習的一個重要基礎。本文對高階導數教學進行了思考和總結，希望對高階導數的教學起到一定的促進作用。

一、利用實例引入，增強學生學習興趣

愛因斯坦曾經說過：“興趣是最好的老師”。培養學生學習數學興趣的途徑是多種多樣的，在高等數學教學上，引入實例，有利于學生了解高等數學在實際生活、具體問題中應用，啟發學生思考，提高學生學習高等數學的興趣。高等數學教材中高階導數的實例一般都是“路程與加速度的關系”這個例子，其實適用于高階導數應用的實例不少，例如“國防預算增長問題”、“曲線的凹凸性”、“通貨膨漲率升降問題”、“股票價格升降問題”、“最值及最優化問題”等。利用實例引入課題，目的是通過實際生活、具體問題中的實例，增強學生學習興趣。

實例 曲線的凹凸性

設函數y=f（x）在區間I上連續。在區間I內任意作曲線y=f（x）的切線，若曲線總是在切線上方，則稱此曲線在區間I上是凹的；若曲線總是在切線下方，則稱此曲線在區間I上是凸的。如圖1，弧AB是凸的，弧BC是凹的。從圖中可以看出，對于曲線凸弧AB，當x增加時，其切線的斜率在減少，曲線凸弧BC，當x增加時，其切線的斜率在增加；再由導數的幾何意義，處處存在不垂直x軸的切線的曲線的凹凸性可以由導數的導數的符號來判定。導數的導數稱為二階導數，二階導數的導數稱為三階導數，以此類推，n-1階導數的導數稱為n階導數。

二、引導學生了解高階導數在課程中的重要性

高階導數是高等數學的重要教學內容。一方面，高階導數對于用高等數學有效解決生活中的一些實際問題提供了重要的方法，例如彎曲道路設計，橋梁的抗彎模量等；另一方面，高階導數是高等數學的重要知識點，它與我們后面學習的高等數學的很多重要內容相關。高等數學中與高階導數相關的重要內容和知識點，包括：泰勒公式、曲線凹凸性與拐點、極值與最值、曲率、高階偏導數、無窮級數、微分方程等。例如，無窮級數這章的將函數展開成冪級數和傅里葉級數兩節中，先利用高階導數給一般項的系數表達式，再給出函數的展開式。因此，高階導數是無窮級數的重要基礎。學好高階導數，不僅能使學生學到必要的高等數學的基本知識點和技能，而且能為學生進行后期的高等數學學習打好基礎。

三、強化求導方法教學是學好高階導數的基礎

一般來說，數學的學習都比較枯燥乏味，除了概念是比較抽象以外，主要還是學生對所給題目“算不出來”或者“不會做”。教師在教學中要注意引導學生掌握更多的方法來處理實際計算問題，形成能解決實際計算問題的滿足感，增強學生學習興趣。在高階導數的教學過程中，要用一定量的例題來強化求高階導數的方法與技巧的教學，尤其要重視基本方法和重要技巧的介紹，它是學好高階導數的基礎。求解高階導數的一些方法與技巧總結如下：

（一）按定義逐階求導

當只需求比較低階的高階導數（如二階、三階）時，一般采取按定義逐階求導的方法求導。利用高階導數的定義式（增量比極限）求導可看成是此法的特殊情形，分段函數在分界點處的高階導數常用此法。隱函數和參數方程確定的函數的高階導數求導方法也可歸為此法。

四、關注考研和數學競賽，拓寬學生知識面

在高等教育不斷發展、日新月異的今天，教師要以發展的眼光看待高等數學，應該賦予高等數學課程建設更多的動態理念，不斷維護和調整其廣度和應用的內涵，使其更好地為培養高素質人才服務。考研數學主要以考察大學數學的基本概念、基本方法和基本原理為主，考研試題難度適宜，是很好的教學素材；大學生數學競賽主要側重于考查參賽者分析問題、解決問題的能力，強調創新意識和創新思維，競賽試題內容能體現現代數學的思想和方法及其應用。積極關注考研和數學競賽的發展趨勢，優化學生數學知識結構，拓寬學生知識面，提高學生的學習興趣，為學生對進一步的數學和專業學習打下良好基礎。高階導數歷年來都是考研和大學生數學競賽的重要考查內容，考查題型可以是客觀題也可以是主觀題，計算高階導數關鍵在于掌握求導的方法。

考研和數學競賽指導書常會有相關的計算方法總結，這是學生在數學上形成新知識、拓寬知識面的重要方法、步驟。在高階導數求法中，一般的考研和競賽參考書都會介紹-利用泰勒展開式求導，該法先利用間接法求出函數的泰勒展開式，若其在x0點處的泰勒展開式為

五、結束語

在高等數學教學中，高階導數是比較重要的內容，可以幫助學生更好地解決函數的極值、凹凸性、曲率、無窮級數等問題，因此需要作為教學重點來對待。教師在實際教學中應增強學生學習興趣，強化求導方法教學，為學生對進一步的相關知識點的學習打下良好基礎。在課堂教學中，要注意對知識點之間的聯系進行講解，使學生清晰地了解高階導數的作用、應用。

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