高階控制系統(tǒng)剪切頻率求解方法研究

薛娓娓　李娣娜　馬惠鋮

摘 要：針對高階控制系統(tǒng)剪切頻率求解時所遇到的問題，本文提出三種簡單實(shí)用且易掌握的解決方法，并通過實(shí)際例題對求解過程進(jìn)行詳細(xì)闡述和說明。文中提出的三種方法實(shí)用性強(qiáng)，有效提升了高階控制系統(tǒng)中分析和校正效率，更好發(fā)揮了頻域分析法在經(jīng)典控制理論中的作用。

關(guān)鍵詞：高階控制;剪切頻率;求解

中圖分類號：TM935文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1003-5168（2018）31-0025-02

Research on the Method of Solving Shearded Frequency

of High Order Control System

XUE Weiwei LI Dina MA Huicheng

（Xi'an Innovation College of Yan'an University，Xi'an Shaanxi 710100）

Abstract： In view of the problems encountered in solving the shear frequency of high-order control systems， this paper proposed three simple， practical and easy to grasp solutions， and elaborated and explained the solution process through practical examples. The three methods proposed in this paper are practical， effectively improve the analysis and correction efficiency in high-order control systems， and better play the role of frequency domain analysis in classical control theory.

Keywords： high-order control;shear frequency;solve

頻域分析法在經(jīng)典控制理論中有著舉足輕重的作用，是系統(tǒng)分析和系統(tǒng)校正的主要方法，其中核心處理方法就是求解系統(tǒng)剪切頻率，但剪切頻率直接求解難度很大，且控制系統(tǒng)階數(shù)一般都比較高，很容易出現(xiàn)錯誤，這給相關(guān)教學(xué)帶來了很大困難。筆者結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗，總結(jié)出下面三種求解系統(tǒng)剪切頻率的方法，這三種方法簡單實(shí)用，且容易掌握，達(dá)到了快速、準(zhǔn)確求解高階系統(tǒng)剪切頻率的目的。

1 “近似取舍法”求解

利用數(shù)學(xué)知識，對式[x2+1]進(jìn)行分析，若[x]取值比1小很多，則式[x2+1]的值可用1代替，即舍掉[x2]，取1為結(jié)果;若x取值比1大很多，則式[x2+1]的值可用近似代替，即將1舍掉，取[x2]為結(jié)果。

高階控制系統(tǒng)的幅值表達(dá)式，是由構(gòu)成該系統(tǒng)所有子環(huán)節(jié)幅值相乘而得，每個環(huán)節(jié)的幅值中都含有形如式[x2+1]的項。在求解控制系統(tǒng)剪切頻率[ωc]時可理解為求各環(huán)節(jié)時間常數(shù)的倒數(shù)，即轉(zhuǎn)折頻率[1]。若能確定剪切頻率[ωc]的取值范圍，就可以比較各環(huán)節(jié)[ωcωm]和1的大小，從而應(yīng)用上述取舍法則和剪切頻率的定義式求解出控制系統(tǒng)的剪切頻率[ωc]。

例1：某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為[Gs=1000.5s+1s2.5s+10.04s+1]，求解其剪切頻率[ωc]。

分析：該系統(tǒng)是I型三階系統(tǒng)，為典型高階系統(tǒng)，畫出系統(tǒng)Bode圖，如圖1所示。

剪切頻率[ωc]范圍為2～25rad/s。由于Bode圖的橫坐標(biāo)是按對數(shù)刻度的非線性刻度，可取剪切頻率[ωc]為靠近25rad/s的一個值。由剪切頻率[ωc]的定義可得求[Aωc]，如式（1）所示。

[Aωc=1000.5ωc2+1ωc·2.5ωc2+1+1·0.04ωc2+1=1]? ? （1）

將任意一個靠近25rad/s的剪切頻率[ωc]值代入式（1）中，按“近似取舍法”可得[Aωc≈100·0.5ωcωc·2.5ωc·1=1]，易求得[ωc]為20rad/s。故求解剪切頻率在2rad/s至25rad/s之間且靠近25rad/s處。

“近似取舍法”是求控制系統(tǒng)剪切頻率的通用方法，適合大多數(shù)情況的剪切頻率的求解，正確應(yīng)用該方法關(guān)鍵在于準(zhǔn)確確定剪切頻率的取值范圍。該方法分析和計算量小，簡單易懂，并能對所求結(jié)果進(jìn)行驗證。

2 “斜率定義法”

控制系統(tǒng)的Bode圖是二維坐標(biāo)系的一種，二維坐標(biāo)中斜率的定義為[k=ΔyΔx]，其中[Δx]和[Δy]分別為二維坐標(biāo)中某點(diǎn)的橫坐標(biāo)增量和縱坐標(biāo)增量。若系統(tǒng)Bode圖中確定頻率處的幅頻特性值已知，則可通過幅頻特性值求解其剪切頻率[2]。

例2：某最小相位系統(tǒng)的Bode圖如圖2所示，求解其剪切頻率[ωc]。

分析：由題目給出的系統(tǒng)Bode圖可知，轉(zhuǎn)折頻率[ω]為1rad/s時，幅頻特性值為20lg2，剪切頻率[ωc]處以斜率為-40dB/dec穿越零分貝線，即該點(diǎn)幅頻特性值為0，應(yīng)用斜率定義可得[-40=0-20lg2lgωc-lg1]。已知系統(tǒng)Bode圖的橫坐標(biāo)是按對數(shù)刻度的非線性刻度，橫坐標(biāo)增量要寫成對數(shù)差值形式，故求得[ωc=2rad/s]。

“斜率定義法”是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識求解待求參量的典型應(yīng)用，該方法不僅可以求解系統(tǒng)的剪切頻率，通過合理利用，還可求解復(fù)雜控制系統(tǒng)中的其他參數(shù)。

3 “典型Bode圖法”

在對控制系統(tǒng)分析或校正時，不難發(fā)現(xiàn)其Bode圖有以下規(guī)律：大多數(shù)系統(tǒng)的Bode圖都是一條斜率僅在轉(zhuǎn)折頻率處改變且幅頻特性逐漸減小的連續(xù)折線，原因是控制系統(tǒng)要兼顧“穩(wěn)，快，精”的性能指標(biāo)要求[3]。Bode圖高頻段主要反映系統(tǒng)的抗干擾能力，對剪切頻率影響較小，剪切頻率主要由其低頻段的開環(huán)放大倍數(shù)和型數(shù)，以及中頻過渡段和中頻段環(huán)節(jié)決定。

例3：分別求解如圖3所示的三種系統(tǒng)Bode圖的剪切頻率[ωc]。

由圖可知，圖3（a）中未給出具體數(shù)值，求解出的剪切頻率為一個通用表達(dá)式，根據(jù)題目給出的波特圖形式設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為[Gs=KsT1s+1]，其中[ω1=1T1]。由剪切頻率可求[ωc]，如式（2）所示。

[Aωc=Kωc·ωcω12+1=1]? ? ? ? （2）

由Bode圖可知[ωc]大于[ω1]，按“近似取舍法”可得[Aωc≈Kωc·ωcω1]，整理可得[ωc=Kω1]。同理可求圖3（b）和圖3（c）的剪切頻率[ωc]，過程省略，結(jié)果如下：

圖3（b）中，[ωc=Kω1ω2];圖3（c）中，[ωc=Kω1ω2]。

在應(yīng)用“典型Bode圖法”求解系統(tǒng)剪切頻率時，若其Bode圖為上述總結(jié)的形式之一，在傳遞函數(shù)參數(shù)給定的情況下可依據(jù)其形式特點(diǎn)快速計算出系統(tǒng)的剪切頻率[4]。只要熟練記憶Bode圖形式和結(jié)論，求解問題時速度會更快，特別適合不需要解題過程的場合。

4 總結(jié)

本文總結(jié)的三種求解剪切頻率的方法具有計算量小、容易掌握的優(yōu)點(diǎn)，能快速準(zhǔn)確地求解系統(tǒng)剪切頻率，每種方法都有其應(yīng)用的場合及特點(diǎn)，需要根據(jù)情況選擇不同的剪切頻率求解法。總之，這三種求解剪切頻率方法實(shí)用性強(qiáng)，且簡單易掌握，有效解決了高階控制系統(tǒng)分析和校正復(fù)雜易錯的問題。

參考文獻(xiàn)：

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[4]李素玲.自動控制原理[M].成都：電子科技大學(xué)出版社，2007.