五階群唯一性證明

劉英偉　張洋

摘 要：證明五階群的唯一性.運(yùn)用群的定義以及群乘法表的重排規(guī)律，簡單明了、邏輯嚴(yán)密地推導(dǎo)了五階群的完整乘法表，證明五階群的唯一性，證明五階群是對易群，即阿貝爾群.

關(guān)鍵詞：群論；五階群；乘法表

[中圖分類號(hào)]O152 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

Abstract：By the group definition and the rule of rearrangment of group multiplication table， the multiplication table of the five order group is deduced plainly and logically. It is proved that the five order group is unique and commutative.So the five order group is Abel group also.

Key words：group theory； five order group； multiplication table

群論是近代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，由19世法國天才數(shù)學(xué)家伽羅華創(chuàng)建.[1]它的出現(xiàn)對后世數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響，其重要程度不亞于物理學(xué)領(lǐng)域的傅里葉變換[2-3]，在物理、化學(xué)、計(jì)算機(jī)、機(jī)械、建筑、美術(shù)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.[4]群就是一些按一定乘法規(guī)則聯(lián)系起來的元素組成的一個(gè)集合.群元素之間的關(guān)系，是群的靈魂.元素間通過一定的乘法關(guān)系建立聯(lián)系，這種聯(lián)系可以用乘法表表示出來.對于4階群，有兩種乘法表[4]，即群不是唯一的.而5階群則只有一種乘法表，因而是唯一的.關(guān)于5階群的唯一性，有關(guān)教科書或文獻(xiàn)都沒有給出證明，本文根據(jù)群論的一般規(guī)則，通過簡單明了的方式證明五階群的唯一性，并給出群的完整乘法表，證明五階群是可對易的，即為阿貝爾群.

1 群的基本概念

如果一個(gè)集合G={e，a，b，c…}中的元素滿足下面四個(gè)條件，那么這個(gè)集合就是一個(gè)群：

（1）集合中任意兩個(gè)元素的乘積必為群內(nèi)另一元素，如 ab=c；

（2）元素之間乘法滿足結(jié)合律 （ab）c= a（bc）；

（3）在集合中存在單位元素e，它和群內(nèi)其他任意元素的乘積仍得到元素本身，即ea=a，eb=b，ec=c；

（4）集合中任意元素a，必定存在一個(gè)逆元a-1，使得aa-1= a-1a =e.

滿足以上四個(gè)條件的集合就稱為群，群中元素的個(gè)數(shù)稱為群的階，而群的乘法是指元素之間運(yùn)算關(guān)系，它不是單純意義上的乘法，比如全體實(shí)數(shù)之間按加法運(yùn)算，就構(gòu)成一個(gè)群，這里的加法就是“乘法”.

2 五階群唯一性證明

五階群，顧名思義群中含有五個(gè)元素，不妨設(shè)其為{E，A，B，C，D}，其中E為單位元素.一個(gè)群的靈魂在于元素之間的運(yùn)算關(guān)系，群的階數(shù)越高，元素之間的運(yùn)算關(guān)系越復(fù)雜，各種可能性增多，導(dǎo)致群的種類不止一種.例如四階群有兩種，對于五階群，可能性只有一種，下面證明之.

表1為群的乘法表.首先可以根據(jù)群的基本規(guī)則確定第一行和第一列的乘法結(jié)果.根據(jù)定義（3），這些結(jié)果是顯而易見的.其他尚不能立刻確定的元素暫時(shí)空下，用數(shù)字代表，后面的工作就是利用群的定義逐步確定它們.

2.1 元素1的確定

元素1是A和A相乘的結(jié)果.根據(jù)群定義（1），A和A相乘結(jié)果必為群里的其他元素，這樣就存在以下幾種可能：AA=E，AA=B，AA=C或AA=D.可以立刻否定AA=E.因?yàn)槿绻鸄A=E成立，則{E，A}可以構(gòu)成五階群的子群，階數(shù)為2.但是由于子群的階數(shù)必為群階的因數(shù)[12]，而2不是5的因數(shù)，因此AA=E不成立.這樣就只剩下AA=B， AA=C或AA=D.實(shí)際上這三者是等價(jià)的，只需討論AA=B即可.這樣表1中的元素1就確定為B，于是在表1的基礎(chǔ)上就得到表2.

2.2 元素2，3，4的確定

表2中元素2為AB相乘的結(jié)果，同樣根據(jù)群定義（1），AB有以下三種可能性：AB=E，AB=C和AB=D，下面分別討論.

2.2.1 AB=E

如果這種情況成立，則2=E.這樣剩下的3和4只能是C，D或D，C.根據(jù)乘法表重排規(guī)律，表中每一行或每一列均不能有重復(fù)元素，因此必有3=D，4=C，即AC=D ，AD=C.這樣的話，由AD=C可得AAD=AC，而AA=B， AC=D，因此得到BD=D，從而有B=E，這樣群里出現(xiàn)兩個(gè)單位元素，而這是不可能的，因而AB=E是不可能的.

2.2.2 AB=C

剩下的兩種可能是AB=C和AB=D，不過二者是等價(jià)的，這將在后面詳細(xì)討論，現(xiàn)在不妨取AB=C.當(dāng)AB=C時(shí)，必有3=D，4=E.這樣就得到表3.

2.3 元素5，6，7，8的確定

在表3的基礎(chǔ)上，由于AA=B，因而AAA=AB，于是有BA=AB=C，從而 5=C.另外，根據(jù)AA=B，還可得到 AAB=BB，因此得到AC=BB=D，從而6=D.另外，由AA=B，還可得到AAC=BC，再根據(jù)AC=D，即可得出AD=BC=E，即7=E.當(dāng)元素5，6，7確定后立刻可以確定8=A.因此表3進(jìn)一步完善為表4.

2.4 元素9，13的確定

根據(jù)表4可知，AD=E，因此ADA=EA，即DA=A-1EA，因此DA=A-1A=E，即13=E.13確定后，立刻可以確定9=D，見表5.

2.5 元素10，14的確定

因?yàn)锳B=C，從而有ABB=CB，而BB=D，因此AD=CB，從而 CB=E，即10=E.據(jù)此可立刻得出14=A，見表6.

2.6 元素11，12，15，16的確定

根據(jù)表6可知，AB=C，從而ABC=CC.又因?yàn)锽C=E，因此，AE=CC，即CC=A=11.這樣可立刻得到12=B，15=B和16=C.于是一張關(guān)于五階群的完整乘法表就得到了，見表7.在2.2.2中，存在AB=C和AB=D兩種可能，只考慮了AB=C這種情況.其實(shí)AB=C和AB=D是等價(jià)的，如果取AB=D的話，重復(fù)上述推理過程，會(huì)得到另一張乘法表8.表8與表7雖然表面上看不一樣，其實(shí)是等同的：只要將表8中所有的C，D互換成D，C，并令C，D兩行對調(diào)，然后再令C，D兩列對調(diào)，得到的結(jié)果與表7一樣.

3 結(jié)論

（1）通過理論推導(dǎo)得到了五階群的乘法表，該表是唯一的，從而證明了五階群是唯一的.

（2）群元素是可對易的，因而五階群也是阿貝爾群.

參考文獻(xiàn)

[1] 張端明，鐘志成.應(yīng)用群論導(dǎo)引：第二版[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，

2001.

[2] 關(guān)雪梅，王曉東.快速傅里葉變換（FFT）與小波變換技術(shù)[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2002（4）：19-20.

[3] 王曉東，王榮芝.傅立葉變換在圖像處理中的應(yīng)用[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003（3）：22-24.

[4] 陳念駭，高坡，樂征宇.量子化學(xué)理論基礎(chǔ)[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2002.

編輯：琳莉