《信號與線性系統分析》課程中的一個注解研究

楊利軍　王浩

摘 要：傅里葉變換在信號分析中占據著舉足輕重的地位，也是《信號與線性系統分析》課程中的重要學習內容，單位沖激函數是該課程的一個基本概念。本文對該課程中關于周期單位沖激函數序列的傅立葉變換進行研究，給出了教學過程中所遇到的問題的求解，對傅里葉變換及傅里葉級數等內容的教學有積極的指導作用。

關鍵詞：周期信號;傅里葉級數;單位沖激函數;傅里葉變換;周期單位沖激函數序列

中圖分類號：TN911.6-4;G642 文獻標識碼：A 文章編號：1003-5168（2018）31-0051-03

An Annotation in the Course of Signal and Linear Systems Analysis

YANG Lijun1 WANG Hao2

（1.College of Mathematics and Statistics， Henan University，Kaifeng Henan 475004;2.College of Textile Engineering and Art， Anhui Agricultural University，Hefei Anhui 360036）

Abstract： Fourier transform plays an important role in signal analysis， also being an important content in the course of Signal and Linear System Analysis. Meanwhile， unit impulse function is a basic concept in this course. This paper studied the Fourier transform of the periodic unit impulse function sequence. Moreover， we provided some discussion of the problem encountered in the teaching of this course， which could be an effective instruction manual for future teaching of the Fourier transform and Fourier series.

Keywords： periodic signal;fourier series;unit impulse function;fourier transform;periodic unit impulse function sequence

《信號與線性系統分析》是理工專業的重要基礎課程之一。該課程主要研究確知信號的特性、線性時不變系統的特性、信號通過線性時不變系統的基本分析方法及信號與系統分析方法在某些重要工程領域的應用。隨著計算機技術和數字信號處理技術的飛速發展，該課程中一些核心的基本概念和方法，對工程類、信息類專業來說也是十分重要的。本文對該課程中關于周期性單位沖激函數序列的傅立葉變換進行研究，對教學過程中學生普遍存在疑惑的問題進行探討，該內容對傅里葉變換及傅里葉級數等內容的教學能起到積極的指導作用。

1 傅里葉級數和傅里葉變換

眾所周知，對于周期為[T]的周期函數[f（t）]，當其滿足狄里赫利（Dirichlet）條件時，可以展開成如式（1）所示的指數型傅里葉級數[1]：

[ft=n=-∞∞FnejnΩt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

其中，[Ω=2πT]為基波角頻率，[Fn]為傅里葉系數，其求解公式為：

[Fn=1T-T/2T/2fte-jnΩtdtn=0，±1，±2，…]? ? ?（2）

對于非周期信號[f（t）]，當其滿足絕對可積時，可計算其傅里葉變換：

[Fjω=Fft=-∞∞fte-jωtdt]? ? ? ? ? ? （3）

絕對可積是函數傅里葉變換存在的充分條件而非必要條件，引入廣義的函數概念后，許多不滿足絕對可積條件的函數也能進行傅里葉變換。單位沖激函數[δ（t）]在《信號與系統分析》中是個較為重要的函數，它的引入，使得對周期函數也能進行傅里葉變換，從而對周期函數和非周期函數可以用相同的觀點和方法進行分析運算，這給信號和系統分析帶來極大便利。需要指出的是，[Fδt=1]，即單位沖激函數的頻譜是常數1，常稱其為“均勻譜”或“白色頻譜”。

2 周期函數的傅里葉變換

考慮一個周期為T的周期函數[fTt]，則信號[fT（t）]可以展開成指數形式的傅里葉級數：

[fTt=n=-∞∞FnejnΩt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

式（4）中，[Ω=2πT]是基波角頻率，[Fn]是傅里葉系數，其求解公式為：

[Fn=1T-T/2T/2fTte-jnΩtdt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

對（4）式的等號兩端取傅立葉變換，結合傅里葉變換的線性性質，并考慮到[Fn]不是時間[t]的函數，得

[FfTt=Fn=-∞∞FnejnΩt=n=-∞∞FnFejnΩt=2πn=-∞∞Fnδω-nΩ]? ? ? ? （6）

式（6）表明，周期信號的傅立葉變換（頻譜密度）由無窮多個沖激函數組成，這些沖激函數位于信號的各諧波角頻率[nΩ（n=0，±1，±2，…）]處，其強度為各相應幅度[Fn]的[2π]倍。例如[1]：

求周期為T的單位沖激函數序列[δTt]的傅里葉變換，其中

[δTt=n=-∞∞δt-mT]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（7）

根據式（6），先求周期性沖激函數序列的傅里葉系數。考慮到函數[δTt]在區間[-T2，T2]只有一個沖激函數[δt]，結合沖激函數的取樣性質和式（5）知：

[Fn=1T-T2-T2δTte-jnΩtdt=1T-T2T2δte-jnΩtdt=1T]? ? ?（8）

從而得出單位沖激函數序列[δTt]的傅里葉變換為

[FδTt=2πn=-∞∞Fnδω-nΩ=2πTn=-∞∞δω-nΩ=Ωn=-∞∞δω-nΩ]（9）

如果令[δΩω=n=-∞∞δω-nΩ]，則單位沖激函數序列[δTt]的傅里葉變換為：

[FδTt=ΩδΩω]? ? ? ? ? ? ? （10）[ ]

式（10）表明，在時域中，周期為T的單位沖激函數序列[δTt]的傅里葉變換是一個在頻域中周期為[Ω]，強度為[Ω]的沖激序列。

每次講到這個例題，總有學生疑惑，為什么不從沖激函數序列[δTt]的表達式直接入手，利用沖激函數[δ（t）]的傅里葉變換以及傅里葉變換的性質來求解[δTt]的頻譜呢？如果直接求解，利用傅立葉變換的線性性質和平移特性，并考慮到[Fδt=1]，可得

[FδTt=m=-∞∞Fδt-mT=m=-∞∞e-jmTω]? ?（11）

這個結果和例題中得到的結果在形式上差別很大，不免懷疑：兩者是一回事嗎？在這里，筆者只給出粗略的理論推導。注意到[ΩδΩω]是頻域中周期為[Ω]的周期函數，因此根據傅里葉級數理論，可以將其展開成傅里葉級數的形式。其傅里葉系數

[Gn=1Ω-Ω2Ω2ΩδΩωe-jnTωdω=-Ω2Ω2δΩωe-jnTωdω-Ω2Ω2δωe-jnTωdω=1]? ? （12）

從而周期函數[ΩδΩω]的傅里葉級數為

[ΩδΩω=n=-∞∞Gnejn2πΩω=n=-∞∞ejnTω=n=-∞∞e-jmTω]? ? ? ? （13）

另外，二者的等價性還可以從實驗上來進行驗證。在式（13）中，分別在[m=-104：104]、[m=-106：106]和[m=-108：108]三種情況下求和，三種情況下周期T均取為π，可得圖1、圖2和圖3。在這幾幅圖中，給出的均為所得結果的實部圖像（虛部的幅值很小可以忽略不計）。由圖可知，信號周期為2，符合[Ω=2πT]，且隨著m取值范圍的擴大，即式（11）中參與疊加的分量增多，信號向上沖擊的幅度越大，逐漸趨向于周期為2的沖激函數序列，從而驗證了式（11）。

3 結語

本文討論了《信號與線性系統分析》課程中關于單位沖激函數序列的傅立葉變換求解問題，給出了兩種形式的求解過程，并從理論和實驗上驗證二者的等價性[2]。沖激函數是該課程的基本概念，傅里葉級數和傅里葉變換是該課程的重點學習內容，因此對于周期沖激函數序列的傅立葉變換的研究是十分重要的，對于該課程的教學有一定的指導作用。

參考文獻：

[1]吳大正.信號與線性系統分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2005.

[2]奧本海姆.信號與系統[M].2版.劉樹堂，譯.北京：電子工業出版社，2013.