井下泵功圖轉(zhuǎn)換的有限差分算法

李曉芳 劉磊 劉立軍 朱運(yùn)周

摘要：在人工舉升中，有桿泵抽油法是使用最為廣泛的一種抽油方法。多年來，地面示功儀一直被用于分析有桿泵系統(tǒng)。地面示功圖也是采油工況診斷的重要手段，技術(shù)成熟，且應(yīng)用廣泛，但地面示功圖由于受到多種因素的影響，很難反應(yīng)井下泵的實(shí)際工況，因此本方提出一種地面示功圖轉(zhuǎn)換為井下泵示功圖的一種有限差分算法，并給出了得到等時(shí)間間隔的地面示功圖曲線的插值算法。

關(guān)鍵詞：有限差分；有桿抽油泵；地面示功圖；井下泵功圖；插值

一、引言

在人工舉升中，有桿泵抽油法是使用最為廣泛的一種抽油方法。多年來，地面示功儀一直被用于分析有桿抽油泵系統(tǒng)，地面示功圖也是抽油井上能夠輕易取得的基本資料，同時(shí)也是對(duì)抽油系統(tǒng)的工作狀況進(jìn)行分析和診斷的重要依據(jù)。

由于地面示功圖受到多種因素的影響，并不能真實(shí)反應(yīng)井下泵的實(shí)際工況，因此需要有一種利用測得的地面示功圖來準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)換為井下泵功圖的計(jì)算方法。Gibbs[1]于1963年發(fā)表了一種利用地面功圖的分析技術(shù)。Knapp[2]首先提出了利用有限差分計(jì)算井下泵示功圖的方法，該公式與抽油桿直徑和材料無關(guān)。Everltt[3]于1992年提出一種有限差分算法來計(jì)算井下泵示功圖，同時(shí)給出了阻尼系數(shù)的計(jì)算方法。

本文提出了一種改進(jìn)的有限差分算法來求解一階阻尼波動(dòng)方程，從而來實(shí)現(xiàn)地面功圖到井下泵功圖轉(zhuǎn)換的方法。

二、數(shù)學(xué)模型

有桿泵系統(tǒng)是泵處位移到地面位移在抽油桿柱中的傳播，因此用波動(dòng)方程來研究比較理想。由于油田現(xiàn)場使用的抽油桿通常有不同直徑和材質(zhì)，所以在波動(dòng)方程的兩邊同時(shí)除以 來進(jìn)行修正，下面給出波動(dòng)方程的有限差分模型：

（1）

其中：A-抽油桿橫截面積；E-彈性模量；ρ-抽油桿密度；u-位移；x-沿抽油桿的等距離；t-時(shí)間；C-阻尼系數(shù)；Gc-轉(zhuǎn)換系數(shù)；

波動(dòng)方程的兩個(gè)邊界條件為地面的光桿載荷和位移，初始條件可以不考慮。

同時(shí)考慮到地面示功圖是在相同時(shí)間間隔內(nèi)光桿載荷與位移的關(guān)系圖，是一個(gè)典型的連續(xù)曲線，因此必須用抽油機(jī)動(dòng)力學(xué)模型來得到時(shí)間和抽油桿位移之間的方程：

（2）

其中：R-曲柄半徑；θ-曲柄轉(zhuǎn)角；ω-曲柄角速度；

此處我們用泰勒級(jí)數(shù)近似值來得到波動(dòng)方程的有限差分模型。考慮到抽油桿柱的不同直徑和材質(zhì)，將位移對(duì)距離的二階求導(dǎo)在不同管柱的連接處做如下處理，

（3）

其中： ， -為當(dāng)前計(jì)算的下一點(diǎn)， -為當(dāng)前計(jì)算的上一點(diǎn)

將（2）、（3）代入（1），得到：

（4）

由方程（4）和Hooke定律可以得到泵處的位移和載荷

（5）

（6）

三、油田現(xiàn)場應(yīng)用分析

以下給出了本文方法在某油田現(xiàn)場的應(yīng)用實(shí)例，下圖中藍(lán)色的點(diǎn)為地面的實(shí)測功圖，黑色的線為本文中方法計(jì)算得出的井下泵功圖。

圖1.地面功圖與井下泵功圖比較

從上圖中可以看出：

（1）泵示功圖消去了抽油桿的彈性變形，體現(xiàn)在泵上行程中載荷增大的幅度變快；

（2）泵振動(dòng)載荷振幅相對(duì)于懸點(diǎn)變小，載荷更平穩(wěn)；

（3）泵的沖程小于懸點(diǎn)光桿沖程；

四、總結(jié)：

（1）本文提出的有限差分方法與抽油桿柱的直徑和材料無關(guān)，簡化了計(jì)算；

（2）本文提出的有限差分方法不需要單獨(dú)考慮管柱的連接處，適應(yīng)于多級(jí)管柱；。

參考文獻(xiàn)

[1]Gibbs S G . Predication the Behavior of Suck-Rod Pumping System [J]. Journal of Petroleum Technology， 1963（2）：769-778

[2]Knapp， R.M. A Dynamic Investigation of Sucker-Rod Pumping[J]，SPE ，1969（1）

[3]Everltt， T.A. An Improved Finite-Difference Calculation of Downhole Dynamometer Cards for Sucker-Rod Pumps[J]， SPE-18189-PA， 1992， 121-127

[4]張琪， 吳曉東. 抽油井計(jì)算機(jī)診斷技術(shù)及其應(yīng)用[J]， 華東石油學(xué)院學(xué)報(bào)， 1984（2）， 144-158

作者簡介：李曉芳（1985—），女，河南人，數(shù)學(xué)工程師，理學(xué)碩士，主要從事油氣田開發(fā)的智能算法研究。