陶瓷產品輔助設計與可視化關鍵技術研究

古和今 ，鄭 萍 ，熊金泉 ，雍俊海 ,，張安安 ，黃 朝 ，施侃樂 ，吳子健

(1． 江西省科學院，江西 南昌 330096；2． 南昌師范學院，江西 南昌 330032；3． 清華大學軟件學院，北京 100084)

0 引 言

陶瓷是中華民族的偉大發明之一，它不僅是中國傳統的民族產品，也是人類重要的文化遺產。我國陶瓷在藝術形態和文化韻味表達方面有著獨特的優勢，在滿足人們日常生活需求的同時，也向全世界傳播著中國古老而悠久的文明。

中國是世界上陶瓷生產大國和出口大國。多年來，我國陶瓷產量和出口銷量一直位于全球首位。隨著設計、制造技術的不斷進步，我國陶瓷產品在設計、制造方面也有了長足的發展。但與英、法、意大利等陶瓷強國相比，我國陶瓷產品的現代設計技術還有一定差距。其主要原因之一是作為核心競爭力的陶瓷產品造型設計技術有待提升。我國陶瓷產業向現代化設計轉變的瓶頸體現在兩點：一是面向陶瓷產業有效的產品創新設計技術有待于進一步提升[1]，二是需要提高面向陶瓷產品制造的直觀可視化分析手段的便利性。本文從陶瓷器型曲面設計，陶瓷紋理曲線設計，陶瓷產品設計可視化，自然語言驅動的陶瓷原型設計等幾方面探討陶瓷產品三維輔助設計與可視化關鍵技術。

1 陶瓷器型曲面設計

陶瓷產品器型設計是產品設計的基礎，要完成陶瓷產品的創新設計，需要豐富的器型設計支持，在計算機輔助設計技術中，自由曲面可以表示任意形狀，能夠有效支持器型的創意設計。

Coons曲面可以表示任意形狀的曲面，其通過滿足四組指定的邊界曲線及其跨界導矢的相同性以構造光滑的曲面，且實現簡單，廣泛應用于各類計算機輔助設計應用。構造Coons曲面的插值過程適合于對器型造型的自由控制，能夠很好的適應產品器型設計過程。但Coons曲面在角點處需滿足法向量兼容的邊界條件，該條件對于實際應用約束較強，限制構造曲面的連續性，易形成器型表示的不光順，很難在陶瓷產品器型自由曲面構造中得到滿足。

為了處理相鄰兩邊界在角點處法向不兼容問題，通過利用退化參數曲面在退化點處收斂于多個值的性質，可構建同時滿足沖突條件的曲面構造方法，從而使構造過程能夠較好支持器型設計過程[2]。

對于p階輸入曲線，利用包含四個退化角點的(2(p+2))，2(p+2))階多項式樣條曲面進行插值，以滿足G1連續的p階多項式樣條曲面的不兼容邊界條件。

方法首先對所有輸入曲線進行重參數化，以此使其在端點的導數精確為零。對于輸入曲線，為使重參數化過程是曲線兩端點導數精確為零，可將原有多項式樣條曲線分成兩部分，并分別應用重參數化方法，并將兩端曲線結合獲得最后的結果曲線。該過程可提升多項式樣條曲線的度同時使曲線兩端點的導數為零，既能提升器型表示的自由性，同時使曲面的表面滿足連續性條件。

在重參數化的基礎上，通過控制新月形函數以調整各曲線跨界導矢的模，由此保證導矢曲線在節點的值為零。因此，對于所有跨界導矢曲線乘以權值函數λ(t)，為保證λ(t)不是零值函數，λ(t)的度數要至少為2，所以選取二次多項式函數λ(t) = 2 λ (1-λ)。該權值函數將使跨界導矢曲線的度提升一倍。所以此類調整可保證曲線在除端點外的邊界上滿足G1連續性，且邊界滿足切向和扭轉相容性。最后，可根據Coons機制構造結果曲面。如圖1所示，為對某創意陶瓷產品中四邊形頂端的插值。其中，圖示上端左側為輸入的原始曲線，右側為經過該方法重構后的邊界條件。圖示中端左側為插值后曲面的控制點，曲面的顏色代表法向方向，右側為用由斑馬線表示的曲線光滑度，即在除四個端點外可保持G1連續。圖示下端分別展示了控制網格的細節、高斯曲率對插值曲面的評價和插值曲面一角的渲染效果。

圖1 四邊形頂端插值過程及結果Fig.1 Process and result of interpolating quadrilateral top face

綜上所述，該方法保持了逐段的多項式樣條形式，因此結果曲面為可廣泛應用的多項式曲面。同時，該方法并沒有引入任何理論上誤差，以此可保證除四個角點外的邊界與曲面都滿足連續性。由于該方法有效克服了Coons構造方法在切向及扭曲相容性的不兼容問題，因此可適用于沒有約束的各類輸入，同時該方法實現簡單，并未包含任何迭代及大型的矩陣運算，可為陶瓷產品的器型曲面構造提供快速支持。

2 陶瓷表面特征設計

陶瓷產品表面的紋飾、雕刻和描金都需要在器型曲面上進行二次設計。從幾何設計角度，陶瓷產品的表面設計的本質是曲面上曲線的設計問題。而點去曲面的投影問題是曲面上曲線設計的基礎。點到參數曲面的投影是一項曲線設計的基本工作，此類方法包含計算投影及反向求解兩個部分。由于陶瓷產品表面設計需要大量的交互工作，因此整個計算過程需要滿足快速的收斂速度以提升設計效率。因此，可采用Song等提出的點到參數曲面投影及反向求解的幾何迭代算法[3]。該方法基于局部雙圓弧逼近，通過測試點預估投影點作為迭代開始，并在每次迭代中，在原始曲面內構建雙圓弧以局部逼近由當前投影點開始的原始曲面片。然后通過將測試點投影到構建的雙圓弧以計算下次迭代的投影點及其參數。由于采用局部雙圓弧進行逼近，因此整個近似空間得到了擴大，使得每次迭代都有較大的步長，這種方式不僅可減少迭代次數，也可使迭代快速的擺脫較差初始值部分，提升方法的魯棒性。整個迭代過程由用戶輸入精度控制，便于應用。可以看出，該方法擁有更好的逼近精度且相對于傳統同類方法擁有更大的逼近步長。

表1 測試案例的統計數據Tab.1 Statistical data for test cases

為保證陶瓷產品表面設計的正確性與設計效率，以收斂正確性、收斂速度和對初始值依賴程度3項標準衡量該方法的優劣，如表1所示，NRA為牛頓迭代法，FOA為一階方法，SOA為二階方法，NRIBA、FOIBA、SOIBA分別為雙圓弧方法采用牛頓迭代法、一階方法、二階方法的補償計算機制。可以看出，在相同的步長計算機制下，該方法在收斂正確性、錯誤迭代次數和計算時間上有明顯提升。經過實驗驗證，點到曲線的投影算法相比于牛頓迭代法、一階法和二階法等基于單點逼近的投影計算方法，需要較少的迭代次數，收斂速度僅為原有方法的50%-70%，證明了算法在收斂速度及質量方面的優勢，因此能夠很好的支持陶瓷產品各種表面設計應用。

3 陶瓷產品逆向構造

在陶瓷產品設計過程中，仿古藝術陶瓷創新是一項重要的設計內容。如何利用我國古代陶瓷設計思想提升現代仿古藝術陶瓷設計水平是一項很有意義的工作。因此，針對已有古代陶瓷制品，可以通過三維掃描儀獲取點云數據，并利用自由曲面插值方法構造陶瓷產品模型，以進行設計復用。

可以采用Lu等人[4]提出的B樣條曲面插值方法來解決陶瓷產品的逆向構造問題。對于一般化的網格模型，很難用單一的B樣條曲面進行插值。通常的思路是采用多個樣條曲面對網格模型進行插值。因此，需要將待插值網格模型分割為若干子部分并利用層次樹形結構表示，而對于每個子部分利用單一的B樣條曲面進行插值。

與現有方法不同的是，該方法采用不同的方式對網格模型進行劃分，使得每個劃分部分彼此不連接。然后構造一個初始曲面對模型的主體部分進行插值，并在初始曲面的基礎上提取并優化出若干個子曲面，對模型中初始曲面未處理的部分進行插值。該方法包括三個主要步驟：

網格模型劃分：首先通過對輸入模型進行參數評價以輔助網格模型的劃分。先計算網格模型頂點的最小包絡矩形，并通過旋轉和縮放對網格模型進行歸一化。然后，為了適應多變的邊界條件，利用Circle-Pattern共形映射計算網格模型的參數。在獲得輸入模型的參數后，對網格模型進行劃分。

對于計算獲得的網格模型參數，將其表示為M × N的二維圖像，并將其與輸入網格模型進行映射。參數表示的每個二維圖像每個像素，計算其對應的頂點密度，若當前圖像的最大頂點密度大于給定閾值，則在最大頂點密度對應的像素構建曲面，并將曲面對應的網格模型作為對應網格模型，建立層次結構，并從原始模型中將其移除，直到對應的二維圖像中的所有像素對應的頂點密度值均小魚等于給定閾值，則完成網格模型的區域劃分，得到由層次結構表示的網格模型劃分。

構造外部曲面：曲面的插值由劃分獲得的層次模型自頂向下逐個計算。首先，計算一個外部B樣條曲面來插值在根節點的初始模型，通過對u/v方向的估測合適的節點向量，并利用最小化能量函數來計算控制頂點，來獲得外部局面，具體能量函數表示如下：

第一個能量函數表示網格頂點與曲面頂點間的距離：

第二個能量函數E2用來表示曲面形狀的光順度：

其中，α與β為固定權值，f1與 f2分別由如下表示：

傳統的方法通過對(E1+E2)最小化來計算控制頂點。但是這個過程在實際應用中常造成不穩定的情況。因此，為了穩定這個最小化求解過程，通過建立網格來限制在每個網格內的曲面頂點位置，記為能量函數E3：

其中，αi與 bj分別是在u/v方向的采樣值，函數F(*)返回每個參數的目標空間位置。綜合以上三個能量函數，最終的計算能量函數為：

該能量函數與控制頂點為二次關系，因此可通過線性方程組求解，并獲得控制頂點。

構造內部曲面：在對初始網格完成外部曲面的構造后，需要對每個子網格計算內部曲面。在計算過程中就需要處理內部曲面間的連續性問題。由于該方法采用根據層次結構自頂向下的進行曲面構造，因此需要考慮子曲面與父曲面的連續問題。

不失一般性的，記非初始網格為Th，其對應的曲面為Sk。假設其父網格為Th，對應的曲面為Sh。由于網格Tk由Th參數域中的矩形區域提取，因此，可在該矩形區域內以Sh的子曲面來初始化當前曲面Sk。通過保持邊界條件，就可修改曲面Sk以對網格Tk進行插值，并滿足曲面Sk與其父曲面Sh間的Gn連續性。

綜上所述，該方法將原始網格模型劃分為具備層次結構的若干部分，然后根據層次結構自頂向下的對每個網格進行B樣條曲面插值，對于頂層的初始網格構造外部曲面，而其對應的子網格則進行分別構造單一的外部曲面，通過邊界條件的保持可滿足每個曲面連接處滿足至少G2連續性。一般情況下，僅需要幾個B樣條曲面就可完成對網格的插值，所需曲面數量遠遠小于現有方法，易于實現對插值曲面的控制，利于進行陶瓷產品的設計復用，滿足逆向構造的實際需求。并且在每個插值B樣條曲面的連接部分可以達到G2或更高的連續性，符合陶瓷產品表面光順要求。

4 陶瓷設計可視化

陶瓷產品的設計可視化是陶瓷設計過程中的重要組成部分，其主要由曲面連續性評價與可視化兩部分工作組成。高光線和反射線及其調整算法是常用的算法。不過，還需要進一步提升評判連續性的階次。因此為了便于陶瓷產品設計可視化的應用需求，可采用混合曲率的可視化方法。混合曲率是一個二維向量，其定義如下：

其中，K1，K2為兩個主曲率。

圖2比較了不同種類的曲率的可視化效果。采用混合曲率具有明顯的優勢，可以將不連續性放大，而且其他種類的曲率則無法區別。為了使陶瓷產品設計結果能夠進行快速的可視化反饋，還可以添加一些智能手段提高可視化的質量與效率。圖3展示了可以用這些可視化方法區分出外觀非常相似的不同陶瓷產品。這對仿制與鑒別古陶瓷具有非常重要的意義。

圖2 不滿足G2連續的曲面拼接Fig.2 Surface blending which does not satisfying G2 continuity

圖3 不同陶瓷產品可視化結果Fig.3 Visualization results of different ceramic products

5 基于自然語義的原型設計

目前，針對陶瓷產品的設計過程仍然是以幾何造型為主導方式，這種方式雖然便于熟練掌握造型技術的設計師進行快速的設計，但是在與用戶交流過程中則有明顯的短板。由于用于對陶瓷產品的需求都是通過自然語言描述的，因此構建自然語言驅動的陶瓷產品原型設計將形成面向大眾的簡單設計方案[5]，便于設計師了解用于意圖，為陶瓷產品的創新設計提供支持。

色彩、圖樣和形狀，是構成陶瓷造型的三大基本元素，對應到陶瓷的專業術語上，分別為：釉彩、紋飾和器型。器型是陶瓷制品的第一感觀印象，決定了器型的組成結構。此外，陶瓷制品的造型還包括紋飾和釉彩，釉彩在這里可以簡單地理解為一種顏色，而紋飾則包括主題、位置和組織形式三個重要屬性。

上述特征語義共同構成了陶瓷制品的造型特征語義，通過這些語義信息，可以確定陶瓷制品的設計原型。然而，計算機很難直接對語義信息進行處理，這里需要將造型特征語義轉化為參數的形式。

圖4 陶瓷造型的設計主體Fig.4 Main entities of ceramic modeling

以陶瓷碗為例，陶瓷碗的器型結構包括口部、腹部、足部三個主要部位，其結構特征可以從尺度和姿態兩個方面去進行考量。尺度特征是可度量的特征信息，包括：口徑、身高、足高、足徑；姿態特征是指各個結構部位的形態，包括：口型、腹型和足型。綜上，針對陶瓷碗器型的尺度和姿態，提取出了6個主要的結構特征，每個器型特征在形態上都存在兩極狀態，分別對應于參數0和參數1。對兩極狀態的器型特征語義分別進行詞元的標定。例如，碗的收口狀態，對其進行詞元標定，可以聯想到形容詞：收、收斂、內斂等，名詞：小口、缽等，動詞：縮緊、收縮等。表2給出了陶瓷碗的器型特征語義對應的詞元。

曲線的確定可以通過特征點的插值來構造。曲線上曲率較大的點選作為該曲線的特征點。雖然更多的控制點可以令曲線擁有更高的自由度，但也同時意味著對曲線的控制會更加復雜。事實上，對于表示造型的曲母線而言，4個特征點是合適的選擇：特征點1和特征點2對應著碗的口部，二者與中軸線的距離決定了口部的大小，二者的相對位置影響著口沿的形狀是內收還是外翻；特征點2、特征點3和特征點4對應著碗的腹部，其中特征點3的位置對腹部形狀是圓是扁有著較大的影響作用。標定母線曲線部分的特征點后，將另外兩段直線段的端點也標定為特征點，即特征點5和特征點6，如此確定陶瓷碗母線的全部特征點。

將上述6個特征點用直線段連接起來，得到對應折線形狀。折線雖然是母線的退化，但卻十分逼近于母線的形態，能夠代表和表達碗的器型特征，碗的造型由器型原型折線控制，而器型原型折線取決于各特征點。改變碗的造型也就是要調整特征點的所在位置。

如表2所示，器型特征語義的參數輸入是區間[0-1]的一個值，每個值都對應著該特征的一個形態狀態，參數0、1分別對應著器型特征的兩極狀態。器型特征形態表現在器型原型上就是特征點的相對位置，在0、1參數狀態下，需要分別標定出該特征形態對應的特征點的位置。對于(0,1)區間上的任意一個參數輸入，可以采用線性插值的方式對特征點重新進行定位。以此確定所有特征點在特征語義參數下的坐標位置，也就確定了相應的器型原型折線，根據器型原型折線，可以自動生成碗的三維模型。

表2 器型特征語義詞元Tab.2 Word lemmas in semantics of ceramic modeling features

圖5 陶瓷碗母線的特征點Fig.5 Feature points of the generatrix generating ceramic bowls

表3 圖6參數計算結果[5]Tab.3 Computational parametric results of Fig. 6

圖6是以自然語義為輸入，直接生成碗的三維模型，輸入文本內容：“這只碗口徑大，腹部圓潤，比較矮，碗身呈白色，上面有牡丹花開的復雜圖樣。”可以看出，大口徑、圓腹、矮身、白釉、牡丹連續紋飾，該結果還是比較符合自然語言的描述的。查看各項參數的計算結果，如表3所示，其中，中間結果是特征詞元子集與輸入之間的語義相關度計算結果，根據中間結果計算造型特征參數。器型特征參數由各結構特征0、1狀態的語義相關度進行計算，可以看到，身高、足高的值比較小，口徑、腹型的值比較大，符合輸入的描述。紋飾特征參數由最大中間結果確定，可以看到，牡丹紋的特征詞元子集與輸入之間有著最大的語義相關度，因此作為紋飾主題特征參數輸出，而連續紋飾的特征詞元子集與輸入之間的語義相關度要大于單獨紋飾，因此作為紋飾組織特征參數輸出。釉彩也是一樣，白釉的特征詞元子集與輸入之間有著最大的語義相關度，因此釉彩特征參數為白釉。

圖6 通過自然語義生成的三維模型Fig.6 3D model generated via natural semantics

6 結 語

陶瓷產品是我國日常生活中接觸十分廣泛的設計產品之一，也是我國文化的重要載體。本文探討了陶瓷產品器型輔助設計與可視化技術，如何提高陶瓷產品創新設計質量和效率，如何利用輔助設計中的自由曲面和自由曲線建模技術精確且高效地表達陶瓷器型和紋理，如何進行逆向構造器型和紋理，以進行設計復用，提升設計效率；如何通過陶瓷產品的可視化，利用幾何連續性評價反應陶瓷產品的設計質量，形成陶瓷產品的設計閉環，提升設計質量；如何通過自然語義驅動的陶瓷設計，直觀的根據客戶需求更快地生成產品原型，形成需求驅動的設計模式。本文介紹的這些工作已經構成了我國自主知識產權的三維輔助設計與可視化關鍵技術，并將有力支持我國數字陶瓷與實體陶瓷的發展。