基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的多輻射源被動(dòng)直接定位算法

陳芳香 易 偉 周 濤 孔令講

(電子科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 成都 611731)

1 引言

多基站雷達(dá)無(wú)源定位系統(tǒng)中，雷達(dá)本身不發(fā)射電磁波，而是借助外輻射源信號(hào)或直接截獲目標(biāo)輻射源發(fā)射信號(hào)進(jìn)行處理以實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的功能；多基站雷達(dá)無(wú)源定位具有功耗低、隱蔽性好等優(yōu)勢(shì)，在軍事、民事中得到廣泛應(yīng)用[1–7]。常見(jiàn)的多基站雷達(dá)無(wú)源定位算法有間接定位算法和直接定位(Direct Position Determination, DPD)算法，也稱(chēng)為兩步定位算法和一步定位算法。前者首先從截獲的目標(biāo)觀測(cè)信號(hào)中提取相關(guān)參數(shù)(如到達(dá)角(Angle Of Arrival,AOA)、到達(dá)時(shí)差(Time Difference Of Arrival,TDOA)等)，然后利用提取到的參數(shù)通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算獲得目標(biāo)位置[1–4]。后者則沒(méi)有參數(shù)提取的過(guò)程，而是將截獲的信號(hào)進(jìn)行簡(jiǎn)單處理后直接傳輸至中央處理器并對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位[5–7]。兩步定位算法中，參數(shù)提取的過(guò)程在每個(gè)接收雷達(dá)基站獨(dú)立進(jìn)行，忽略了所有觀測(cè)回波信號(hào)對(duì)應(yīng)同一個(gè)目標(biāo)這一客觀約束，在低信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)情況下其定位性能將嚴(yán)重惡化；而DPD算法則能充分利用各接收基站的觀測(cè)回波信息，具有比兩步定位算法更優(yōu)的定位性能[5]。

針對(duì)多基站雷達(dá)無(wú)源直接定位這一背景，Weiss推導(dǎo)了在發(fā)射信號(hào)已知和發(fā)射信號(hào)未知兩種情況下的最小二乘估計(jì)表達(dá)式[5]。該DPD算法只需通過(guò)對(duì)目標(biāo)所在2維平面或3維空間區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格搜索，尋找使相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)最大化的網(wǎng)格點(diǎn)作為輻射源目標(biāo)的位置估計(jì)。對(duì)于發(fā)射信號(hào)已知的情況(例如訓(xùn)練信號(hào)或同步信號(hào))，通過(guò)直接搜索待估參數(shù)使得目標(biāo)函數(shù)最大化即可實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的定位；對(duì)于更為常見(jiàn)的發(fā)射信號(hào)未知的情況，根據(jù)觀測(cè)信號(hào)構(gòu)建與目標(biāo)位置相關(guān)的矩陣，并通過(guò)一定的數(shù)學(xué)變換直接搜索該矩陣的最大特征值進(jìn)而完成參數(shù)的估計(jì)。一般情況下，前者(DPD-known算法)可以獲得最佳的定位性能，而后者(DPD-unknown算法)由于有部分發(fā)射信號(hào)特征信息的丟失，其定位性能要劣于前者。在很多情況下，輻射源發(fā)射信號(hào)的模型已知而具體參數(shù)未知，例如未知信號(hào)參數(shù)的線(xiàn)性調(diào)頻(Linear Frequency Modulation, LFM)信號(hào)，可通過(guò)估計(jì)發(fā)射信號(hào)參數(shù)來(lái)進(jìn)一步提高目標(biāo)定位精度。

LFM信號(hào)具有低截獲率、高分辨率、大時(shí)寬帶寬積等優(yōu)勢(shì)，廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、通信及地震識(shí)別等領(lǐng)域[8,9]。因此，對(duì)于LFM信號(hào)輻射源進(jìn)行多基站雷達(dá)無(wú)源直接定位具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。文獻(xiàn)[6]為解決單個(gè)LFM信號(hào)輻射源的定位問(wèn)題，通過(guò)短時(shí)傅里葉變換(Short Time Fourier Transform, STFT)推導(dǎo)了聯(lián)合估計(jì)LFM信號(hào)參數(shù)和目標(biāo)位置的DPD算法，其定位精度明顯優(yōu)于DPD-unknown算法。但是上述DPD算法無(wú)法實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)定位，因此在實(shí)際場(chǎng)景中對(duì)多個(gè)LFM信號(hào)輻射源的定位問(wèn)題亟待解決。

為確定監(jiān)測(cè)區(qū)域內(nèi)多個(gè)未知信號(hào)參數(shù)的LFM信號(hào)輻射源的位置，本文提出一種基于分?jǐn)?shù)傅里葉變換(FRactional Fourier Transform, FRFT)和DPD算法相結(jié)合的多目標(biāo)定位算法。FRFT作為一種廣義的傅里葉變換(Fourier Transform, FT)，在波傳播和光學(xué)領(lǐng)域是研究、分析和處理信號(hào)的一種重要手段[9–12]。因FRFT對(duì)LFM信號(hào)具有良好能量聚集性，被普遍用來(lái)估計(jì)LFM信號(hào)的相關(guān)參數(shù)[11,13]。本文首先對(duì)觀測(cè)信號(hào)應(yīng)用FRFT得到其功率譜，并結(jié)合目標(biāo)提取算法進(jìn)而實(shí)現(xiàn)輻射源數(shù)量估計(jì)；其次利用基本分類(lèi)方法對(duì)估計(jì)得到的相關(guān)信號(hào)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，并對(duì)感興趣參數(shù)空間進(jìn)行多次4維網(wǎng)格搜索進(jìn)而實(shí)現(xiàn)多輻射源位置及相應(yīng)信號(hào)參數(shù)估計(jì)；最后，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文提出算法的定位性能。仿真結(jié)果表明該算法能夠準(zhǔn)確定位監(jiān)測(cè)區(qū)域內(nèi)的多個(gè)輻射源目標(biāo)，且定位精度優(yōu)于DPD-unknown算法。

2 信號(hào)模型與問(wèn)題導(dǎo)出

3 基于FRFT的多目標(biāo)直接定位算法

本文提出的基于FRFT的多目標(biāo)直接定位算法(DPD-FRFT算法)思路：首先，利用FRFT處理接收信號(hào)得到其功率譜，并應(yīng)用目標(biāo)提取算法提取功率譜局部極值點(diǎn)，進(jìn)而獲得目標(biāo)數(shù)量的估計(jì)值；然后，基于FRFT域中相應(yīng)參數(shù)與LFM信號(hào)參數(shù)的關(guān)系式，可以得到相關(guān)信號(hào)參數(shù)的估計(jì)值；其次，利用基本分類(lèi)算法可進(jìn)一步將多目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多個(gè)單目標(biāo)問(wèn)題；最后，基于4維網(wǎng)格搜索方法便可獲得單個(gè)目標(biāo)的位置及相應(yīng)信號(hào)參數(shù)估計(jì)值。高維似然估計(jì)算法是理論最優(yōu)的，而DPD-FRFT算法作為一種次優(yōu)的定位算法，通過(guò)將高維的多目標(biāo)定位問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多個(gè)低維的單目標(biāo)定位問(wèn)題來(lái)降低計(jì)算量，因此可以認(rèn)為該算法是在計(jì)算復(fù)雜度和定位精度之間折中的定位算法。

3.1 分?jǐn)?shù)傅里葉變換簡(jiǎn)介

3.2 目標(biāo)數(shù)量估計(jì)

3.3 信號(hào)參數(shù)分類(lèi)

其中，S是Ts,f的量綱歸一化因子；n0是LFM信號(hào)起始時(shí)間的序號(hào)，在接收信號(hào)中表現(xiàn)為由發(fā)射時(shí)間及傳輸時(shí)延決定的發(fā)射信號(hào)的起始樣本點(diǎn)編號(hào)；f1表示在得到u0,p0后即可得到的初始頻率的部分估計(jì)值，f2表示與時(shí)延相關(guān)的初始頻率的部分估計(jì)值。由式(24)可知，初始頻率和調(diào)頻斜率的估計(jì)是基于量綱歸一化方法的。

3.4 目標(biāo)位置估計(jì)

4 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

本節(jié)通過(guò)Monte Carlo仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析本文提出的DPD-FRFT算法、文獻(xiàn)[5]中提出的DPD-unknown算法與DPD-known算法的性能。顯然，前文推導(dǎo)的高維最大似然估計(jì)器在理論上是最優(yōu)的，相比DPD-FRFT算法、DPD-unknown算法與DPD-known算法有最小的估計(jì)誤差。然而由于計(jì)算的限制，實(shí)施該高維最大似然估計(jì)器花費(fèi)的時(shí)間過(guò)長(zhǎng)、代價(jià)過(guò)大，因此用DPD-known算法替代該算法。可以認(rèn)為，DPD-known算法由于利用了發(fā)射信號(hào)完整的無(wú)誤差的信息，因此是這幾種定位算法誤差的下界。

如圖3所示，在一個(gè)2維笛卡爾坐標(biāo)平面上，3個(gè)輻射源的位置坐標(biāo)為 (-2，0)km , ( 2，0)km,(0，2)km。5個(gè)接收基站放置在以遠(yuǎn)點(diǎn)為圓心、半徑為6 km 的圓弧上。SNR變化區(qū)間為-15～ 1 5 dB，間隔 3 dB。

輻射源均發(fā)射LFM信號(hào)，其信號(hào)參數(shù)如表1所示。

表1 信號(hào)參數(shù)設(shè)置Tab.1 Signal parameter setting

4.1 目標(biāo)數(shù)量仿真

觀測(cè)信號(hào)與式(5)具有相同形式，該信號(hào)由3個(gè)經(jīng)過(guò)一定時(shí)延的LFM信號(hào)和噪聲疊加得到。對(duì)該信號(hào)進(jìn)行FRFT，得到的3維功率譜如圖4所示。

由圖4可知，當(dāng)SNR=5 dB時(shí)，觀測(cè)信號(hào)的功率譜中明顯有3個(gè)局部極值點(diǎn)(紅色橢圓標(biāo)出)；但當(dāng)SNR=–10 dB時(shí)，雖然也可分辨出功率譜的3個(gè)極值點(diǎn)，但由于受噪聲影響并不明顯。這表明應(yīng)用FRFT可有效實(shí)現(xiàn)對(duì)LFM信號(hào)輻射源數(shù)量的估計(jì)，但受信噪比影響嚴(yán)重。其具體關(guān)系如圖5所示。

由圖5可知，在SNR大于0 dB左右時(shí)目標(biāo)數(shù)量能夠得到較好的估計(jì)。

4.2 定位性能仿真

本文用均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)衡量定位精度，其定義如下：

其中，||·||表示斐波那契范數(shù)；N是Monte Carlo實(shí)驗(yàn)次數(shù)，這里N=200;表示在第i次實(shí)驗(yàn)中得到的某個(gè)輻射源位置的估計(jì)值。明確一點(diǎn)，利用圖像膨脹算法提取到的觀測(cè)信號(hào)功率譜的極值點(diǎn)只對(duì)應(yīng)潛在的目標(biāo)，該過(guò)程是基于恒虛警率(Constant False Alarm Rate, CFAR)的，而目標(biāo)數(shù)量的估計(jì)值是基于這些可能的目標(biāo)，并且定位誤差處于一定范圍內(nèi)。

僅考慮單目標(biāo)情況下DPD-unknown算法、DPD-known算法和本文提出的ST-DPD-FRFT算法(針對(duì)單個(gè)目標(biāo)的DPD-FRFT算法)的性能比較。需要注意的是，該種對(duì)比方式使得DPD-unknown算法有一定的優(yōu)勢(shì)；但若ST-DPD-FRFT算法的定位性能優(yōu)于DPD-unknown算法，那么該算法同多目標(biāo)DPD算法將具有更大的優(yōu)勢(shì)。

由圖6可知，在高信噪比下(約為 1 0 dB)，4種定位算法都取得了較好的定位精度；隨著信噪比降低至 5 dB，算法的定位性均出現(xiàn)不同程度的惡化；且由于受目標(biāo)數(shù)量的影響，DPD-FRFT算法對(duì)單個(gè)目標(biāo)的定位精度要劣于ST-DPD-FRFT算法。在所有算法中DPD-known算法的定位精度最優(yōu)，而DPD-FRFT算法只有在高信噪比(0 dB以上)情況下其性能才接近DPD-known算法。這主要是由于在低信噪比情況下，DPD-FRFT算法對(duì)LFM信號(hào)參數(shù)的估計(jì)誤差增大，從而影響其定位精度。為了驗(yàn)證這一點(diǎn)，定義信號(hào)參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確率(Correct Rate of Estimation, CRE)：

其中，Nc表示在N次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)中信號(hào)參數(shù)的估計(jì)誤差小于8%的次數(shù)。

圖7表示目標(biāo)發(fā)射信號(hào)的初始頻率和調(diào)頻斜率的估計(jì)準(zhǔn)確率隨信噪比的變化曲線(xiàn)。由圖7可知，在信噪比低于0dB時(shí)信號(hào)參數(shù)的估計(jì)準(zhǔn)確率開(kāi)始降低。進(jìn)一步對(duì)比圖5和圖7可知，目標(biāo)個(gè)數(shù)的估計(jì)準(zhǔn)確性也取決于信號(hào)參數(shù)的估計(jì)準(zhǔn)確率。這一結(jié)果表明目標(biāo)發(fā)射信號(hào)參數(shù)的估計(jì)準(zhǔn)確性直接影響了輻射源目標(biāo)的定位性能。

5 結(jié)論

針對(duì)多個(gè)未知LFM信號(hào)輻射源，本文提出的DPD-FRFT算法在控制計(jì)算量的同時(shí)，可有效聯(lián)合估計(jì)出目標(biāo)位置和信號(hào)參數(shù)。該算法有益探索了多目標(biāo)、多基站無(wú)源直接定位問(wèn)題，獲得了較好的精度定位。