基于PCA、 LDA和DLDA算法的人臉識別

武漢理工大學信息工程學院 申俊杰

1.PCA 算法原理與實現

人臉識別中主要分量分析（PCA）是一個普遍使用的技術，首先它將一張圖像的每一列的向量首尾相連，構成一個維列向量，然后轉置。將L個圖像的維列向量組成人臉樣本矩陣，表示為：

訓練樣本的協方差矩陣為：

式中mf是所有訓練樣本的平均值向量（所有樣本的平均臉）

式可進一步化簡為：

對（3）式中的矩陣進行特征值和特征向量的求解，并SVD奇異值分解，構造出最終的人臉投影空間：

將Vi化為矩陣，則可以得到特征臉。

2.LDA算法原理及實現

LDA的核心思想之一是在平面內找一個合適的向量，將所有的數據投影到這個向量而且不同類間合理的分開。因為圖片的特征值有很多，相當于是多維的，所以我們需要增加投影向量w的個數，設w為：

w1、w2等是n維的列向量，所以w是個n行k列的矩陣，這里的k其實可以按照需要隨意選取，只要能合理表征原數據即可。x在w上的投影可以表示為：

所以這里的y是k維的列向量。這樣我們就可以把多維空間中的特征值降維到一維空間

從投影后的類間散列度和類內散列度來考慮最優的w，可用μi代表類別i的中心，將類間距離定義為Sb較大，類內距離定義為Sw。為了讓每個類（相當于每張圖片）直接的特征值盡量少的有重疊，需要讓類與類之間的距離大，而一個類內部之間的距離緊湊。因此我們可以定義：

可以化簡為：

因為Sw要盡量小，而Sb要盡量大，因此可以找到合適的W讓J(w)盡可能大。

3.2DLDA算法原理及實現

2DLDA從人臉圖像矩陣直接得到類內和類間離散度矩陣，而不必將人臉圖像矩陣轉化為人臉圖像向量。2DLDA估計得到的離散度矩陣比LDA方法精確。另外，由于2DLDA估計得到的離散度維數等于原始人臉圖像的列數，因此，相比LDA方法得到的離散度矩陣維數小的多，從而使得求解最佳投影空間時計算量大大降低。由于2DLDA的公式推導較多，本文不在此詳述，直接通過實驗的結果來比較2DLDA相對于LDA的優點。

圖1 成功識別

圖2 識別失敗

圖3

4.MATLAB仿真結果分析

4.1 LDA 方法的人臉識別仿真

我們利用GUI設計可視化的界面，讓實驗結果更好的展示。

可以看到，當面部有偏側的時，LDA不能很好的識別出正確的人臉，如圖1、圖2所示。

4.2 DLDA人臉識別實例

優化后的LDA有著更高的準確性，我們在yale的數據庫中做了一下測試。在面部有偏側和帶眼鏡甚至閉眼是都能準確的識別。我們還編寫函數，計算了準確性，經過多次實驗，準確性在97%左右，如圖3所示。

4.3 基于DLDA算法的正確識別率

為了探究訓練次數對DLDA準確率的影響，我們編寫了相關函數，結果如表1所示：

表1

根據表1可以得到結論，當系統的訓練樣本個數從 5 逐步增長到9 的時候，DLDA算法的人臉識別系統的識別率也在逐漸的增大，可以得出：在設計人臉識別系統時，訓練樣越大，系統的正確識別率就越高，即訓練樣本的數量要大于每個樣本的空間維數，但是這一點在實際的應用時是比較難做到的。在系統樣本維數相同的前提下，基于LDA算法的人臉識別系統的正確識別率要比基于PCA 算法的正確識別率要高， 雖然PCA方法和LDA算法都可以降低原始特征空間的維數，但是PCA方法得到的特征是最佳描述特征， 而不是最佳分類特征，因此，在正確識別率方面，LDA算法要比 PCA算法優越。