具有加權測度的H型群上漂移Laplace算子的Levitin-Parnovski型特征值不等式

韓承月,孫和軍,江緒永

(南京理工大學理學院,江蘇南京 210014)

1 引言

Heisenberg型群是一類Carnot群,簡稱為H型群,其在滿足H?ormander條件的向量場理論研究中起著重要作用[1?3].而漂移Laplace算子是一類重要的橢圓算子,也被稱為Witten-Laplace算子,在幾何分析、概率論等研究中發揮著重要作用(參見文獻[4–6]).

本文研究具有加權測度的H型群G上漂移Laplace算子的特征值估計問題.具體來說,具有加權測度dμ=e??dv的2n+m維H型群G上漂移Laplace算子的形式如下

其中ΔG和?G分別是H型群G上的次Laplace算子和梯度算子,?為光滑函數.設?是H型群G上的一個有界區域.考慮如下Dirichlet特征值問題

由文獻[7–8]可知,該算子有離散譜0＜λ1≤λ2≤···≤λi≤···↗,其中每個特征值按照其重數排列.

問題(1.1)包含了幾種有趣的特征值問題.由H型群的定義可知:一方面,當m=1時,H型群即為Heisenberg群.此時,問題(1.1)變為如下Heisenberg群Hn上漂移Laplace算子的Dirichlet特征值問題

另一方面,當?為常數時,問題(1.1)變為如下H型群G上的次Laplace算子的Dirichlet特征值問題

因此當m=1時,問題(1.3)進一步變為如下Heisenberg群Hn上次Laplace算子的Dirichlet特征值問題

隨著黎曼流形上微分算子研究的深入,Heisenberg群、H型群上微分算子的特征值估計問題開始被學者們所關注(參見文獻[9–10]).2006年,韓軍強和鈕鵬程[11]獲得了H型群上次Laplace算子相鄰特征值之差的估計;2015年,譚沈陽和黃體仁[12]建立了H型群上漂移Laplace算子問題(1.1)的Yang型特征值不等式.

本文的目標是對H型群上漂移Laplace算子的問題(1.1)建立Levitin-Parnovski型特征值不等式.對任意的正整數j,Ilias和Makhoul[13]在2012年對Heisenberg群Hn上次Laplace算子的Dirichlet特征值問題(1.4)建立了如下Levitin-Parnovski型特征值不等式

在本文中,首先建立了具有加權測度的H型群上漂移Laplace算子問題(1.1)的一個特征值一般不等式.

定理1 設?是具有加權測度dμ=e??dv的2n+m維H型群G上的有界區域,?是區域?閉包上的光滑函數,λl是?上漂移Laplace算子?ΔG+〈?G?,?G(·)〉特征值問題(1.1)的第l個特征值,ul為對應于λl的單位正交特征函數,且對應于不同特征值的特征函數相互正交.那么對任意正整數j,有

進而獲得了問題(1.1)的如下Levitin-Parnovski型特征值不等式.

定理2 設?是具有加權測度dμ=e??dv的2n+m維H型群G上的有界區域,?是區域?閉包上的光滑函數,λl為?上漂移Laplace算子?ΔG+〈?G?,?G(·)〉特征值問題(1.1)的第l個特征值.如果|?G?|≤c,則對任意正整數j,有

不難看出,(1.7)式對問題(1.2)也成立.即有如下結論.

推論1 設?是具有加權測度dμ=e??dv的n維Heisenberg群Hn上的有界區域,?是區域?閉包上的光滑函數,λl為?上漂移Laplace算子?ΔHn+〈?Hn?,?Hn(·)〉特征值問題(1.2)的第l個特征值.如果|?Hn?|≤c,則對任意正整數j,有

另外,當?為常數時,問題(1.1)變為問題(1.3).因此可由定理2得到如下推論.

推論2 設?是2n+m維H型群G上的有界區域,λl為?上次Laplace算子ΔG特征值問題(1.3)的第l個特征值,則對任意正整數j,有

當m=1時,推論2即變為Ilias和Makhoul[13]對Heisenberg群Hn上次Laplace算子的Dirichlet特征值問題(1.4)所獲得結果.因此本文的結果推廣并包含了Ilias和Makhoul[13]所獲得的結果.

2 基礎知識

本節給出H型群的一些基本概念與性質.設U1,U2,···,U2n是滿足下列條件的矩陣

(1)Uj是m×m 階反對稱正交矩陣,?j=1,2,···,2n;

(2)UiUj+UjUi=0,?i,j ∈ {1,2,···,2n},i≠j.在2n+m維歐氏空間Rn×Rn×Rm定義如下群運算:

其中 i=1,2,···,2n;j=1,2,···,m,z=(x,y) ∈ R2n,t∈ Rm,〈·,·〉表示歐氏內積.滿足這種群運算的2n+m維歐氏空間稱為H型群,李代數g的基底為

在定理1的證明過程中,需要使用Levitin和Parnovski[16]獲得的代數恒等式.

引理1 設M 是一個給定內積 〈·,·〉的復Hilbert空間,A:D ? M → M 是定義在有界稠密區域D 上的一個自伴算子,并且A有一組離散譜λ1≤λ2≤λ3≤···.設是由一組對稱算子構成的集合,且滿足Bl(D)?D.令是算子A的正交特征向量構成的集合,ui是第i個特征值λi對應的特征向量,并且這組特征向量可構成M 的一組正交基.那么,對任意正整數j,如下代數恒等式成立

其中[A,Bl]:=ABl?BlA是A和Bl的括號積.

3 主要定理及其證明

本節給出定理1和定理2的證明.

定理1的證明 因為ui為問題(1.1)的對應于第i個特征值λi的單位正交特征函數,即ui滿足

設y1,···,yn是Rn上的一組標準坐標函數,定義如下n×n階矩陣T

根據QR-因式分解定理,存在一個n×n階正交矩陣Q=(qlr)n×n使得S=QT,其中S是一個上三角矩陣.因此有

從而,根據(3.2)式,可以得到

在 (2.1) 式中取 A= ?ΔG+ 〈?G?,?G(·)〉,Bl=xl,l=1,2,···,n,有

通過直接計算,可得

根據特征值的單調性,知道

并且根據(3.2)式,有

結合(3.5),(3.6)和(3.7)式,有

由Parseval等式可知

將(3.4)和(3.9)式代入(3.8)式中,整理并對l從1到n求和,可得

同理,在 (2.1) 式中取 A= ?ΔG+ 〈?G?,?G(·)〉,Bl=yl,l=1,2,···,n,可得與 (3.10)式類似的關于yl的不等式.進而有

直接計算可知

同理,可得

因此有

又因為

同理可得

所以

最后將(3.12),(3.15)和(3.16)式代入(3.11)式中,就可以得到(1.6)式.從而完成定理1的證明.

定理2的證明 因為

并且注意到

由(3.17)和(3.18)式,可得

將(3.17)–(3.19)式代入(1.6)式中,可獲得(1.7)式.這就完成了定理2的證明.