基于Logistic混沌映射的數字圖像加密算法＊

鄭繼明，湯智睿，鄧建秀，林姚

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基于Logistic混沌映射的數字圖像加密算法＊

鄭繼明，湯智睿，鄧建秀，林姚

（重慶郵電大學理學院，重慶 400065）

針對圖像信息傳輸的安全問題，運用混沌映射加密理論，提出了一種新的數字圖像加密算法。該算法運用Logistic-control-Logistic（LCL）混沌映射生成混沌序列，并結合SCAN模式對圖像進行置亂，再對圖像進行多方向擴散。實驗與加密性能分析表明，該算法具有很好的安全性，且執行效率高，容易實現。

圖像加密；LCL混沌映射；SCAN模式；多方向擴散

使用互聯網傳輸數字圖像具有方便快捷、開支小等優點，但美中不足的是，數字圖像在網絡上傳輸存在許多安全隱患。如何保證數字圖像的安全傳輸是備受人們關注的問題。由于圖像數據量大、強冗余性、相鄰像素間的強相關性以及現在圖像攻擊技術的快速發展，傳統的圖像加密算法已不能滿足實際需要。

混沌系統具有不確定性、不可預測、非周期和初值敏感性，這正是密碼學中密鑰和密鑰流尋求的特性。許多學者開展了基于混沌理論加密的研究，得到了一些有效的加密方法。文獻[1-3]中提出，將SCAN模式用于圖像加密，且在加密過程中使用具有擴散性的隨機序列；利用Logistic混沌序列的隨機性、對初始條件敏感和迭代不重復的特性，得到了一些基于Logistic映射的數字圖像加密算法[4-5]；Hua[6]通過對混沌映射的參數進行動態控制，使原混沌系統具有更復雜的混沌行為；文獻[7]用高維混沌系統對圖像加密，Akram[7]將SPN與混沌理論融合，設計出新的算法用于圖像加密；文獻[8]將2個一維混沌映射融合為二維的混沌映射對圖像進行了加密；Wang[9]使用混沌映射對彩色圖像加密；Liu[10]通過變化參數改進 Baker映射，增強了初值的敏感性，通過動態參數的映射加密圖像，使算法能夠有效抵抗相空間重構攻擊。Logistic混沌映射表達式簡單且性能優良，非常適合數字圖像加密。但是，該映射存在不動點、穩定窗等不足，產生的混沌序列不能保證圖像加密足夠安全。本文基于LCL映射、SCAN模式提出了一種新的圖像加密算法，該方法具有較大密鑰空間。仿真結果表明，該算法能有效抵抗差分攻擊、暴力攻擊等，具有較高的安全性。

1 Logistic與Logistic-control-Logistic映射的混沌特性

經典的Logistic映射是一個一維離散時間非線性映射，其表達式為：

n＋1＝4n（1－n）. （1）

式（1）中：∈[0，1]為映射的參數；n∈[0，1]。

當∈[0.9，1]時，Logistic映射具有混沌特性。

LCL映射是基于Logistic映射的組合映射，它使用一個Logistic映射動態控制另一個Logistic映射的參數。圖1（a）給出了LCL的結構，其中，1（）、2（）均為Logistic映射，（）為變換函數。1（）生成序列控制2（）的參數，稱為控制映射；2（）為最終產生混沌序列的映射，稱為種子映射；變換函數（）將1（）的輸出映射到2（）參數的混沌范圍，使得種子映射2（）總是具有混沌行為。

LCL的數學表達式如下：

在式（2）中，1（）的輸出為[0，1]，而2（）的參數混沌范圍約為[0.9，1]。變換函數（）是將1（）的輸出映射到2（）參數的混沌范圍，即（）：[0，1]→[0.9，1]。為了簡化計算，定義變換函數（）為下面的線性函數，即：

n＋1＝1－0.1n＋1. （3）

分別將式（1）、式（3）代入式（2），則可得：

任意給定初始值x0，y0以及常數μ的值，可由式（4）生成一組混沌序列｛xn｝。圖1（b）給出了LCL映射的李雅普諾夫指數（LE）值。

2 置亂與擴散模式

2.1 SCAN模式置亂

以原圖中小塊1，1為例，采用索引排序對序列排序，得到置換序列，從而將小塊1，1表示成二維數組，選取{二次對角型，連續正交型，平行對角線型，螺旋型}掃描模式，經過2次，將得到的圖像序列表示成二維數組，結果如圖2所示。

圖2 二維數組置亂示例

在此需要注意，由于每一次置亂都是在塊內進行，因此，需要通過螺旋矩陣再對整幅數字圖像進行整體置亂，使每個像素可能出現在任何位置。

2.2 多方向擴散

傳統的擴散方式是1個像素點或2個像素點單方向地向下一個像素點擴散。為了獲得較好的擴散效果，這種擴散方式往往周期比較長。本文設計多方向擴散機制，1個像素點從4個不同的方向朝4個像素點方向擴散，以縮減擴散周期，獲得高效的加密算法，具體擴散方式如下：

3 加密算法設計

圖3 算法流程圖

4 實驗結果及加密性能分析

利用本文提出的算法對Lena圖進行實驗，原始圖像及其灰度直方如圖4（a）、圖4（c）所示，原始圖像加密后效果及加密后灰度直方圖如圖4（b）、圖4（d）所示。

4.1 密鑰空間

加密圖像能否抵抗窮舉攻擊與密鑰空間的大小有關，只有足夠大的密鑰空間，才能抵抗窮舉攻擊。本算法中共有7組密鑰，共21個密鑰，令每個密鑰的最大精度為10－14，那么，密鑰空間大小為：（1014）21＝10294.在相同精度下，本算法的密鑰空間遠大于文獻[2]的密鑰空間，具有更高的安全性。

圖4 實驗結果

4.2 密鑰靈敏度分析

對其他密鑰進行相應的改變時，也可以得到類似的解密結果圖。從圖5（a）、圖5（b）、圖5（c）中可以看出，當密鑰中的任何一個進行10－14級的微小改動時，解密結果圖與原始明文圖像完全不同。這說明，本文的加密算法能夠抵擋各種敏感性攻擊。

4.3 相關性分析

圖4（a）原始圖像水平、垂直和對角方向的相關性分別如圖6（a）、圖6（b）、圖6（c）所示，采用本算法加密后，水平、垂直和對角方向的相關性分別如圖7（a）、圖7（b）、圖7（c）所示。

圖7 加密圖像相關性

從圖6和圖7中可以明顯看出，原始圖像3個方向上的像素具備較強的相關性。經過本文所示的算法加密后，像素之間基本不具備相關性。

4.4 信息熵測試

圖像的信息熵可以度量灰度值的分布，結果顯示，信息熵越大，其灰度分布越一致。對于理想的隨機圖像，其信息熵等于8.

本文加密圖——圖4（b）的信息熵為7.997 4，已經比較接近理想值8，即加密之后圖片灰度分布較一致。

4.5 像素改變率和一致平均改變強度

像素改變率（NPCR）和一致平均改變率（UACI）用于測試整個加密圖中一個像素改變的影響。本文將每個圖像的第一個像素的灰度值減少5，以Lena為例計算出像素的改變率為99.630 7，一致平均改變強度為33.402 6.

表1給出了本文算法與文獻[7-9]關于相關性、信息熵、像素改變率和一致平均改變率的對比結果。

表1 本文算法與文獻[7-9]的結果對比

加密圖像文獻[7]文獻[8]文獻[9]原始圖像 相關性分析水平0.003 3－0.004 8－0.006 60.002 00.949 2 垂直0.003 8－0.011 2－0.008 90.003 80.970 5 對角0.002 5－0.004 50.042 4－0.001 90.960 7 信息熵7.997 47.996 37.996 57.997 1 NPCR99.630 799.622 899.609 299.586 4 UACI33.402 633.704 133.632 233.253 3

5 結束語

本文給出了利用LCL映射對圖像加密的算法，通過LCL混沌映射，加密算法具備了更大的密鑰空間。在置亂階段，先使用SCAN模式進行塊內置亂，再用螺旋矩陣進行整體置亂；在擴散階段，控制每個像素點直接擴散到4個像素點，有效地減小了像素點的相關性。從仿真結果與性能分析中可以看出，像素之間的相關性變得非常小，像素改變率和一致平均改變強度達到了比較理想的結果，且本算法具有較高的安全性。

［1］Maniccam S S，Bourbakis N G.Image and video encryption using SCAN patterns［J］.Pattern Recognition，2004，37（4）：725-737.

［2］Bourbakis N，Alexopoulos C.Picture data encryption using SCAN patterns［J］.Pattern Recognition Journal，1992，25（6）：567-581.

［3］Bourbakis N.Image data compression encryption using G-scan patterns［C］//IEEE Conference on SMC.Orlando： FL，1997：1117-1120.

［4］王琳娟.基于Logistic映射的多重圖像加密技術［J］.科學技術與工程，2011，11（8）：1671-1815.

［5］黃胡晏，繞從軍.一種新型混沌圖像加密算法［J］.華中師范大學學報，2017，51（4）：441-448.

［6］Hua Zhongyun，Zhou Yicong.Dynamic Parameter-Control Chaotic System［J］.IEEE Transactions on Cybernetics， 2016，46（12）：3330-3341.

［7］Akram Belazi，Ahmed A Abd El-Latif，Safya Belghith.A novel image encryption scheme based on substitution-permutation network and chaos［J］.Signal Processing，2016，128（11）：155-170.

［8］Hua Zhongyun，Zhou Yincong，Pun Chi-Man.2D sine logistic modulation map for image encryption［J］.Information Sciences，2015，297（C）：80-94.

［9］Wang Xingyuan，Teng Lin，Qin Xue.A novel colour image encryption algorithm based on chaos［J］.Signal Processing，2012，92（4）：1101-1108.

［10］Liu Lingfeng，Miao Suoxia.An image encryption algorithm based on Baker map with varying parameter［J］. Multimedia Tools and Applications，2017，76（15）：16511-16527.

鄭繼明（1963—），男，四川簡陽人，教授，主要從事數學建模方法研究。湯智睿（1997—），男，四川廣安人。鄧建秀（1997—），女，四川內江人。林姚（1995—），男，四川綿陽人，信息與計算科學專業本科生。

重慶郵電大學大學生科研訓練項目（編號：A2017-70）資助

2095－6835（2018）18－0008－04

TP309.7

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2018.18.008

〔編輯：白潔〕