對一種光學中心射線狀條紋成因的探究

李文瑤，孫雨彤，周廷明，張君，趙蕓赫

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對一種光學中心射線狀條紋成因的探究

李文瑤1，孫雨彤1，周廷明1，張君1，趙蕓赫2

（1.四川省溫江中學，四川 成都 611130；2.北京師范大學物理學系，北京 100875）

對使用相機對路燈等光源進行照射時，照片上呈現的放射狀條紋現象進行了理論分析、數值模擬和實驗驗證。理論研究上以正多邊形孔的夫瑯禾費衍射模型對該現象進行了解釋，并采用將正邊形分割為個等腰三角形后疊加的方法對正多邊形小孔的衍射條紋進行了理論推導，然后利用MATLAB進行數值模擬，模擬結果驗證了條紋數與正多邊形小孔邊數的關系，同時預測了孔的邊數、各邊長和衍射屏到觀察屏的距離對衍射圖樣的影響。最后通過實驗研究定性驗證了理論模型的合理性。

放射狀條紋；正多邊形孔；夫瑯禾費衍射；星芒

在晚上使用相機對著街上的燈光拍照，或在陽光強烈的時候透過樹葉的縫隙拍攝太陽時，會發現照片上有從光源中心發出的放射狀光線。這是攝影中常有的現象，因其現象獨特，被稱為“星芒”。星芒的尖角數與光圈的葉片數有關——光圈葉片數為奇數時，產生的星芒尖角數為2條；為偶數時，產生的星芒尖角數為條。

通過查閱文獻發現對于這種星芒現象的理論解釋，僅有一些經驗交流稱其是因攝像機光圈的衍射現象造成的，沒有與實際聯系并進行求解。因此，本研究利用正多邊形衍射孔的夫瑯禾費衍射模型對該現象進行了定性及理論分析，推導并模擬了多邊形孔的衍射圖像，預測了孔的邊數、各邊長和衍射屏到觀察屏的距離對衍射圖樣的影響，并利用幾何對稱性解釋了邊數與條紋的數學關系，進而通過實驗研究將理論模擬結果與實際現象進行對應，定性驗證了理論模型的合理性。

1 理論分析

在實際情況中，對比不同相機拍到的同一光源的圖片，可以發現不同相機拍出的照片中射線情況并不相同，但是，同一相機拍下的同一張照片中各個光源的射線情況相同。根據以上分析可以發現，照片上的射線并不是光源向外發出的一道道亮光，而是與相機有關的、只存在于照片上的現象。

進一步分析可以發現：①光圈葉片數為奇數時，產生的星芒尖角數為2條；為偶數時，產生的星芒尖角數為條。②光圈越小，星芒尖角越尖銳。③光圈距離被拍攝的光源越遠，星芒成像越大、越明顯。故推斷產生“星芒”現象的主要原因是相機的光圈近似正多邊形，如圖1所示。光在經過相機的光圈時發生衍射，最后經透鏡在CCD（相當于衍射光屏）上呈現出這一現象。

圖1 光圈葉片工作示意圖

另外，在使用相機拍照時，光圈到光源之間的距離遠大于光圈到成像屏上的距離，近似符合夫瑯禾費衍射“無限遠”的特點，可以看作等效無限遠，故本文以正多邊形孔的夫瑯禾費衍射模型來解釋這一現象產生的原因。

對于一個正多邊形孔的衍射，直接計算顯然并不容易。故采用將正多邊形孔分割為多個全等的等腰三角形孔，以其中某一個三角形為基礎，對其進行坐標變化后，積分求得整個孔在觀察屏上的光強表達式的方式來求解這個問題。

1.1 等腰三角形孔的衍射

首先，考慮最基本的情況，即當發生衍射的小孔是一個頂角為、底邊長為的等腰三角形，之后再在此基礎上進行變換[1]。

圖2 等腰三角形孔的衍射

當光的波長確定時，式（1）中的是一個常值（由此也可以看出，如果使用顏色不同的光，成像的規律是不會變化的，只是在分布上呈現定量的規律性差異）。同時，當光的波長確定時，也是一個常值：

這里表示開孔平面上光的分布（，）它一般是均勻的，在此我們考慮它是均勻的。為方便代入計算，我們令：

將（4）（5）（6）式代入原式，那么對于此小三角形孔上發生衍射的振幅就可以通過以下積分計算：

（，）就是小孔發生衍射后在觀察屏上的振幅分布。

1.2 正多邊形孔的衍射

建立直角坐標系，如圖3所示，將這個正多邊形分解，此正多邊形與單個等腰小三角形的面積和角關系就可以表示出來：

（8）

以等腰三角形1為基礎，沿逆時針方向對其進行坐標變化：

將這一結果用矩陣來表示并進行計算：

對正多邊形區域積分可得：

而光強為其復振幅與其共軛復振幅的乘積，故觀察屏上的光強表達式為：

另外，可以推斷，當→∞時，這個多邊形小孔發生衍射將可以近似看作圓孔。

2 數值模擬

將推導出的上述關系編寫成代碼，使用MATLAB運行程序并繪制觀察屏上的光強分布圖像（運行環境：MATLAB2016b）。在此，我們考慮3個自變量，即孔的邊數、各邊長和衍射屏到觀察屏的距離，對所涉及的3個變量，控制變量分別對其進行研究，模擬其對成像的影響，得到3組圖像（其中，黑色正方形方格的實際大小為1 m2），如圖4、圖5、圖6所示。

觀察這3組圖，可以得出結論：①衍射圖像呈有共同起點的放射狀光束，且中間有一較大的光斑。②條紋以明暗相間的樣式延展，且由中心到四周發散，由明到暗并逐漸消失。③當邊長與距離一定，邊數為奇數時，可觀察到2個尖角；邊數為偶數時，可觀察到個尖角。④當邊數與距離一定時，以正六邊形為例，隨著孔徑的變大，呈現的圖像越來越小，可觀察到的范圍越來越大。⑤當邊數與距離一定時，隨著焦距的變大，視野中可觀察到的范圍變小，條紋圖像越來越大。

圖4 a＝3e－5（m），焦距f＝10 m時，改變邊數n

圖5 當邊數n＝6，焦距f＝10 m時，改變孔的邊長a（m）

圖6 當孔邊長a＝3e－5（m），邊數n＝6，改變焦距f（m）

3 實驗驗證

3.1 實驗器材及裝置

為了驗證理論結果，本研究制作了多個不同邊數的觀察孔片，為了避免“平行光”這一夫瑯禾費衍射需要的條件受限，借助激光光學演示儀（型號J-2513）對這些裝片進行實驗探究。由于手工制作的裝片精度不夠高，無法精確地控制邊長和距離，只能定性地驗證上文關于衍射孔邊數的結論。

圖7為實驗環境，圖8為實驗器材。

圖7 實驗環境

圖8 實驗器材

3.2 實驗結果

將實驗結果與模擬圖象進行對比，不難看出實驗現象符合星芒條數變化的規律。由于無法精確控制變量，且手工制作和拍攝存在一定誤差，結論②和③可以觀察到較為清楚的現象。圖9為驗證實驗對比圖。由圖9可以看到，星芒圖樣的棱角數與衍射孔邊數的關系與理論預言一致。另外，在每一條星芒射線中出現了明暗相見的條紋，這是波動光學現象的典型特征。至此，從實驗上說明了星芒的出現是一種波動光學現象，實驗結果與理論預測相符。

4 結論

本研究基于正多邊形孔的夫瑯禾費衍射模型對照相機拍照時出現的“星芒”現象進行了理論與實驗研究，得出并解釋了星芒條數與光圈葉片數的變化規律，得出了“星芒大小與小孔邊長成反相關，與衍射屏到觀察屏的距離成正相關”的結論。然后通過自制小孔，對以上結論進行了實驗驗證，實驗現象基本符合理論。

［1］宋易知.任意正多邊形小孔夫瑯禾費衍射成像探討［J］.物理實驗，2017，37（11）：48-51.

［2］鐘錫華.現代光學基礎［M］.北京：北京大學出版社，2012.

2095－6835（2018）18－0012－04

O436.1

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2018.18.012

李文瑤（2002—），女，四川成都人，四川省溫江中學高2017級學生。

趙蕓赫（1993—），女，吉林長春人，北京師范大學物理學系2016級碩士研究生，研究方向為物理課程與教學論、IYPT問題解決。

〔編輯：劉曉芳〕