基于主成分分析的圖像分割方法

孫前來，王 銀，孫志毅，楊 凱，劉瑞珍

(太原科技大學 電子信息工程學院，太原 030024)

圖像分割是機器視覺中圖像處理的一個重要和關鍵的過程，是圖像識別和圖像理解的基礎。閾值分割是最早的圖像分割方法之一，適用于目標和背景有著不同灰度值范圍的圖像。閾值分割具有方法簡單、計算量小、性能穩定等眾多優點，因而成為最基本和應用最廣泛的圖像分割技術。圖像的閾值分割主要是根據圖像的灰度特征，選取一個或多個閾值，將圖像中所有像素的灰度值與閾值相比較，把整個圖像的像素分為兩類或者以上，從而將圖像劃分成背景區域和一個或者多個目標區域。

在圖像分割之前，難以確定圖像中目標區域像素所屬的不同灰度值范圍的數量，導致難以事先確定圖像分割所需閾值的數目，這是閾值分割方法的難點之一。此外，閾值的選取適當與否會直接影響圖像分割的精度和圖像描述分析的正確性，所以閾值分割方法的另一個難點是如何找到合適的閾值將背景像素和目標像素分開。當圖像中含有多個分別屬于不同灰度值范圍的待分割目標時，需要多個閾值才能取得較好的分割效果，然而找到多個“最優”閾值的組合更加困難，需對其進行優化。早期的閾值優化方法多基于窮舉搜索，如最大類間差法(OTSU).但是對于圖像的多閾值分割，利用窮舉搜索的方法尋找“最優”閾值組合所消耗的時間會隨著期望閾值數量的增加呈指數規律增長。為了提高圖像分割的質量或減少圖像分割的時間消耗，目前大多數多閾值分割方法采用各種優化算法對閾值數量和閾值大小同時進行優化以確定圖像分割 “最優”閾值組合，如遺傳算法[1-3]、粒子群算法[4-6]、人工蜂群算法[7-9]及其他優化方法[10-13]。采用優化算法確定“最優”閾值組合，不僅增加了多閾值分割方法的復雜性，而且對閾值進行優化時存在陷入局部最優問題的可能。

如果能夠找到一種方法，可以事先確定待分割圖像中背景或目標像素的灰度特征，從而避免同時對閾值數量和大小進行優化所帶來的問題，還可以降低圖像分割的難度。本文針對背景相對簡單的一類圖像，提出了一種基于主成分分析(principal component nalysis,PCA)的缺陷分割方法。該方法利用PCA對圖像進行線性變換，將原始圖像中背景像素的灰度值變換到重建圖像中的零附近，從而將待分割目標分為兩類，相當于事先就確定了圖像中背景像素的灰度特征，使得圖像分割較為容易。由于原始圖像中背景像素的灰度值被轉換為接近于零，即使圖像中存在多個具有不同灰度值范圍的待分割區域，僅使用兩個閾值就能將目標與背景區分開。

1 主成分分析

PCA就是通過正交變換將一組可能存在相關性的變量轉換為一組線性無關的變量，目的是去除原始數據中向量之間的相關性，突出原始數據中的隱含特征。PCA通常用來減小圖像的尺寸或去除噪聲，是統計方法中最成功的圖像識別和壓縮技術之一[14]。PCA還廣泛應用于圖像的去噪、特征提取及融合等領域。實現主成分分析有兩種基本方法，一種是特征值分解，一種是奇異值分解。可以證明，奇異值分解和特征值分解是等價的[15]。

本文選擇使用奇異值分解來實現主成分分析。首先簡要地給出奇異值分解定理。

(1)

式中：ε=diag(σ1,σ2,…,σr)；酉矩陣U和V分別為矩陣A的左奇異矩陣和右奇異矩陣。列向量ui(i=1,2,…,m)和vj(j=1,2,…,n)分別稱為矩陣A的奇異值σi的左奇異向量和右奇異向量。

(2)

式中：ui和vi分別為矩陣A的前r個左右奇異向量。

根據這一結論，有理由認為相較于較大的奇異值，接近于零的奇異值對應的主成分只含有少量矩陣重構所需信息，在對矩陣近似重構時也可以忽略。所以，矩陣A可以由下式近似重構：

(3)

2 基于PCA的圖像分割方法

針對多閾值圖像分割方法中尋找“最優”閾值組合所存在的算法復雜和時間開銷較大等問題，本文提出了基于主成分分析的圖像分割方法，可以對背景相對簡單的圖像進行分割。

2.1 方法的提出

假設在理想情況下，圖像背景單一且均勻，待分割目標總面積占圖像面積比例較小，而且不考慮噪聲和不均勻光照等的干擾。此時，圖像的背景就成為了圖像的主要信息，而待分割目標是圖像的次要信息。由PCA可知，奇異值越大的主成分含有原始數據的信息也就越多；如果利用除第一主成分之外的其它主成分對圖像進行重建，那么重建圖像中將主要包含待分割目標的信息，有利于圖像的分割。為了減少圖像分割時的計算量，利用奇異值累計貢獻率達85%時的前若干主成分對圖像進行重建，即

(4)

式中，k為奇異值累計貢獻率達到85%時奇異值的數量。

圖1(a)為理想情況下的8位灰度圖像，圖中黑點和白點分別用來模擬屬于不同灰度值范圍的待分割目標。對圖1(a)進行奇異值分解并按照式(4)對圖像重建，利用兩個閾值對重建圖像進行分割，結果如圖1(b)所示。圖1(c)為理想圖像的灰度統計直方圖，由圖可知其背景像素的灰度值為128.重建圖像的直方圖如圖1(d)所示。

圖1 理想圖像的分割結果Fig.1 Segmentation of an ideal image

經過線性變換后，原始圖像中背景像素的灰度值被變換到重建圖像中零附近。在重建圖像中，“灰度值”可能會出現小于零的情況，這和原始圖像中灰度值小于背景的像素對應；大于零的部分和灰度值大于背景的像素對應。此時，目標被分成兩類，一類比背景暗，一類比背景亮，可以利用兩個位于零附近的閾值在重建圖像中對目標進行分割。

圖1說明基于PCA的缺陷分割方法在理想情況下是有效的，接下來以實際情況下的圖像對其有效性進行驗證。圖2(a)為一張實際圖像，圖2(b)為分割結果，圖2(c)和(d)分別為圖像重建前后的直方圖。由圖2可知，經圖像重建后，原始圖像中背景像素的灰度值同樣被轉換到重建圖像中零附近。

圖2 實際的分割結果Fig.2 Segmentation of a real image

2.2 圖像分割的具體步驟

基于主成分分析的圖像分割方法的具體步驟如下：

1) 首先對待分割圖像進行灰度化得到灰度矩陣M，對灰度矩陣M進行奇異值分解，得到M的左/右奇異矩陣U和V；

2) 計算奇異值的累計貢獻率，累計貢獻率達到85%時停止計算并記下當前奇異值的個數k；

4) 找到合適的閾值T1和T2，且滿足T1>0和T2<0；

5) 利用閾值對圖像進行分割，得到二值化的分割結果。

3 圖像分割實驗

為了驗證基于主成分分析的圖像分割方法的有效性，在MATLAB軟件環境下對圖3(a)所示的實際圖像進行分割實驗，結果如圖3(b)所示。同時利用MATLAB自帶的經典閾值分割方法OTSU和基于Canny算子的邊緣檢測方法工具箱對圖像進行分割，結果分別如圖3(c)和(d)所示。圖3(a)中除第二張和最后一張之外，其余圖像均來自于以色列威茲曼科學院的圖像分割數據集。

由圖3中大米圖像的分割結果可知，當待分割目標在整個圖像中占比較大時，本文方法仍能取得較好的分割結果。如圖3中第二、三圖像的分割結果所示，當圖像中背景和目標像素值較為接近時，基于Canny算子的邊緣檢測算法的分割效果優于本文方法和OTSU法，但該方法對紋理較為敏感。OTSU方法只能分割出相對于背景而言或明或暗的一類目標。

為了進一步驗證本文方法在不均勻光照和噪聲等干擾情況下的有效性，以采集于不同的實際生產環境、帶有典型缺陷的帶鋼圖像為例，對其表面缺陷進行分割實驗， 并與OTSU法和基于Canny算子的邊緣檢測方法進行對比，結果如圖4所示。圖4(a)中，從左到右依次為帶有多個孔洞、擦痕、輥印、黑斑、銹痕以及單個孔洞等缺陷的帶鋼圖像。

由帶鋼表面缺陷的分割結果可知，OTSU法對不均勻的光照較為敏感，導致其存在對缺陷不能有效分割的情況。基于Canny算子的邊緣檢測方法對噪聲和紋理極為敏感，分割結果將給后續的缺陷識別和分類帶來較大困難。

以上實驗結果驗證了基于PCA的圖像分割方法的有效性。圖像分割實驗結果表明，該方法對噪聲和不均勻的光照均不敏感，分割效果總體上優于OTSU法和基于Canny算子的邊緣檢測方法。

圖3 多張實際圖像的分割結果Fig.3 Segmentation of some real images

圖4 帶鋼典型缺陷的分割Fig.4 Segmentation of steel strips with typical defects

4 結論

對于背景較為簡單的一類圖像，基于主成分分析的圖像分割方法可以通過線性變換將圖像中背景像素的灰度值變換到零附近，從而僅利用兩個零附近的閾值就能夠對圖像中處于不同灰度值范圍的目標進行分割。采集于不同環境下的圖像的分割實驗驗證了該方法的有效性。該方法可以事先確定圖像分割所需閾值數量，而且只有兩個閾值的大小需要優化，降低了多閾值分割方法中閾值優化算法的復雜性和閾值優化所需的時間開銷。

基于主成分分析的圖像分割方法的局限性在于只適用于背景相對簡單且待分割目標面積在整個圖像中占比相對較小的場合。因此，該方法需要進一步改進以擴大其適用范圍并降低其時間復雜度。