陷落柱突水的尖點(diǎn)突變模型研究

王 遷 李金華

（山西潞安集團(tuán)司馬煤業(yè)有限公司，山西 長(zhǎng)治 047105）

煤礦水災(zāi)與瓦斯、粉塵、火災(zāi)和動(dòng)力地質(zhì)災(zāi)害并稱礦井五大災(zāi)害，水害在煤礦重、特大事故中是僅次于瓦斯爆炸的重大災(zāi)害[1]。華北地區(qū)的陷落柱引發(fā)了多次大型突水事故，如徐州礦區(qū)張集煤礦、淮北礦區(qū)桃園煤礦和淮南礦區(qū)潘集二礦陷落柱突水事故，最大礦井涌水量均達(dá)到了10000m3/h以上。司馬煤礦陷落柱較為發(fā)育（如圖1所示），是礦井水害防治的重要隱患。

陷落柱突水通常具有滲流突變的特性，尤其是底板隱伏陷落柱形成與含水層的垂向?qū)ǖ溃?dāng)煤層開采后，底板巖層的原始應(yīng)力狀態(tài)被破壞，致使應(yīng)力重新分布，從而導(dǎo)致底板巖層失穩(wěn)破壞形成導(dǎo)水裂隙，其結(jié)果往往造成底板承壓水經(jīng)由陷落柱通過采動(dòng)裂隙突然涌入采煤工作面，形成陷落柱突水。煤層開采后，底板巖層失穩(wěn)破壞形成的陷落柱突水現(xiàn)象，屬于突變理論研究的范疇。因此，本文以突變理論為基礎(chǔ)，建立底板隱伏陷落柱的滯后突水突變模型，為底板隱伏陷落柱的突水時(shí)機(jī)及狀態(tài)判斷提供強(qiáng)有力的理論支撐。

1 陷落柱突水的突變現(xiàn)象分析

以徐州礦區(qū)張集煤礦、淮北礦區(qū)桃園煤礦和淮南礦區(qū)潘集二礦為例對(duì)陷落柱突水現(xiàn)象進(jìn)行說(shuō)明[2-3]。陷落柱突水的流量演化過程如圖2所示，在陷落柱突水過程中，工作面涌水量均出現(xiàn)了階梯狀的增長(zhǎng)趨勢(shì)。如徐州張集礦陷落柱突水過程如下：在1997年2月18日早班，于礦井西翼-300m水平太原組21號(hào)煤軌道下山往下掘進(jìn)341.35m時(shí)，在掘進(jìn)工作面退后約4m處發(fā)現(xiàn)該處兩幫裂隙滴水；15時(shí)左右裝巖機(jī)出矸后見到底板有一股直徑約2m、高約0.2m的水流噴出，實(shí)測(cè)水量65m3/h；17時(shí)30分增至483m3/h，18時(shí)左右劇增到24098m3/h，19時(shí)30分，-300m泵房進(jìn)水、淹泵、斷電，最后全井被淹。淮北桃園礦和淮南潘集二礦的陷落柱突水實(shí)際監(jiān)測(cè)過程中也均出現(xiàn)了與徐州張集煤礦類似的涌水量階梯式增長(zhǎng)的規(guī)律。

陷落柱突水過程中存在明顯的滲流突變現(xiàn)象，而傳統(tǒng)的理論計(jì)算方法滲流場(chǎng)都是連續(xù)變化的，如白海波等[4]提出的陷落柱塞子模型，武強(qiáng)等[5]提出的側(cè)壁筒模型、王家臣等[6]提出的“滲水井”模型、楊天鴻等[7]提出的非線性滲流模型，上述模型無(wú)法解釋陷落柱的滲流突變現(xiàn)象，因此應(yīng)尋找一種可用于解釋陷落柱突變現(xiàn)象的理論計(jì)算模型，這對(duì)揭示陷落柱的突水機(jī)理具有十分重要的意義。

圖2 陷落柱突水的流量演化過程

2 陷落柱突水的尖點(diǎn)突變機(jī)理

原《煤礦防治水規(guī)定》[8]采用突水系數(shù)法對(duì)底板的突水危險(xiǎn)性進(jìn)行描述，其認(rèn)為底板突水危險(xiǎn)性與底板巖層厚度h和水壓差ΔP有關(guān)。以尖點(diǎn)突變模型描述陷落柱突水現(xiàn)象時(shí)，選用MP為水壓致突因子，其中ΔP為單位厚度底板巖層下的水壓與煤層開采后工作面的水壓（此位置處水壓為0）之差，即水壓差ΔP與底板巖層厚度h之比，M為正的系數(shù)；選用Nt1為時(shí)間因子，t1為水壓對(duì)煤層底板巖層作用的有效時(shí)間，N為正的系數(shù)。MP和Nt1為控制陷落柱突水的兩個(gè)基本因子，即兩個(gè)控制變量。滲流速度μ1與突變時(shí)刻的滲流速度μ0之比Iμ為狀態(tài)變量。控制變量、狀態(tài)變量構(gòu)成的尖點(diǎn)突變模型的平衡曲面和分支曲線如圖3所示。對(duì)一定的采場(chǎng)而言，底板厚度h是不變的，煤層開采后由于應(yīng)力的重分布導(dǎo)致水壓差ΔP有所變化，增強(qiáng)了突水性能，當(dāng)Iμ=μ/μ0＞1 時(shí)，便會(huì)引發(fā)突水。

圖3 平衡曲面與分支曲線

在圖3中，當(dāng)水壓差ΔP較小時(shí)，曲線II由B點(diǎn)開始，隨著Nt1的逐漸增加，Iμ漸變至突水區(qū)，無(wú)突變現(xiàn)象。當(dāng)水壓差ΔP很大，曲線I由A點(diǎn)開始，隨著作用時(shí)間Nt1的增加而連續(xù)前進(jìn)，其所對(duì)應(yīng)的流速比Iμ亦隨之逐漸增加，當(dāng)達(dá)到J1點(diǎn)（對(duì)應(yīng)點(diǎn)在控制平面上位于分支曲線上）時(shí)，若此時(shí)陷落柱內(nèi)作用于煤層底板的水壓的時(shí)間稍有增加，則底板巖層將失穩(wěn)破裂，滲流速度比Iμ將會(huì)劇增，在圖3中表現(xiàn)為系統(tǒng)狀態(tài)由非突水區(qū)的J1點(diǎn)跳躍至J1′點(diǎn)達(dá)到突水區(qū)。

當(dāng)水壓作用時(shí)間Nt1較短時(shí)，隨著水壓差ΔP的增加而連續(xù)前進(jìn)，其所對(duì)應(yīng)的流速比Iμ亦隨之逐漸增加，當(dāng)達(dá)到0點(diǎn)附近（對(duì)應(yīng)點(diǎn)在控制平面上位于分支曲線上）時(shí)，若此時(shí)陷落柱內(nèi)作用于煤層底板的水壓差稍有增加，則底板巖層將失穩(wěn)破裂，滲流速度比Iμ將會(huì)劇增。當(dāng)水壓作用時(shí)間Nt1很長(zhǎng)時(shí)，隨著ΔP的不斷增加，Iμ值連續(xù)增加達(dá)到突水區(qū)，而無(wú)突變現(xiàn)象，這是一種底板巖層隨時(shí)間逐漸破壞而發(fā)生的突水過程。

假設(shè)陷落柱突水的突變模型為尖點(diǎn)突變模型，其勢(shì)函數(shù)一般可由下式描述：

式中：

x，y，z-以Q為原點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖3所示。

圖3中平衡曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程可表示為勢(shì)函數(shù)的微分：

式（2）的判別式為：

因此，控制平面內(nèi)的分叉集為：

將標(biāo)準(zhǔn)方程的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)與平移至O(Iμ,MP,Nt1)坐標(biāo)系中，有

式中：

u，v，w-原點(diǎn)Q到O點(diǎn)的三維平移向量各分量；

li，mi，ni-新坐標(biāo)的方向余弦，i=1，2，3。

由于Iμ軸與x軸平行，二者間的夾角為0，故方向余弦l1為：

聯(lián)立式（2）～（6），可以得到平衡曲面在新坐標(biāo)系下方程的表達(dá)式為：

方向余弦之間是正交的關(guān)系，于是有如下結(jié)果：

同為左手坐標(biāo)系時(shí)，式（5）的系數(shù)矩陣的行列式為1，即：

模型的邊界條件可以從所研究問題的物理意義獲得。當(dāng)無(wú)采動(dòng)時(shí)，水壓差ΔP=0，不同時(shí)刻的突水時(shí)間因子都位于Nt1軸上。用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示曲面在該軸上的邊界條件表達(dá)式如下：

又平衡曲面通過0點(diǎn)，故有：

把式（12）代入式（7），得：

由式（8）～（12）可得：

其中：

基于尖點(diǎn)突變模型的物理意義，尖點(diǎn)Q為分支曲線的交點(diǎn)，當(dāng)?shù)装鍫顟B(tài)趨向突水區(qū)越過Q點(diǎn)時(shí)，其滲流速度比Iμ＞1。因此，位于分支曲線交點(diǎn)Q處底板巖層中滲流速度比的界限值應(yīng)為Iμ=1.0。在Q點(diǎn)平移至原點(diǎn)0的正上方時(shí)，相應(yīng)的水壓致突因子MP和時(shí)間因子Nt1皆為0，由式（5）可得：

把式（14）代入（7），得：

把式（13）、（15）代入（17），得：

至此，建立了滲流速度比、水壓致突因子和時(shí)間因子三者間的關(guān)系，當(dāng)?shù)装宓幕咎匦浴⒑畬优c煤層間的水壓差和滲流速度已知的條件下就可以判斷滲流突變時(shí)間以及滲流突變發(fā)生后速度的變化規(guī)律。

3 案例應(yīng)用分析

地質(zhì)勘探結(jié)果表明，司馬礦陷落柱X3屬于不充水型陷落柱，為避免工作面搬家，采用直接推過的方式處理。煤層底板距離奧陶系灰?guī)r頂部約56m。隨著工作面向前推進(jìn)，底板水壓力從天然狀態(tài)的1.2MPa增加至4.3MPa，由此可知式（7）中的MP從0MPa/m增加至0.0554MPa/m。一般認(rèn)為，當(dāng)工作面進(jìn)入陷落柱時(shí)，陷落柱受采動(dòng)影響最為劇烈。記開采未影響陷落柱的時(shí)刻為0，則工作面進(jìn)入陷落柱時(shí)刻N(yùn)t1=37d。根據(jù)第二部分所述，u=1，根據(jù)式（13）可得到v+w=1的結(jié)論。考慮到y(tǒng)軸和z軸與MP軸和Nt1軸夾角相等，那么有v=w=0.5。此時(shí)，對(duì)于式（18）而言，只剩下一個(gè)未知變量Iu。將以上數(shù)據(jù)代入式（18），可以反算出Iu值，得到Iu=0.72＜1，這意味著工作面推過司馬礦陷落柱X3是安全的，為司馬礦其余陷落柱的安全開采提供了理論支撐。

4 結(jié)論

本文由實(shí)際的陷落柱突水現(xiàn)象出發(fā)，分析了徐州張集礦、淮北桃園礦和淮南潘集二礦陷落柱突水的涌水量變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)這三次陷落柱突水事故中均出現(xiàn)了涌水量階梯式快速增大，即滲流突變的現(xiàn)象，因此通過突變理論構(gòu)建了滲流速度比、水壓致突因子和時(shí)間因子三者間的關(guān)系，建立了陷落柱水害的尖點(diǎn)突變模型，并對(duì)司馬煤礦陷落柱X3進(jìn)行算例分析，該模型可以有效的解釋陷落柱突變現(xiàn)象，對(duì)揭示陷落柱的突水機(jī)理具有十分重要的意義。