陷落柱突水的尖點突變模型研究

王 遷 李金華

（山西潞安集團司馬煤業有限公司，山西 長治 047105）

煤礦水災與瓦斯、粉塵、火災和動力地質災害并稱礦井五大災害，水害在煤礦重、特大事故中是僅次于瓦斯爆炸的重大災害[1]。華北地區的陷落柱引發了多次大型突水事故，如徐州礦區張集煤礦、淮北礦區桃園煤礦和淮南礦區潘集二礦陷落柱突水事故，最大礦井涌水量均達到了10000m3/h以上。司馬煤礦陷落柱較為發育（如圖1所示），是礦井水害防治的重要隱患。

陷落柱突水通常具有滲流突變的特性，尤其是底板隱伏陷落柱形成與含水層的垂向導水通道，當煤層開采后，底板巖層的原始應力狀態被破壞，致使應力重新分布，從而導致底板巖層失穩破壞形成導水裂隙，其結果往往造成底板承壓水經由陷落柱通過采動裂隙突然涌入采煤工作面，形成陷落柱突水。煤層開采后，底板巖層失穩破壞形成的陷落柱突水現象，屬于突變理論研究的范疇。因此，本文以突變理論為基礎，建立底板隱伏陷落柱的滯后突水突變模型，為底板隱伏陷落柱的突水時機及狀態判斷提供強有力的理論支撐。

1 陷落柱突水的突變現象分析

以徐州礦區張集煤礦、淮北礦區桃園煤礦和淮南礦區潘集二礦為例對陷落柱突水現象進行說明[2-3]。陷落柱突水的流量演化過程如圖2所示，在陷落柱突水過程中，工作面涌水量均出現了階梯狀的增長趨勢。如徐州張集礦陷落柱突水過程如下：在1997年2月18日早班，于礦井西翼-300m水平太原組21號煤軌道下山往下掘進341.35m時，在掘進工作面退后約4m處發現該處兩幫裂隙滴水；15時左右裝巖機出矸后見到底板有一股直徑約2m、高約0.2m的水流噴出，實測水量65m3/h；17時30分增至483m3/h，18時左右劇增到24098m3/h，19時30分，-300m泵房進水、淹泵、斷電，最后全井被淹。淮北桃園礦和淮南潘集二礦的陷落柱突水實際監測過程中也均出現了與徐州張集煤礦類似的涌水量階梯式增長的規律。

陷落柱突水過程中存在明顯的滲流突變現象，而傳統的理論計算方法滲流場都是連續變化的，如白海波等[4]提出的陷落柱塞子模型，武強等[5]提出的側壁筒模型、王家臣等[6]提出的“滲水井”模型、楊天鴻等[7]提出的非線性滲流模型，上述模型無法解釋陷落柱的滲流突變現象，因此應尋找一種可用于解釋陷落柱突變現象的理論計算模型，這對揭示陷落柱的突水機理具有十分重要的意義。

圖2 陷落柱突水的流量演化過程

2 陷落柱突水的尖點突變機理

原《煤礦防治水規定》[8]采用突水系數法對底板的突水危險性進行描述，其認為底板突水危險性與底板巖層厚度h和水壓差ΔP有關。以尖點突變模型描述陷落柱突水現象時，選用MP為水壓致突因子，其中ΔP為單位厚度底板巖層下的水壓與煤層開采后工作面的水壓（此位置處水壓為0）之差，即水壓差ΔP與底板巖層厚度h之比，M為正的系數；選用Nt1為時間因子，t1為水壓對煤層底板巖層作用的有效時間，N為正的系數。MP和Nt1為控制陷落柱突水的兩個基本因子，即兩個控制變量。滲流速度μ1與突變時刻的滲流速度μ0之比Iμ為狀態變量。控制變量、狀態變量構成的尖點突變模型的平衡曲面和分支曲線如圖3所示。對一定的采場而言，底板厚度h是不變的，煤層開采后由于應力的重分布導致水壓差ΔP有所變化，增強了突水性能，當Iμ=μ/μ0＞1 時，便會引發突水。

圖3 平衡曲面與分支曲線

在圖3中，當水壓差ΔP較小時，曲線II由B點開始，隨著Nt1的逐漸增加，Iμ漸變至突水區，無突變現象。當水壓差ΔP很大，曲線I由A點開始，隨著作用時間Nt1的增加而連續前進，其所對應的流速比Iμ亦隨之逐漸增加，當達到J1點（對應點在控制平面上位于分支曲線上）時，若此時陷落柱內作用于煤層底板的水壓的時間稍有增加，則底板巖層將失穩破裂，滲流速度比Iμ將會劇增，在圖3中表現為系統狀態由非突水區的J1點跳躍至J1′點達到突水區。

當水壓作用時間Nt1較短時，隨著水壓差ΔP的增加而連續前進，其所對應的流速比Iμ亦隨之逐漸增加，當達到0點附近（對應點在控制平面上位于分支曲線上）時，若此時陷落柱內作用于煤層底板的水壓差稍有增加，則底板巖層將失穩破裂，滲流速度比Iμ將會劇增。當水壓作用時間Nt1很長時，隨著ΔP的不斷增加，Iμ值連續增加達到突水區，而無突變現象，這是一種底板巖層隨時間逐漸破壞而發生的突水過程。

假設陷落柱突水的突變模型為尖點突變模型，其勢函數一般可由下式描述：

式中：

x，y，z-以Q為原點的坐標，如圖3所示。

圖3中平衡曲面的標準方程可表示為勢函數的微分：

式（2）的判別式為：

因此，控制平面內的分叉集為：

將標準方程的坐標旋轉與平移至O(Iμ,MP,Nt1)坐標系中，有

式中：

u，v，w-原點Q到O點的三維平移向量各分量；

li，mi，ni-新坐標的方向余弦，i=1，2，3。

由于Iμ軸與x軸平行，二者間的夾角為0，故方向余弦l1為：

聯立式（2）～（6），可以得到平衡曲面在新坐標系下方程的表達式為：

方向余弦之間是正交的關系，于是有如下結果：

同為左手坐標系時，式（5）的系數矩陣的行列式為1，即：

模型的邊界條件可以從所研究問題的物理意義獲得。當無采動時，水壓差ΔP=0，不同時刻的突水時間因子都位于Nt1軸上。用數學表達式表示曲面在該軸上的邊界條件表達式如下：

又平衡曲面通過0點，故有：

把式（12）代入式（7），得：

由式（8）～（12）可得：

其中：

基于尖點突變模型的物理意義，尖點Q為分支曲線的交點，當底板狀態趨向突水區越過Q點時，其滲流速度比Iμ＞1。因此，位于分支曲線交點Q處底板巖層中滲流速度比的界限值應為Iμ=1.0。在Q點平移至原點0的正上方時，相應的水壓致突因子MP和時間因子Nt1皆為0，由式（5）可得：

把式（14）代入（7），得：

把式（13）、（15）代入（17），得：

至此，建立了滲流速度比、水壓致突因子和時間因子三者間的關系，當底板的基本特性、含水層與煤層間的水壓差和滲流速度已知的條件下就可以判斷滲流突變時間以及滲流突變發生后速度的變化規律。

3 案例應用分析

地質勘探結果表明，司馬礦陷落柱X3屬于不充水型陷落柱，為避免工作面搬家，采用直接推過的方式處理。煤層底板距離奧陶系灰巖頂部約56m。隨著工作面向前推進，底板水壓力從天然狀態的1.2MPa增加至4.3MPa，由此可知式（7）中的MP從0MPa/m增加至0.0554MPa/m。一般認為，當工作面進入陷落柱時，陷落柱受采動影響最為劇烈。記開采未影響陷落柱的時刻為0，則工作面進入陷落柱時刻Nt1=37d。根據第二部分所述，u=1，根據式（13）可得到v+w=1的結論。考慮到y軸和z軸與MP軸和Nt1軸夾角相等，那么有v=w=0.5。此時，對于式（18）而言，只剩下一個未知變量Iu。將以上數據代入式（18），可以反算出Iu值，得到Iu=0.72＜1，這意味著工作面推過司馬礦陷落柱X3是安全的，為司馬礦其余陷落柱的安全開采提供了理論支撐。

4 結論

本文由實際的陷落柱突水現象出發，分析了徐州張集礦、淮北桃園礦和淮南潘集二礦陷落柱突水的涌水量變化規律，發現這三次陷落柱突水事故中均出現了涌水量階梯式快速增大，即滲流突變的現象，因此通過突變理論構建了滲流速度比、水壓致突因子和時間因子三者間的關系，建立了陷落柱水害的尖點突變模型，并對司馬煤礦陷落柱X3進行算例分析，該模型可以有效的解釋陷落柱突變現象，對揭示陷落柱的突水機理具有十分重要的意義。