DCM—PCCM二次型Boost變換器的分數階建模與分析

譚程 丁祝順 滑藝 賈楠

摘 要：文中基于電感和電容本質上是分數階的事實，采用分數階微積分理論，建立了類型Ⅰ和類型Ⅱ斷續導電模式（DCM）-偽連續導電模式（PCCM）分數階二次型Boost變換器的四階數學模型，并對系統進行了理論分析，通過數值與電路仿真，驗證了分數階階數對DCM-PCCM二次型Boost變換器性能的影響，證實了理論分析的正確性。

關鍵詞：分數階；二次型；Boost；變換器；DCM-PCCM；電路仿真

中圖分類號：TP39；TM46 文獻標識碼：A 文章編號：2095-1302（2018）07-00-04

0 引 言

二次型Boost變換器僅使用了一個功率開關管就實現了傳統Boost變換器的級聯，在減少功率開關管數量的同時，變換器輸入電壓的范圍得到了拓寬，升壓比得到了提升[1]。因而在新能源領域得到了廣泛應用[2，3]。然而，當二次型Boost變換器工作在CCM-CCM時，其控制輸出傳遞函數中存在的三個右半平面（RHP）零點和兩個諧振峰值點不僅加大了控制環路補償器的設計難度[4]，還嚴重影響了其對負載變化的瞬態性能[5]。PCCM二次型Boost變換器的提出，徹底改善了二次型Boost變換器的缺點[6-8]，但目前對PCCM二次型Boost變換器的研究僅建立在整數階模型基礎上[5，8]，并未考慮電感和電容本質是分數階對系統帶來的影響[9-11]，因此建立一個精確的模型是對PCCM二次型Boost變換器分析與設計的基礎。目前，隨著分數階微積分理論的不斷發展以及對真實系統物理現象認知的不斷提高，分數階微積分理論在自然科學和工程技術中各學科領域受到廣泛的研究與應用[9，10]。相比于傳統的整數階數學模型，分數階數學模型能夠更好地刻畫該物理系統的內在本質及其演變過程。

本文以PCCM二次型Boost變換器為研究對象，建立了類型Ⅰ和類型Ⅱ DCM-PCCM二次型Boost變換器的分數階數學模型，通過數值與電路仿真驗證了分數階階數對DCM-PCCM二次型Boost變換器性能的影響，證實了理論的正確性。

1 DCM-PCCM二次型Boost變換器分數階模型的建立

對于分數階電感和電容有如下表達式：

一個開關周期T內，DCM-PCCM二次型變換器有四種工作模態，其電路原理如圖1所示，工作波形如圖2所示。

根據DCM-PCCM二次型Boost變換器的工作原理以及分數階電感和分數階電容電流和電壓之間的關系，可得系統的狀態空間方程為：

其中，IL1為流經電感L1的電流，IL2為流經電感L2的電流，VC1為電容C1兩端的電壓，VC2為電容C2兩端的電壓，D2和D3為占空比，R為負載電阻，k1和k2為給定常數，對于類型Ⅰ：k1=1，k2=0；對于類型Ⅱ：k1=0，k2=1。

2 理論分析

根據Caputo分數階微積分的性質，可知任意常數的Caputo分數階微分等于零[10]，則式（2）等號左側等于零，可得分數階DCM-PCCM二次型Boost變換器穩態工作點的表達式為：

由式（3）可知，分數階DCM-PCCM二次型Boost變換器的升壓比為：

基于系統的工作原理，可得輸入電感L1和儲能電感L2電流紋波ΔiL1和ΔiL2的表達式分別為：

其中，Γ為伽馬函數[11]。可知，輸入電感L1的電流紋波ΔIL1不僅與電感值L1、輸入電壓的直流分量Vin、占空比的直流分量D1及開關管的工作周期T有關，還與輸入電感L1分數階階數α1有關；且當輸入電感L1和儲能電感L2分數階階數α1=α2=1時，式（5）與用其整數階模型描述所得結果相

一致。

對于分數階DCM-PCCM二次型Boost變換器，因其輸入電感電流iL1的初始值為零，根據式（5），可得輸入電感電流IL1的表達式為：

基于式（3）和式（5），可得占空比D2和D3的表達式為：

其中，a=（L1α1Γ（α1）（D1+D2+k1D3））/（R（D2+k1D3）（D1T）α1）。對于類型I：占空比D2和D3均與輸入電感L1分數階階數α1有關；對于類型II：占空比D2與輸入電感L1分數階階數α1無關，而占空比D3與輸入電感L1分數階階數α1有關。根據式（3），

（4），（6）和（7），可知升壓比M、輸入電感電流IL1和儲能電感電流IL2、電容電壓VC1和VC2與輸入電感L1分數階階數α1有關，儲能電感電流紋波ΔIL2與輸入電感L1分數階階數α1和儲能電感L2分數階階數α2有關，且當輸入電感L1和儲能電感L2分數階階數α1=α2=1時，其相應表達式與用其整數階模型描述所得結果相一致。

如圖2所示，對于分數階DCM-PCCM二次型Boost變換器，需滿足：

根據圖2可知，分數階類型Ⅰ和類型ⅡDCM-PCCM二次型Boost變換器的臨界狀態是D3=0且D4≠0，因此，基于式（7），可得其臨界狀態表達式為：

由式（9）和（10）可知，輸入電感L1的臨界值及類型Ⅰ和類型Ⅱ之間的臨界值L12均與輸入電感L1分數階階數α1有關，儲能電感L2的臨界值與儲能電感L2分數階階數α2有關，且當輸入電感L1和儲能電感L2分數階階數α1=α2=1時，其相應表達式與用其整數階模型描述所得結果一致。

3 仿真研究

3.1 DCM-PCCM工作區域

選取電路的參數為vin=24 V，d1=0.2，d2=0.1，R=1 000 Ω，f=50 kHz，α1=α2=β1=β2=0.8，C1=C2=100 μF。根據式（9）和（10），可得分數階DCM-PCCM二次型Boost變換器的工作區域如圖3所示。因此，為確保分數階二次型Boost變換器工作在類型Ⅰ和類型ⅡDCM-PCCM，選取輸入電感值和儲能電感值分別為L1Ⅰ=5 μH，L2Ⅰ=2 mH和L1Ⅱ=120 μH，L2Ⅱ=2 mH。

當系統工作于DCM-PCCM時，如圖4（a）所示，其輸入電感L1的臨界值和L12的臨界值隨其階數α1的增加而變小；根據圖4（b）可知，類型Ⅰ DCM-PCCM、類型ⅡDCM-PCCM和DCM-PCCM的工作區域隨階數α1的增加而變小；儲能電感L2的臨界值隨α2的增加而變小，如圖4（c）所示；類型ⅠDCM-PCCM、類型ⅡDCM-PCCM和DCM-PCCM的工作區域隨階數α2的增加而變大，如圖4（d）所示。

3.2 仿真驗證

由于電感和電容本質上是分數階的，但目前無法準確得到從市場上購買實際電感和電容的階數，且在仿真軟件中也無法找到分數階電感和電容的模型元件。因此根據分抗鏈結構和改進的Oustaloup近似算法，采用圖5和圖6所示分數階電感和分數階電容的等效近似電路模型[9-12]搭建二次型Boost變換器電路模型來驗證上述理論分析的正確性。

以類型ⅡDCM-PCCM二次型Boost變換器為例進行分析。當其他參數固定時，隨著階數α1的增加，二次型Boost變換器工作區域從類型ⅠDCM-PCCM變到類型ⅡDCM-PCCM，如圖7所示。根據圖7（a）可知，處于類型ⅠDCM-PCCM時，占空比D2隨著階數α1的增加而增加，占空比D3隨著階數α1的增加而減少，而在類型ⅡDCM-PCCM時，占空比D2不隨階數α1的變化而變化，占空比D3隨著階數α1的增加而增加；根據圖7（b），（c）和（d）可知，類型Ⅰ和類型ⅡDCM-PCCM工作時，升壓比M、輸入電感電流IL1、儲能電感電流IL2及電容電壓VC1和VC2隨階數α1的增加而減少。

圖8（a）～（d）分別為分數階和整數階電路模型輸出電壓VC1和VC2的開環響應曲線，易知DCM-PCCM Boost變換器分數階模型的動態特性明顯優于其整數階模型，且與整數階模型相比，分數階模型在相同占空比D1的條件下，具有更高的輸出電壓VC1和VC2。因此，以上分析對分數階DCM-PCCM二次型Boost變換器在今后的實際應用設計中具有較好的指導作用。

4 結 語

本文基于分數階微積分理論，建立了分數階DCM-PCCM二次型Boost變換器的數學模型，并對分數階系統的穩態和動態特性進行了分析與仿真驗證。DCM-PCCM工作區域與輸入電感L1階數α1和儲能電感階數α2有關，當其他參數固定時，類型ⅠDCM-PCCM、類型ⅡDCM-PCCM及DCM-PCCM的工作區域隨階數α1的增加而變小，隨階數α2的增加而變大。在類型ⅠDCM-PCCM工作區域時，占空比D2隨階數α1的增加而增加，占空比D3隨階數α1的增加而減少；然而，在類型ⅡDCM-PCCM工作區域時，占空比D2不隨階數的變化而變化，占空比D3隨階數α1的增加而增加。在類型ⅠDCM-PCCM和類型ⅡDCM-PCCM工作區域時，升壓比M、輸入電感電流IL1、儲能電感電流IL2及電容電壓VC1和VC2隨階數α1的增加而降低，且DCM-PCCM二次型Boost變換器的分數階電路模型的動態特性明顯優于其整數階模型。綜上可知，儲能元器件的階數對DCM-PCCM二次型Boost變換器有著極其重要的影響，所建立系統的分數階模型能夠真實反映DCM-PCCM二次型Boost變換器的動力學特性。

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