隧道襯砌可靠指標的優化求解方法

龔彥峰， 陳文博， 房 倩

(1. 中鐵第四勘察設計院集團有限公司， 湖北 武漢 430063； 2. 水下隧道技術湖北省工程實驗室， 湖北 武漢 430063；3. 北京交通大學城市地下工程教育部重點實驗室， 北京 100044)

0 引言

JC法是工程結構可靠度計算中最常用的方法，由Rackwitz和Fiessleer于20世紀70年代末提出，是以當量正態化考慮隨機變量實際分布的可靠指標計算方法，之后被國際安全度聯合委員會(JCSS)推薦采用[1]。吳世偉于1990年在《結構可靠度分析》[2]中對JC法的簡化和改進算法做了詳細說明； 1999年，徐軍等[3]采用改進的JC法對具有高次非線性和復雜性的三維巖體強度準則進行可靠指標計算； 李典慶等[4]于2002年提出一種改進的JC法，解決了功能函數為線性時JC法不一定收斂的問題； 李繼祥等[5]在李典慶等的基礎上進一步改進了JC法的求解過程，使得計算精度和收斂速度得到提高。

JC法適用于隨機變量為任意分布下結構可靠指標的求解，計算精度基本能夠滿足工程要求。我國GB 50068—2001《建筑結構可靠度設計統一標準》和Q/CR 9007—2014《鐵路工程結構可靠度設計統一標準》均推薦JC法為工程結構可靠指標計算方法[1]。2015年，中國鐵路總公司發布的Q/CR 9129—2015《鐵路隧道極限狀態法設計暫行規范》[6](簡稱《暫行規范》)也采用JC法對隧道結構可靠指標進行校準，并優化設計了表達式分項系數。以往JC法的應用和研究均針對單一且連續光滑的功能函數，然而，對于隧道素混凝土襯砌或鋼筋混凝土襯砌，其極限狀態的功能函數在空間上是分段、不光滑的，分別由抗裂與抗壓極限狀態、大偏心與小偏心極限狀態的功能函數組合而成，不同襯砌的極限狀態功能函數在空間上雖然連續但不光滑，且各段有其可行條件。JC法在迭代過程中不能對驗算點位置有所限制，最終計算結果可能超出函數的可行域，因此，選取各段計算的可靠指標中的最小值作為結構可靠指標，也是不合理的。為解決該問題，喻渝等[7]以偏心距均值和受壓區高度均值分別作為素混凝土和鋼筋混凝土襯砌的極限狀態功能函數選用的判據，但由于圍巖物理力學參數、襯砌材料性能等的變異性，使得襯砌的受力狀態具有不確定性，以偏心距或受壓區統計量作為判據缺乏理論支撐，其嚴謹性和準確性存疑。

為了能夠考慮功能函數分段性質及各段的約束條件，本文引入基于可靠指標幾何意義的優化求解方法。該方法與JC法同源于二階矩方法，其優點是能夠通過約束函數限制解的可行域。近年來，優化算法的研究和應用已經十分成熟， 1991年，Liu等[8]采用梯度投影法、罰函數法、增廣拉格朗日法、序列二次規劃法等優化方法進行可靠指標的計算； 之后Powell法、遺傳算法、粒子群算法、蟻群優化算法等相繼應用到可靠指標的優化求解中，但其在約束條件上的優勢并未受到重視。

本文對高速鐵路隧道二次襯砌(下文中襯砌均指二次襯砌)承載能力極限狀態各功能函數的約束條件進行整理，通過抽樣計算得到襯砌力學響應的統計特征，分析隧道襯砌受力狀態的統計特征，建立有約束的可靠指標優化求解模型，分別應用到素混凝土和鋼筋混凝土襯砌，并與JC法進行比較。

1 功能函數可行域的判別

1.1 素混凝土襯砌的功能函數

素混凝土襯砌有抗裂和抗壓2種極限狀態。對于有抗裂要求的素混凝土矩形截面偏心受壓構件，參考地面建筑結構的混凝土結構設計相關文獻[9]，考慮裂縫出現瞬間受拉區混凝土的塑性特征，建立素混凝土矩形構件抗裂驗算表達式； 20世紀90年代，原鐵道部建設司工程建設科研項目通過大量強度試驗，引入偏心影響系數α建立了素混凝土襯砌偏心抗壓承載力驗算表達式[10]。素混凝土襯砌的2種極限狀態功能函數見式(1)—(2)。

(1)

(2)

式(1)—(2)中：γ為抵抗矩塑性影響系數；φ為構件縱向彎曲系數；ft為混凝土抗拉強度；b為截面寬度；h為截面高度；e0為軸力偏心距，e0=M/N，其中M為彎矩，N為軸力；α為軸向力偏心影響系數；fc為混凝土抗壓強度。

根據素混凝土抗壓、抗裂驗算表達式，得到Ⅲb型素混凝土襯砌抗壓、抗裂承載力隨偏心距變化示意圖(見圖 1)。由圖1可知： 當偏心距較小時，抗裂承載力呈現劇烈波動，但此時拉應力并不是混凝土破壞的因素，因此不需要抗裂驗算； 當偏心距在0.2h附近，抗裂與抗壓承載力接近，之后抗裂承載力逐漸下降且低于抗壓承載力。

圖1 素混凝土襯砌抗力變化曲線圖

《暫行規范》[6]中規定： 僅當偏心距不小于0.2倍截面高度時，才進行抗裂驗算。選取0.2h附近交點為臨界偏心距e0*，則素混凝土襯砌的抗裂狀態功能函數的約束條件為e0≥e0*，抗壓狀態功能函數的約束條件為e0≤e0*。

1.2 鋼筋混凝土襯砌的功能函數

參考《暫行規范》[6],對鋼筋混凝土襯砌的極限狀態方程進行換算，消去相對受壓區高度，以極限軸力、材料性能參數和截面幾何參數表示鋼筋混凝土襯砌功能函數，見式(3)—(4)。

(3)

(4)

σs根據相對受壓區高度分別取值，見式(5)。

(5)

式中：fy為鋼筋抗拉強度；ξb為界限相對受壓區高度；β1為等效矩形應力的高度系數； 3個參數都只與材料特性有關。

本文采用界限偏心距e0b來區分大小偏心極限狀態，其依據與計算公式見文獻[11]。鋼筋混凝土襯砌的大、小偏心極限狀態功能函數的約束條件分別為e0≥e0b、e0≤e0b。

2 隧道襯砌力學響應的統計分析

高速鐵路隧道工程建設中對不同圍巖條件、設計行車速度的雙線隧道采取不同的二次襯砌設計參數，不同速度、圍巖條件下襯砌結構和材料的類型見表1。

表1不同速度、圍巖條件下的襯砌和材料類型

Table 1 Types of lining and materials under different speeds of train and surrounding rocks

速度/(km/h)圍巖等級襯砌類型材料350、250ⅡⅡa、Ⅱb素混凝土ⅢⅢa、Ⅲb素混凝土ⅣⅣa、Ⅳb鋼筋混凝土ⅤⅤa、Ⅴb鋼筋混凝土

本文選取時速350 km高速鐵路雙線隧道Ⅲa型(二次襯砌為素混凝土結構，拱墻厚40 cm，仰拱厚50 cm)、Ⅳb型(二次襯砌為鋼筋混凝土，拱墻厚45 cm，仰拱厚55 cm)襯砌，采用荷載-結構模型，參考相關研究對材料性能、圍巖物理力學參數等的統計數據[7]，編制Monte-Carlo隨機有限元計算程序。

從素混凝土和鋼筋混凝土襯砌中，各選取從拱頂到仰拱中心的51個截面，對其力學響應特征進行統計，對以偏心距表示的受力狀態進行分析，截面編號如圖2所示。圖3示出Ⅲa型襯砌拱頂處軸力、彎矩的均值和變異系數隨抽樣次數增加的變化趨勢，當抽樣次數達9 000 時，襯砌軸力和彎矩的均值和變異系數已經趨于穩定。經抽樣發現，Ⅲa型和Ⅳb型襯砌各截面的力學響應特征均符合此規律，故確定隨機抽樣的樣本容量為 9 000次。圖 4(a)和4(b)分別示出Ⅲa型襯砌拱頂處軸力和彎矩的分布直方圖、正態和對數正態分布擬合曲線及其擬合優度。由圖4可知，正態和對數正態分布的擬合優度接近，并逼近于1，說明擬合效果均較好?？紤]到計算的簡便性和2種分布的特點，假定軸力和彎矩服從正態分布，其抽樣置信水平為95%。

圖2 襯砌單元編號示意圖

圖5示出Ⅲa、Ⅳb型襯砌截面偏心距平均值和變異系數隨截面位置的變化曲線。由圖5可知： 2種襯砌的偏心距均值及變異系數的變化趨勢大致相同，從拱頂到拱底呈現波浪式變化，拱頂偏心距最大，其次為拱腰附近，Ⅳb型襯砌的偏心距均值稍大于Ⅲa型襯砌； 2種襯砌各截面偏心距的變異系數均低于5‰，基本分布在均值附近。各截面偏心距的低變異性表明了極限狀態出現概率的兩極分化，可以從側面說明喻渝等[7]判別極限狀態功能函數的方法具有一定的合理性，但缺乏對約束條件的明確表達，仍然不夠嚴謹和準確。

3 可靠指標的優化求解

3.1 優化計算模型的建立

(6)

式中：σX為隨機變量X的標準差；μX為隨機變量X的均值。

(a) 軸力均值

(b) 彎矩均值

(c) 變異系數

Fig. 3 Variation curves of mean value of axial force and bending moment and coefficient of variation of lining of type Ⅲa

由結構可靠度理論可知，可靠指標的幾何意義是：標準正態坐標空間中原點到極限狀態曲面的最短距離[1]。根據材料強度參數、幾何參數和抽樣計算所得彎矩、軸力的分布類型與統計特征(均值、標準差)，通過坐標變換，可以將極限狀態函數及其約束條件分別表示為優化求解模型中的等式約束與不等式約束，目標函數則為標準正態空間中功能函數曲面到原點的最小距離，如式(7)所示。

(7)

(b) 彎矩

Fig. 4 Distribution fitting of mechanical response of lining of type Ⅲa

圖5 Ⅲa、Ⅳb型襯砌截面偏心距平均值和變異系數變化曲線

Fig. 5 Variation curves of mean value and coefficient of variation of eccentricity of lining sections of type Ⅲaand Ⅳb

以鋼筋混凝土襯砌為例說明優化方法相對于JC法的優點。圖6示出鋼筋混凝土襯砌大、小極限狀態功能函數在軸力、彎矩空間的投影，其中AOB、COD分別對應大偏心和小偏心極限狀態，僅AOD段代表實際極限狀態，OB、OC段為無效段，界限偏心距e0b=cotα。當采用JC法計算可靠指標時，由于驗算點在一個固定的功能函數上持續迭代，驗算點位置有可能出現在OB、OC段，使得計算結果有誤； 同時，采用JC法對2種極限狀態計算得到的2個可靠指標，仍要驗算其是否符合約束條件，過程復雜。優化求解方法則可通過約束條件將求解域限定在AO、OD段，所求最小值即為最終求解值，從而優化求解值也必將大于等于JC法迭代計算的最小值。

圖6 功能函數空間示意圖

3.2 素混凝土襯砌可靠指標計算

利用前面抽樣計算得到的襯砌內力響應的統計特征和喻渝等[7]得出的C30混凝土襯砌厚度和混凝土抗壓、抗拉強度的統計特征(見表2)，以彎矩、軸力、襯砌厚度和混凝土抗壓、抗拉強度為隨機變量，計算Ⅲa型襯砌各截面可靠指標。

表2襯砌性能與幾何參數統計(C30)[7]

Table 2 Statistics of characteristics and geometric parameters of lining (C30)[7]

參數軸心抗壓強度/MPa軸心抗拉強度/MPa襯砌厚度/m均值25.982.860.4標準差3.640.400.02分布類型正態分布正態分布正態分布

為測試優化算法性能，采用Matlab優化工具箱中的Global Search函數和JC法分別對素混凝土襯砌抗裂和抗壓極限狀態的可靠指標進行求解計算。Global Search是一種從基于分散搜索生成的試驗點開始，分別進行搜索的全局最優化算法，適用于目標函數和約束函數均連續的優化問題。在算法測試中，對所有功能函數均不設置約束，求解目標均為可靠指標最小值。

素混凝土襯砌2種方法的可靠指標計算結果見圖7，當偏心距較小時，抗裂承載力較小，采用JC 法計算的抗裂可靠指標為負值； 而優化求解計算的是驗算點到原點的空間距離，為正值，因此兩者會出現互為相反數的情況，本文取其絕對值進行比較。圖7(a)中，Global Search函數優化求解值與JC法求解值完全重合； 圖 7(b)中，JC法和Global Search函數求解值也完全重合，說明Global Search函數尋優性能良好，能夠滿足素混凝土的可靠指標求解。因此，采用Global Search函數對可靠指標進行優化求解(有約束)，并與 JC法求解值(無約束)作對比，結果如圖8所示，Global Search優化值與JC法求解值分段重合。以上計算結果說明： 優化方法中功能函數約束條件的引入，解決了采用JC法時功能函數界限模糊、計算值難以區分的問題，實現了襯砌各截面可靠指標的準確求解。

(a) 抗裂

(b) 抗壓

圖8 素混凝土襯砌可靠指標優化求解計算結果

3.3 鋼筋混凝土襯砌可靠指標計算

利用前面抽樣計算得到的襯砌內力響應的統計特征和喻渝等[7]得出的C35混凝土襯砌厚度、混凝土抗壓強度和鋼筋抗拉強度的統計特征(見表3)，以彎矩、軸力、襯砌厚度、混凝土抗壓強度和鋼筋抗拉強度為隨機變量，對Ⅳb型襯砌各截面可靠指標進行計算。

表3襯砌性能與幾何參數統計(C35)[7]

Table 3 Statistics of characteristics and geometric parameters of lining (C35)[7]

參數混凝土軸心抗壓強度/MPa鋼筋抗拉強度/MPa襯砌厚度/m均值29.89353.80.45標準差3.8912.030.022 5分布類型正態分布正態分布正態分布

同樣采用Global Search函數和JC法分別對鋼筋混凝土襯砌的可靠指標進行求解計算，結果如圖9所示。由圖 9可知： 對于2種功能函數，JC法和Global Search函數優化求解值完全重合。因此，鋼筋混凝土襯砌的可靠指標優化仍選用Global Search函數。

(a) 小偏心狀態

(b) 大偏心狀態

Fig. 9 Comparison of calculation methods forRIof reinforced concrete lining

鋼筋混凝土襯砌可靠指標優化求解計算結果如圖10所示，由圖10可知： 1—39號截面的優化求解結果與不同極限狀態下的JC法計算結果分段重合； 40號截面之后的優化求解值與JC法計算值不重合，但不小于JC法計算的最小值。分析可得： 求解值重合是因為該處迭代終止點并未落在失效段，且可靠指標最小，優化法成功搜尋到最優解并與其重合； 不重合的原因是由于缺乏約束，JC法迭代終止點落在了失效段，JC法計算值始終為該功能函數所求的最小值，而優化法僅在可行域之內搜尋，故JC法計算最小值結果小于優化值。計算結果一方面表明考慮極限狀態約束條件的優化求解方法在鋼筋混凝土襯砌可靠指標計算中取得成功應用，另一方面也說明采用JC法分別計算2種極限狀態的可靠指標，再取其中最小值的方法是不可取的。

圖10 鋼筋混凝土襯砌可靠指標優化求解計算結果

Fig. 10 Optimization solution results forRIof reinforced concrete lining

4 結論與討論

4.1 結論

本文通過采用隨機有限元方法、Monte-Carlo抽樣計算、優化函數的調用和對相關研究的歸納整理等手段，對隧道襯砌受力狀態和可靠度計算方法進行研究，得到以下結論。

1)綜合素混凝土襯砌和鋼筋混凝土襯砌極限狀態功能函數的相關研究，給出抗裂與抗壓、大偏心與小偏心極限狀態的判別條件。

2)對時速350 km雙線隧道Ⅲa、Ⅳb襯砌進行抽樣計算，考慮2類襯砌各截面偏心距的低變異性，分析目前可靠指標計算中極限狀態功能函數選用方法的合理性及不足。

3)建立可靠指標的優化求解模型，證明了Global Search函數尋優性能較好，能夠考慮各極限狀態功能函數的適用條件，消除極限狀態功能函數選取的模糊性，實現了對隧道襯砌各截面可靠指標的準確快速求解。

本文研究采用優化求解方法，解決了JC法求解隧道襯砌可靠指標中極限狀態功能函數選取的問題，與目前采用偏心距或受壓區高度均值的判別方法相比，更具有嚴謹性和便捷性； 同時，證明了用JC法分別計算2種極限狀態然后取其最小值的不合理性。

4.2 存在問題及建議

隧道賦存于復雜的地質條件中，圍巖參數及襯砌與圍巖的相互作用模式具有高度的不確定性。本文采用荷載-結構模型和根據當前隧道規范提供的地層荷載計算方法，并未考慮計算模型的不確定性和圍巖物理力學參數的空間變異性。此外，“單失效模式”的可靠性分析方法雖然被廣泛采用，但對于隧道這種高次超靜定結構，其評價指標過于單一，理論基礎也不盡合理； 而對于隧道結構多失效模式的可靠指標計算(如點估計法、界限范圍估計法等)，優化方法能夠排除不同極限狀態的干擾，無需進行極限狀態判別和計算值的驗算與比選，從而實現快速準確求解，適用性更強。

在當前的研究現狀下，描述和考慮圍巖物理力學參數及力學計算模型的不確定性，建立基于隧道-圍巖體系的失效模式及可靠性評價體系仍是隧道可靠性研究的重點和難點。本文僅對可靠指標的計算方法進行部分改進，下一步應緊緊圍繞以上幾個基本問題，基于目前隧道失效模式、隧道與圍巖相互作用關系及其不確定性描述的最新研究成果，發展隧道可靠性評價體系，進一步強化可靠性計算的手段與方法。