基于太沙基公式的地基極限承載力數值計算方法研究

陳元盛

（1.西安理工大學，陜西 西安 710048；2.陜西省引漢濟渭工程建設有限公司，陜西 西安 710010）

1 研究背景

地基極限承載力是指地基在剪切破壞發展即將失穩時所能承受的極限荷載，亦稱地基極限荷載。實際工程應用中，地基承載力的確定途徑有兩種，一是根據土的強度特性，結合地基破壞特點，用不同的理論方法進行計算；另一種是結合建筑經驗和使用某些現場試驗方法，以確定地基承載力。地基承載力的課題涉及面很廣，影響因素較多，如土體材料和力學性質，基礎尺寸，埋深等。為簡化計算，多數理論計算公式中存在不符合實際的假設條件，而經驗公式僅僅是一定程度的數學變換，缺乏理論支持，現場原位試驗費時耗資，操作復雜，測試周期太長，測點隨意性大，尺寸效應明顯等，這些都是實際存在的問題。本文提出基于有限元理論，通過數值計算的方法確定地基承載力，可以一定程度地規避上述問題，節省時間和成本，為確定地基極限承載力提供理論支持和數據支撐。

2 參數折減法及地基安全系數

本文提出參數折減法與強度折減法在利用有限元計算分析邊坡穩定性時的原理和操作過程基本相似。邊坡穩定性分析中應用的有限元強度折減法的核心內容認為：邊坡穩定系數是邊坡剛好達到臨界破壞狀態時，對土的剪切強度進行折減的程度，穩定系數是邊坡土體的實際剪切強度與臨界破壞時折減后的剪切強度的比值。實際在進行有限元計算過程中，基于抗剪強度公式對強度參數粘聚力c和內摩擦角φ等比例折減，認為計算結果不收斂時的折減系數即為邊坡穩定系數，該方法有明確的理論基礎，為國內外專家學者認可。

本文中基于地基承載力的統一公式K.太沙基（Terzaghi）承載力公式。

類似于強度折減法，可以發現與地基土的相關的參數c和γ具有一定的線性比例關系，在外荷載一定時，通過逐級等比例增大折減系數反復進行計算，達到計算模型的極限承載狀態，此時的折減系數即為安全系數，而外荷載與折減系數的乘積即為地基極限承載力Pu，從而形成了一種新的應用于地基承載力數值計算的方法-參數折減法。

3 參數折減法原理及公式推導

現定義在外荷載保持不變的情況下，地基土體所能發揮的承載能力P與外荷載作用下土體內產生的實際承載力P'之比，即為地基承載力安全系數Fs。

具體公式推導過程如下：

由地基穩定安全系數的定義可以得到：

對式（1）兩邊同時除以Fs， 等式變形為：

（2）式左邊等于1表示地基所能發揮的承載力與實際承受的承載力相等，此時地基處于極限承載狀態，而等式右邊分子中需要對每一項除以Fs，由于q=γDf，在此處將Fs分配到地基土體的粘聚力c和γ容重上，如式（2）所示。

數學變換之后等式仍然成立，其中：

也可以表示為：

推導過程說明參數折減法有明確的數學理論支持，可以類似于強度折減法通過數值計算方法確定地基極限承載力和地基穩定安全系數，需要建立模型試算驗證。

4 參數折減法數值仿真計算過程

4.1 計算模型、屈服準則

在有限元軟件ANSYS平臺上建立計算模型：三維均質黃土地基，模型尺寸300 m×180 m×50 m，共劃分29516個單元，單元類型為solid45，四周采用法向固定邊界，底部采用全方向約束，上邊界為自由邊界，采用彈-塑性模型，采用M-C屈服和強度準則。材料特性數據來源于西安地鐵一號線灑金橋站土工試驗報告 E=8e+6，μ=0.33，c=38000 kPa，φ=22°，D=2.01 g/m3；其次，在模型的頂部嵌入0.5 m埋深，1 m×1 m的混凝土方板作為載荷試驗平板，E=9.52e+9，μ=0.20，D=2.50 g/m3。

圖1 地基基礎模型三維視圖

圖2 網格剖分

4.2 數值計算過程、結果

基于ANSYS平臺，按照塑性區域由基礎邊緣貫通至地表時，認為此時地基土體達到極限狀態作為判據時，分別按照折減系數為 1.0，1.5，2.0，2.5，3.0 折減五次反復計算，每折減一次模型計算參數c和γ，從0開始逐級對載荷板加載，直至計算結果塑性區貫通，認為是此時模型地基條件的極限承載力F1.0，然后進行下一個折減系數下的逐級加載計算依次得到F1.5，F2.0，F2.5，F3.0。

表1 不同折減系數時的地基極限承載力 單位：Pa

圖3 塑性區發展過程

5 數值計算結果正確性驗證條件

現定義承載力比例系數Ki：對于某一土質地基計算模型，當極限狀態判斷準則確定時，地基土體材料未折減與每次折減后通過計算所確定的極限承載力之比，用公式表示為：

P0為不折減時土體極限承載力；

Pi為折減后土體極限承載力，i為折減系數標號，如折減系數為1.5和3.0時的極限承載力分別可以表示為：P1.5和P3.0，然而當折減系數為1.0時，P1.0=P0。

當折減系數與所對應的承載力比例系數相等即：

式（8）表明：如果將極限承載力比例系數和折減系數繪制成關系曲線，則在坐標系中表示為斜率為1的直線性關系，這說明了參數折減法是正確的。

5.1 塑性區貫通計算結果的正確性驗證

繪制極限荷載～折減系數曲線（Pu～Fi）和極限荷載比例系數～折減系數（Ki～Fi）兩種曲線。

圖4 極限承載力隨折減系數的變化曲線

圖5 折減系數與極限承載力比例系數的關系曲線

表2 不同折減系數時的極限承載力比例系數

分析圖4變化曲線，可以看出隨著折減系數的增大，極限荷載在減小，這是因為土體強度參數粘聚力c和γ材料參數同步得到折減，由太沙基公式 Pu＝Ncc＋Nqq＋Nγγb/2 分析，當這兩個參數等比例折減時，承載力應該是線性減小的。分析圖5變化曲線可得極限承載力比例系數與折減系數之間基本上呈斜率為1的直線，通過原點的線性增長關系這說明對土體材料折減程度與極限荷載之間的折減程度相同，這是符合參數折減法的判斷條件式（8）的。隨后驗證調整計算模型中某一參數時結算方法仍然正確。

5.2 調整載荷板尺寸計算結果的正確性驗證

對2.1節計算模型中荷載試驗平板尺寸擴大5倍，調整為5 m×5 m，其余參數和計算條件不變，進行折減計算并分別繪出Pu～Fi和 Ki～Fi曲線。

圖6 極限荷載隨折減系數的變化曲線（5 m×5 m）

圖7 折減系數與極限荷載比例系數的關系曲線（5 m×5 m）

圖6 和圖7滿足隨著折減系數的增大，極限荷載在減小和變化曲線可得極限承載力比例系數與折減系數之間基本上呈斜率為1的直線的驗證條件。

5.3 調整土體壓縮模量計算結果的正確性驗證

對2.1節上述計算模型土地壓縮模量（彈性模量）擴大100倍，其余參數和計算條件不變，再分別按照折減系數為1.0，1.5，2.0，2.5，3.0 折減五次反復計算，得到 F1.0，F1.5，F2.0，F2.5，F3.0和繪制極限荷載～折減系數和極限荷載比例系數～折減系數兩種曲線。

圖8 極限荷載隨折減參數的變化曲線（E×100倍）

圖9 折減參數與極限荷載比例系數的關系曲線（E×100倍）

圖8 和圖9滿足隨著折減系數的增大，極限荷載在減小和變化曲線可得極限承載力比例系數與折減系數之間基本上呈斜率為1的直線的驗證條件。

6 算例應用

陜西某鋁鎂合金項目配套電力設施，工程場地長約884 m，寬約450 m，工程主廠房采用現澆鋼筋混凝土框架結構，要求基底壓力≥400 kPa，地基為黃土，相關土體物理指標及荷載板參數見表3。

表3 相關物理指標

圖10 地層關系圖

圖11 地基模型和邊界條件

建立如圖11所示計算區域為尺寸為50 m×50 m×20 m規則結構,包含土體結構和混凝土承載板，承載板面積為5000 m2，厚度為1 m，計算邊界四周采用法向約束，底部采用全方向約束的計算模型。

在保持外荷載400 kPa不變時，通過等比例折減強度參數粘聚力和材料參數容重，當土體達到極限狀態時，得到的折減系數即為土體極限承載安全系數，進而可以得到土體的極限承載力。

圖12 塑性區貫通時等效塑性應變云圖

表4 計算結果匯總表

按照表4計算結果所示，當F=16.0 Pa時，相應的極限承載力為Pu=P·Fs=6.40E+6Pa，結果相對于由原位平板靜力載荷試驗得到的承載力特征值3.75E+6Pa值偏大，主要是由于對計算模型進行了簡化和前提假設、計算精度及參數不夠精確引起的。

7 結論

本文通過借鑒有限元強度折減法理論，創新式的調整折減參數后應用與地基極限承載力計算和穩定性分析中，得到以下結論：

（1）參數折減法基于太沙基地基承載力公式，通過數學推導，存在參數和的線性數學關系，理論支撐明確，可以借助有限元數值方法進行計算。

（2）利用極限承載力比例系數與折減系數的線性關系、極限承載力隨折減系數的變化規律可以驗證數值計算結果的正確性。

（3）通過單一調整承載板尺寸和地基物理指標進行折減計算結果分析，參數折減法仍然適用。

（4）對某一實際工程算例進行數值計算發現，計算結果與實際荷載試驗相比偏大，由于數值計算的模型簡化和計算假定引起的。