基于隨機Taylor展開式的三種隨機微分方程半隱式數值求解方法

袁 玲，汪 慧，唐江花，宋 星

1 構造三種隨機微分方程半隱式數值求解方法

對于一維自治型Ito隨機微分方程[1]：

其1.5階（強收斂階）半隱式Taylor方法如下：

用修正的漂移項[2]f-g'g代替方程中的漂移項f，并用g'(yn)g(yn)(ΔWn)2代替g'(yn)g(yn)h可以得到如下的半隱式Taylor方法：

通過截取其中的部分項構造如下三種半隱式方法：

2 均方穩定性分析

選取線性試驗方程：

將SIM1方法應用于線性試驗方程（2.1）可得：

將SIM2方法應用于線性試驗方程（2.1）可得：

將SIM3方法應用于線性試驗方程（2.1）可得：

SIM1方法的均方穩定函數[3]為：

SIM2方法的均方穩定函數為：

SIM3方法的均方穩定函數為：

三種方法和其它幾種方法（Euler方法[4]，Milstein方法[5]，半隱式Milstein方法[6]）的均方穩定域比較如下圖1，圖2，圖3所示.

圖1 （SIM1方法）

圖2 （SIM2方法）

圖3 （SIM3方法）

通過上述三個圖發現，SIM1方法，SIM2方法，SIM3方法均比其它幾種方法的穩定域要大，尤其是SIM1方法與SIM2方法的穩定域均遠大于其它幾種方法.

3 精度比較

在線性試驗方程（5）中，令a=-10，b=7，仍將這幾種方法的穩定域與上述其它幾種方法的精度（全局平均誤差）進行比較，比較結果如下表1所示：

表1

從上表看出，三種方法的精度要優于Euler方法，總體上和Milstein方法基本相當，比半隱式Milstein方法略差，但其穩定性要遠優于Milstein方法與半隱式Milstein方法.

4 數值解與精確解的路徑比較

在線性試驗方程（5）中，令a=-10，b=7，將由這三種方法得到的數值解與精確解的路徑比較如下圖5～圖6所示，選取步長h=2-7:

圖4

圖5

圖6

從上圖看出，三種方法的數值解與試驗方程精確解的路徑都具有較高的吻合度.